[博弈] 演化博弈

演化博弈中的策略较量：鹰派与鸽派，如同一场策略竞技场。鹰派（50分对鹰，-100分对鸽），象征着激进，而鸽派（40分对鸽，-10分对鹰）则代表保守。全鸽种群的平均得分为+15分，然而，鹰派的极端表现使其平均分数为+50分或-100分，平均下来却是-25分的负收益。在平衡状态下，7:5的鹰鸽比率是最优解，此时平均收益攀升至+6.25分，这个比率体现了博弈论的纳什均衡理论，即冲动（鹰派）与冷静（鸽派）的共生共存。
纳什均衡的数学魅力：博弈论的核心在于分析博弈者、策略和回报的互动。比如在双人对弈的矩阵中，比如著名的猎雄鹿游戏，两猎人选择追逐雄鹿（10单位）或野兔（3单位），形成对称的决策矩阵。纳什均衡的定义是，无论对手如何选择，每个个体都不愿意改变自己的策略，因为那样只会降低收益。这里有两种均衡策略：雄鹿策略和野兔策略。
当然，均衡并非一成不变。在一般收益矩阵中，若两个策略的收益相等，如在猎鹿博弈中，两种策略都会成为均衡。然而，风险与收益之间存在权衡：若一种策略风险较高但收益更大，那么在概率一定的条件下，冒险者可能会选择这种策略。如鹰鸽博弈和囚徒困境，后者虽然存在非对称均衡，但合作的帕累托均衡通常被认为更为有利。剪刀石头布游戏没有明确的纳什均衡，但允许混合策略，即随机选择。
动态演化中的策略选择：在Replicator dynamics模型中，策略的复制和迁移影响着种群的适应性。在具有迁移的环境中，即使初始倾向于风险策略，长期来看，有效策略（如合作）会因迁移机制的促进而占据优势。比如在双人博弈中，迁移可能引导种群趋向于全局稳定的有效均衡。
当策略差异驱动迁移时，复制与迁移的动态相互作用，直到达到一个平衡状态。关键定理如定理4.5揭示了有效策略在高收益栖息地中复制速度更快。而在时间延迟对社会型和生物型模型影响下，策略选择和种群动态表现出不同的稳定性和行为。
通过数学方程，如(37)和(39)，我们描绘了策略频率随时间的演变，以及在有限种群中随机动态的探讨。例如，对称双人博弈的均衡选择与状态空间密切相关，马尔可夫链模型中的随机稳定性则定义了策略转换的稳定路径。
深入探讨的边界：在混合种群中，策略的转换遵循确定性动态，马尔可夫链提供了吸收状态和静态度量的理论框架。Foster和Young的随机稳定性定义了在无噪声极限下，状态访问频率趋于静态度量的积极特性。定义2进一步明确了随机稳定性的标准。
总的来说，博弈论为我们揭示了策略选择如何在复杂的社会和自然环境中演化，而定理和模型的深入分析，为我们理解群体动态和适应性提供了强有力的工具。

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