秩越乘越小的证明
答：只有满秩矩阵与其它矩阵相乘，才能保证其它矩阵的秩不变，而如果是不满秩的矩阵与其它矩阵相乘有可能使其它矩阵的秩变小，最多是不变，不可能变大。举个例子，若A的秩等于3（设A的阶数超过3），则A可通过初等变换化为除前三行外，其余各行均为0的矩阵，你想这样一个矩阵无论和谁相乘，它的第4...
答：矩阵相乘会导致秩减小的原因是因为矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。因此，当两个矩阵相乘时，它们的秩不会保持不变，而是可能会减小。具体来说，如果两个矩阵A和B相乘，得到的矩阵C=AB，那么矩阵C的秩不会超过矩阵A和B的秩的较小值。
答：原因是因为矩阵的秩只会越乘越小，最大就是A矩阵和B矩阵的最小值。
答：首先矩阵的秩越乘越小 也就是说r（BA）小于等于AB中较小的秩的那个 所以r（A）小于等于r（B）当r（A）>r（c）时r（AC）=r（C)=r(BAC) 因为c的秩最小 当 r（A）<r（c)时r（AC）=r（A)=r(BAC)因为A的秩最小 所以r（AC）=r(BAC)...
答：而 r((α1,α2,...,αm)K)<=r(K) --秩越乘越小 所以 r(K)>=m 所以 r(K)=m. --秩不超过行数与列数 所以 |K|≠0.充分性:由于|K|≠0, 所以 K 可逆.所以 r(β1,β2,...,βm)=r((α1,α2,...,αm)K)=r(α1,α2,...,αm) --可逆矩阵不改变矩阵的秩 ...
答：矩阵乘积的秩相乘之后变小或者不变。矩阵的秩是线性代数中的一个概念。在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数。通常表示为r(A)，rk(A)或rankA。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。通俗一点说，如果把矩阵看成一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量...
答：如果矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B 的秩为 s，它们的乘积 AB 的秩 t 会受到限制，遵循 t ≤ min{r, s} 的原则。这就好比两个乐队的合奏，即使每一个音符都美妙，但最终的和谐度不会超过两个乐器中最弱的音色。换句话说，乘积矩阵的秩不会超过原矩阵中秩较小的那个，这体现了秩的保守性。当 ...
答：...秩总是越乘越小的。r(AB)<=r(B)矩阵的秩总是小于等于矩阵的行数。r(B)<=n。故r(AB)<=r(B)<=n，故r(AB)<=n 又因为m>n，故r(AB)<=n<m，故r(AB)<m 矩阵可逆的充要条件是他是满秩方阵。故AB不是可逆矩阵。矩阵可逆的另一个充要条件是其行列式不为零。故|AB|=0 ...
答：第二种是线性方程组的解的关系来证明。因为AB=0，所以B的每一列都是线性方程组AX=0的解。而根据线性方程组理论，AX=0的基础解系中线性无关的解的个数（或者说解空间的维数）≤ n-r(A)。而B的列向量组是解空间的一部分，所以B的列向量组中的极大线性无关组中的向量个数(就是秩r(B))一定...
答：R(AB）<=min{R(A),R(B)},这由分块矩阵乘法可以证明 因为Am*n,Bn*m所以R(AB)<=min{R(A),R(B)}<=min{m,n},若m>n,则R(AB)<=n<m所以︳AB︳=0 但m<n则R(AB)<=n，这时R(AB)和m无法比较大小，故︳AB︳=0不一定成立 ...
网友评论：
司肥19281287988：
如果A是一个m*n矩阵B是一个n*m矩阵,若m>n证明|AB|=0. -
41973尉治
： 本题是一些基础知识点的堆积....秩总是越乘越小的.r(AB)<=r(B) 矩阵的秩总是小于等于矩阵的行数.r(B)<=n.故r(AB)<=r(B)<=n,故r(AB)<=n 又因为m>n,故r(AB)<=n<m,故r(AB)<m 矩阵可逆的充要条件是他是满秩方阵.故AB不是可逆矩阵.矩阵可逆的另一个充要条件是其行列式不为零.故|AB|=0
司肥19281287988：
分块矩阵的初等变换问题 -
41973尉治
： 第二种初等变换是要用“可逆矩阵p”左乘(右乘)分块矩阵的某一行(列) 这实际上是用分块可逆矩阵 E1... P ... Ek 左乘(或右乘).这样不改变矩阵的秩.一般情况下, r(AB) <= min{r(A),r(B)} 也就是说矩阵的秩越乘越小 但当P,Q可逆时, 有 r(A) = r(PA) = r(AQ) = r(PAQ).
司肥19281287988：
线性相关性证明3 -
41973尉治
： 证法1. 观察法b1+b3-b2-b4=0所以 b1,b2,b3,b4 线性相关证法2.因为 (b1,b2,b3,b4)=(a1,a2)KK=1 0 0 11 1 0 00 1 1 00 0 1 1所以 r(b1,b2,b3,b4)=r[(a1,a2)K] <= r(a1,a2) <=2. [ r(AB)<=r(A) 矩阵的秩越乘越小 ]所以 b1,b2,b3,b4 线性相关.证法3.因...
司肥19281287988：
m*n矩阵A,m大于n,矩阵A秩小于等于n,为什么 -
41973尉治
： 这是基本知识点: 矩阵的秩越乘越小, r(AB)<=min{r(A),r(B)}
司肥19281287988：
关于线性代数的秩的一个性质的证明 -
41973尉治
： 需要一个前导定理:向量组B{a1,a2,……,as}能由向量组A{b1,b2,……,bt}线性表示的充分必要条件是矩阵A的秩等于矩阵(A,B)的秩,即R(A)=R(A,B) 这个定理是直接可以用的,你要证明的话也很简单,用这条定理去证明就可以了——矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是R(A)=R(A,B) 有了前导定理,就很容易证明你这个命题了,由前导定理可知,R(A)=R(A,B),而R(B)
司肥19281287988：
两个降秩矩阵相乘得到的矩阵的秩是不是比两个矩阵的秩都小 -
41973尉治
： 那你只能乘出来再算了,只能告诉你r(ab)
司肥19281287988：
行列式乘法定理的证明 -
41973尉治
： 1、首先假设两个方阵A、B中有一个不满秩,显然AB也不满秩 (r(AB)<=min(r(A),r(B)) 那么|AB|=|A| |B|=0. 2、A、B均满秩 A=P1P2…Pn*E*qm…q2q1 B=g1g2…gs*E*ht…h2h1 pi、qi、gi、hi均为初等矩阵,E为单位矩阵 |A||B|=|P1P2…Pn*E*...
司肥19281287988：
为什么矩阵加上一列之后它的秩却小于等于原来矩阵的秩 -
41973尉治
： 这个是不一定的,应该有其它条件辅助,由行秩来推,因为加一列,初等变化后不为0的行增加
司肥19281287988：
矩阵的秩的证明题 -
41973尉治
： 证明:AB为m*m矩阵,且其可逆, => r(AB)=m.由r(A)、r(B)<=m、n,又r(A)、r(B)>=r(AB)=m.所以, 秩A=秩B=m
司肥19281287988：
证明A的秩 - B的秩小于等于(A - B)的秩 -
41973尉治
： 等价于r(A)<=r(A-B)+r(B),即等价于r(A+B)<=r(A)+r(B).后面的,看下我的参考资料就明白了.写成向量形式,A+B的向量组可以由A、B的向量组线性表出,所以r(A+B)<=r(A)+r(B)
