求解离散数学题
这个问题分为两部分，第一部分是关于偏序集的哈斯图，第二部分是关于特定子集的元素性质。（1）画出偏序集 \langle A, R \rangle 的哈斯图
给定集合 A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12\} 和整除关系 R，我们需要画出表示这个偏序集的哈斯图。整除关系意味着如果 a 整除 b，那么在哈斯图中，a 会位于 b 的上方，并且两者之间会有一条线段相连。
首先，我们找出集合中每个元素的因数：
1 整除所有元素。
2 整除 4, 6, 8, 12。
3 整除 12。
4 整除 12。
6 整除 12。
8 整除 12。
12 是最大的元素，没有因数在集合中。
根据这些信息，我们可以画出哈斯图。由于这个图比较复杂，我将用文字描述其结构：
1 在最底部，连接到所有元素。
2 位于 1 之上，连接到 4, 6, 8, 12。
3 位于 1 之上，只连接到 12。
4 位于 2 之上，只连接到 12。
6 位于 2 和 3 之上，只连接到 12。
8 位于 2 之上，只连接到 12。
12 在最顶部，没有连接到其他元素。
（2）求子集 B = \{2, 4, 6, 12\} 的元素性质
对于子集 B，我们需要找出以下元素的性质：
最大元：集合中最大的元素。在这里是 12。
最小元：集合中最小的元素。在这里是 2。
极大元：不是其他元素的前驱的元素。在这里，12 是极大元，因为它没有后继。
极小元：没有前驱的元素。在这里，2 是极小元，因为它没有前驱。
上界：集合中所有元素都小于等于它的元素。12 是 B 的一个上界，但不是唯一的，因为任何大于等于 12 的元素都是 B 的上界。
上确界（Supremum）：集合上界中的最小元素。12 是 B 的上确界。
下界：小于等于集合中所有元素的元素。2 是 B 的一个下界，但不是唯一的，因为任何小于 2 的元素都是 B 的下界。
下确界（Infimum）：集合下界中的最大元素。2 是 B 的下确界。
请注意，由于 B 是从 A 中选取的子集，上界和下界的定义是相对于 B 本身而言的，而不是相对于整个实数集或更大的集合。在这个特定的问题中，12 作为 B 的最大元素，自然也是 B 的上界和上确界；2 作为 B 的最小元素，也是 B 的下界和下确界。
(1)
(2) B无上界，也无最小上界。下界1, 3; 最大下界是3.最大元12，最小元是1，极大元8, 12, 9; 极小元是1.
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