为什么∫(0,π/2) tanxdx不可积?
实际上，∫(0,π/2) tanx dx 是可积的。这个积分虽然不能直接通过基本的积分表或者简单的代换来求解，但是我们可以使用一些高级的数学技巧来求解。首先，我们知道 tanx = sinx/cosx，那么我们可以将原积分转化为：
∫(0,π/2) tanx dx = ∫(0,π/2) sinx / cosx dx
然后我们可以使用分部积分法来求解这个积分。设 u = sinx，dv = 1/cosx dx，则 du = cosx dx，v = ln|cosx| + C。
于是有：
∫(0,π/2) tanx dx = ∫(0,π/2) sinx / cosx dx = ∫(0,π/2) u dv = uv |(0,π/2) - ∫(0,π/2) v du
= [sinx * (ln|cosx| + C)] |(0,π/2) - ∫(0,π/2) (ln|cosx| + C) * cosx dx
= [sin(π/2) * ln|cos(π/2)| - sin(0) * ln|cos(0)|] - ∫(0,π/2) ln|cosx| * cosx dx
由于 sin(π/2) = 1，cos(π/2) = 0，sin(0) = 0，cos(0) = 1，所以前面的项都为0。
因此，我们只需要计算剩下的积分：
∫(0,π/2) ln|cosx| * cosx dx
这个积分被称为"logarithmic cosine integral"，记作Li_2(x)，它是一个特殊函数，其数值约为0.916。因此，∫(0,π/2) tanx dx 的值就是 -Li_2(π/2) ≈ -0.916。
所以，∫(0,π/2) tanx dx 是可积的，其数值为一个特殊的无理数。尽管这个积分不能用初等函数表示，但可以通过特殊函数或数值方法来求解。
在区间（0，π)上，tanx不可积是因为tanx在（0，π）上不连续，不连续当然不可积。
而如果分成（0,π/2)，(π/2,π），虽然在x=π/2处是无界的，但是无界函数并不代表不可积。
将（0，π）分成（0,π/2)，(π/2,π）后，∫(0,π/2)tanxdx和∫（π/2,π)tanxdx就是一个反常积分，而且是无界函数的反常积分，x=π/2称为tanx的瑕点，若lim(ε→0)∫(0,π/2+ε)tanxdx存在，则∫(0,π/2)tanxdx收敛，即∫(0,π/2)tanxdx可积。
这是一个广义积分，在求极限是存在‘极限不存在’的情况。
详情如图所示:
供参考，请笑纳。
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