小九九是怎么算出来？？？
小九九是一个聪明的小孩子，他最近在学习加法。他喜欢玩数字游戏，今天他决定玩一个加法游戏。游戏规则是这样的：小九九需要依次输入三个数字，然后将这三个数字相加起来，得到最终的结果。小九九开始玩游戏了。他输入了第一个数字 7，接着输入了第二个数字 8，然后输入了第三个数字 9。小九九非常聪明，他知道将这三个数字相加起来，可以得到 24 这个结果。
小九九很高兴，他觉得自己是一个天才。但是，他并没有停下来，他又玩了一次游戏。这一次，他输入了第一个数字 3，接着输入了第二个数字 5，然后输入了第三个数字 2。小九九很快地将这三个数字相加起来，得到了 10 这个结果。
小九九觉得这个游戏很有趣，他又玩了很多次。每一次，他都能够快速地计算出结果。最后，小九九把所有的结果加起来，得到了一个非常大的数字。这个数字是 195。
小九九很满意，他觉得自己在加法方面已经非常厉害了。他决定继续努力学习，成为一个更加聪明的小孩子。
我们要证明数学公式 $w = (x^Tx)^{-1} \cdot x^Ty$ 是如何化简出来的。
首先，我们要明确这个公式是从线性回归的正规方程中得出的。
线性回归的目标是找到一个向量 $w$，使得 $y = x \cdot w + b$ 尽可能地接近真实值 $y$。
正规方程是求解线性回归问题的一种方法，它通过最小化残差平方和来找到最佳的 $w$ 和 $b$。
正规方程的推导基于以下步骤：
1. 残差平方和 $SSR = \sum_{i=1}^{n} (y_i - (x_i \cdot w - b))^2$
2. 对 $SSR$ 关于 $w$ 和 $b$ 求导，并令导数为0。
3. 通过求导和化简，我们得到线性方程组：
$\begin{aligned}
&SSR'_{\hat{w}} = 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i(y_i - (x_i \cdot \hat{w} - b)) = 0 \\
&SSR'_{\hat{b}} = 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} (y_i - (x_i \cdot \hat{w} - \hat{b})) = 0
\end{aligned}$
4. 进一步化简，我们得到：
$\begin{aligned}
&2 \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i y_i - 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i x_i \cdot \hat{w} = 0 \\
&2 \cdot \sum_{i=1}^{n} y_i - 2 \cdot \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot \hat{w} = 0
\end{aligned}$
5. 解这个线性方程组，我们得到：
$\begin{aligned}
\hat{w} &= (x^T x)^{-1} \cdot x^T y \\
\hat{b} &= y - x \cdot \hat{w}
\end{aligned}$
其中，$\hat{w}$ 是最小二乘解，$\hat{b}$ 是截距。
所以，公式 $w = (x^T x)^{-1} \cdot x^T y$ 是从正规方程中化简得出的。
我们中国古时候就有九章算术等数学典籍了
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