线性方程组（七）- 线性无关

中一组向量{ }称为 线性无关的 ，若向量方程仅有平凡解。向量组（集）{ }称为 线性相关的 ，若存在不全为零的权 ，使 方程成立。方程 称为向量 的一个 线性相关关系 ，其中权不全为零。一组向量线性相关当且仅当它不是线性无关的。为简单起见，我们也可说 线性相关，意思是向量组（集）{ }是线性相关组。

设 。确定向量组{ }是否线性相关的。若线性相关，求出 的一个线性相关关系。
解：行化简相应的增广矩阵：
～ ～
显然， 和 为基本变量， 为自由变量。 的每一个非零值确定一组非平凡解。因此，向量组{
}是线性相关的。
继续行化简增广矩阵并写出对应方程组的通解 ：

选择 的一个非零值，比如 ，则 ， 。
就是 的一个线性相关关系。

设我们不考虑向量组而是考虑矩阵 ，矩阵方程 可以写成 。
的各列之间的每一个线性相关关系对应于方程 的一个非平凡解。矩阵 的各列线性无关，当且仅当方程 仅有平凡解。

确定矩阵 的各列是否线性无关。
解：为研究 ，把增广矩阵进行行化简：
～ ～
显然， ， 和 为基本变量，无自由变量。因此方程 仅有平凡解。 的各列是线性无关的。

仅含一个向量（比如说 ）的集合线性无关当且仅当 不是零向量。这是因为当 时向量方程 仅有平凡解。零向量时线性相关的，因为 有许多非平凡解。

确定下列向量组是否线性无关。

解：

两个向量的集合{ }线性相关，当且仅当其中一个向量是两一个向量的倍数。这个集合线性无关，当且仅当其中任一个向量不是另一个向量的倍数。

从几何意义上看，两个线性相关，当且仅当它们落在通过原点的同一条直线上。

定理 两个或更多个向量的集合 { }线性相关，当且仅当 中至少有一个向量是其他向量的线性组合。事实上，若 线性相关，且 ，则某个 是它前面向量 的线性组合。

必要性：若 中某个 是其他向量的线性组合，那么把方程两边剪去 就产生一个线性相关关系，其中 的权为（-1）。
如，若 ，那么 。

充要性：设 线性相关。
若 ，则它是 中其他向量的一个线性组合。即 。
若 ，存在 不全为0，使得 。
设 是使 的最大下标。若 ，则 。这是不可能的，因为 。故j > 1。即 ，可得

定理 若一个向量组的向量个数超过每个向量的元素个数，那么这个向量组线性相关。就是说， 中任意向量组{ }当 线性相关。
因为未知量比方程多，必定有自由变量。

定理 若 中向量组 { }包含零向量，则它线性相关。
把这些向量重新编号，我们可设 ，于是方程 。

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