基础解系是什么？
在线性代数中，基础解系（Basic Solution Set）通常是指齐次线性方程组的解的一组向量，它们构成了方程组的零空间（也称为核）的一组基。这组解可以用来表示齐次线性方程组的所有解。考虑一个齐次线性方程组：
\[ Ax = 0 \]
其中，\(A\) 是一个矩阵，\(x\) 是未知向量。如果 x1,x2,…,xk是这个方程组的解，那么它们的线性组合c1x1+c2x2+…+ckxkc1x1+c2x2+…+ckxk也是方程组的解，其中 c1,c2,…,ck是任意标量。
基础解系就是这样一组解，它们满足以下两个条件：
1. 这组解是线性无关的，即不能通过对其中的向量进行线性组合得到零向量，除非所有的系数都是零。
2. 这组解能够生成齐次线性方程组的所有解，也就是说，任何一个方程组的解都可以表示为这组解的线性组合。
在矩阵的语境下，基础解系通常对应于矩阵的零空间中的基向量，而这个零空间是由方程组的解构成的向量空间。
基础解系的概念对于理解线性代数、解线性方程组以及理解矩阵的零空间都是非常重要的。
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴锛氶綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬬粍鐨勮В闆嗙殑鏋佸ぇ绾挎ф棤鍏崇粍绉颁负璇ラ綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬬粍鐨勫熀纭瑙ｇ郴銆1銆佸绯绘暟鐭╅樀A杩涜鍒濈瓑琛屽彉鎹紝灏嗗叾鍖栦负琛岄樁姊舰鐭╅樀锛2銆佽嫢r(A)=r=n锛堟湭鐭ラ噺鐨勪釜鏁帮級锛屽垯鍘熸柟绋嬬粍浠呮湁闆惰В锛屽嵆x=0锛屾眰瑙ｇ粨鏉燂紱鑻(A)=r<n锛堟湭鐭ラ噺鐨勪釜鏁帮級锛屽垯鍘熸柟绋嬬粍鏈夐潪闆惰В锛岃繘琛屼互涓嬫楠わ細3銆...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴灏辨槸涓涓綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬬粍鐨勮В鍚戦噺缁勭殑鏈澶ф棤鍏崇粍锛屼篃灏辨槸璇翠换浣曚竴涓В鍚戦噺閮借兘鐢ㄥ熀纭瑙ｇ郴绾挎ц〃绀銆傝岄潪榻愭绾挎ф柟绋嬬粍瑙ｅ悜閲忕殑绾挎х粍鍚堜笉涓瀹氳繕鏄В锛屾墍浠ラ潪榻愭绾挎ф柟绋嬬粍娌℃湁鍩虹瑙ｇ郴锛屼絾鏄畠鐨勮В鏄敱榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鐨勫熀纭瑙ｇ郴鍜屼竴涓壒瑙ｇ粍鎴愮殑銆傚熀纭瑙ｇ郴鏄嚎鎬ф棤鍏崇殑锛岀畝鍗曠殑鐞嗚В灏辨槸鑳...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴鏄拡瀵规湁鏃犳暟澶氱粍瑙ｇ殑鏂圭▼锛岃嫢鏄綈娆＄嚎鎬ф柟绋嬬粍鍒欏簲鏄湁鏁堟柟绋嬬殑涓暟灏戜簬鏈煡鏁扮殑涓暟锛岃嫢闈為綈娆″垯搴旀槸绯绘暟鐭╅樀鐨勭З绛変簬澧炲箍鐭╅樀鐨勭З锛屼笖閮藉皬浜庢湭鐭ユ暟鐨勪釜鏁般傚浜庝竴涓柟绋嬬粍锛屾湁鏃犵┓澶氱粍鐨勮В鏉ヨ锛屾渶鍩虹鐨勶紝涓嶇敤涔樼郴鏁扮殑閭ｇ粍鏂圭▼鐨勮В锛屽(1锛2锛3)鍜(2锛4锛6)鍙(3锛6锛9)浠ュ強...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴鐨勬剰鎬濓細鍩虹瑙ｇ郴鏄寚鏂圭▼缁勭殑瑙ｉ泦鐨勬瀬澶х嚎鎬ф棤鍏崇粍锛屽嵆鑻ュ共涓棤鍏崇殑瑙ｆ瀯鎴愮殑鑳藉琛ㄧず浠绘剰瑙ｇ殑缁勫悎銆傚熀纭瑙ｇ郴绠楁硶锛氬厛姹傚嚭榻愭鎴栭潪榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鐨勪竴鑸В锛屽嵆鍏堟眰鍑虹敤鑷敱鏈煡閲忚〃绀虹嫭绔嬫湭鐭ラ噺鐨勪竴鑸В鐨勫舰寮忋傜劧鍚庡皢姝や竴鑸В鏀瑰啓鎴愬悜閲忕嚎鎬х粍鍚堢殑褰㈠紡锛屽垯浠ヨ嚜鐢辨湭鐭ラ噺涓虹粍鍚堢郴鏁扮殑瑙ｅ悜閲忓潎涓...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴灏辨槸鏋佸ぇ绾挎ф棤鍏冲悜閲忕粍锛屽惈鏈塶-r涓悜閲忥紝鏄墍鏈夎В鐨勭瀹楋紝鐢卞熀纭瑙ｇ郴闅忎究缁勫悎鐨勫悜閲忛兘鏄鏂圭▼鐨勮В銆侾S:n鏄湭鐭ユ暟涓暟锛宺鏄郴鏁扮煩闃电殑绉
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴鏄 (9, 1, -1)^T鎴 (1, 0, 4)^T銆傝В锛氭柟绋嬬粍 鍚岃В鍙樺舰涓4x1-x2-x3 = 0 鍗 x3 = 4x1-x2 鍙 x1 = 0锛 x2 = 1锛 寰楀熀纭瑙ｇ郴 (9, 1, -1)^T;鍙 x1 = 1锛 x2 = 0锛 寰楀熀纭瑙ｇ郴 (1, 0, 4)^T.榻愭绾挎ф柟绋嬬粍鐨勮В闆嗙殑鏋佸ぇ绾挎ф棤鍏崇粍绉颁负璇ラ綈娆＄嚎鎬...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴鏄 (9, 1, -1)^T鎴 (1, 0, 4)^T銆傝В锛氭柟绋嬬粍 鍚岃В鍙樺舰涓4x1-x2-x3 = 0 鍗 x3 = 4x1-x2 鍙 x1 = 0锛 x2 = 1锛 寰楀熀纭瑙ｇ郴 (9, 1, -1)^T 鍙 x1 = 1锛 x2 = 0锛 寰楀熀纭瑙ｇ郴 (1, 0, 4)^T 姹傗滃熀纭瑙ｇ郴鈥濓紝闇瑕佸皢甯︽眰鐭╅樀鍙樹负鈥滈樁姊舰鐭╅樀鈥濓紙...
绛旓細涓鑸眰鍩虹瑙ｇ郴鍏堟妸绯绘暟鐭╅樀杩涜鍒濈瓑鍙樻崲鎴愪笅涓夎鐭╅樀锛岀劧鍚庡緱鍑虹З锛岀‘瀹氳嚜鐢卞彉閲忥紝寰楀埌鍩虹瑙ｇ郴,鍩虹瑙ｇ郴鏄鐩稿浜庨綈娆(绛夊彿鍙宠竟涓0)鐨.渚嬪:x1+x2+x3+7x4=2,x1+2x2+x3+2x4=3,5x1+8x2+5x3+20x4=13,2x1+5x2+2x3-x4=7,鍏跺骞跨煩闃典负 1 1 1 7 2 1 2 1 2 3 5 8 5 20 13 2...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴鏄寚鏂圭▼缁勭殑瑙ｉ泦鐨勬瀬澶х嚎鎬ф棤鍏崇粍锛屽嵆鑻ュ共涓棤鍏崇殑瑙ｆ瀯鎴愮殑鑳藉琛ㄧず浠绘剰瑙ｇ殑缁勫悎銆傜瑙ｇ郴鐨勮В鍚戦噺涓暟鏄‘瀹氱殑锛屼絾瑙ｅ悜閲忔槸涓嶇‘瀹氱殑锛屽彧瑕佷袱涓や箣闂寸嚎鎬ф棤鍏冲嵆鍙傛瀬澶х嚎鎬ф棤鍏崇粍鍩烘湰鎬ц川 锛1锛夊彧鍚浂鍚戦噺鐨勫悜閲忕粍娌℃湁鏋佸ぇ鏃犲叧缁勩傦紙2锛変竴涓嚎鎬ф棤鍏冲悜閲忕粍鐨勬瀬澶ф棤鍏崇粍灏辨槸鍏舵湰韬傦紙3...
绛旓細鍩虹瑙ｇ郴锛氭槸瀵逛簬鏂圭▼缁勮岃█鐨勶紝鏂圭▼缁勬墠鏈夋墍璋撶殑鍩虹瑙ｇ郴锛屽氨鏄柟绋嬫墍鏈夎В鐨勨滃熀鈥濄傚熀锛氬浜庣┖闂磋岃█鐨勶紝绌洪棿鏈夊畠鐨勨滃熀鈥濓紝灏辨槸绾挎ф棤鍏崇殑鍑犱釜鍚戦噺锛岀劧鍚庣┖闂翠腑鐨勪换浣曚竴涓悜閲忛兘鑳界敱鈥滃熀鈥濈殑绾挎х粍鍚堟潵琛ㄧず銆傜浉鍏虫嫇灞 鍩虹瑙ｇ郴璇﹁В:鍩虹瑙ｇ郴鏄寚鏂圭▼缁勭殑瑙ｉ泦鐨勬瀬澶х嚎鎬ф棤鍏崇粍锛屽嵆鑻ュ共涓棤鍏崇殑...
