函数极限与数列极限的关系 函数极限与数列极限的关系

\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u4e0e\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u6709\u4f55\u8054\u7cfb\u4e0e\u533a\u522b

\u4e00\u3001\u4e8c\u8005\u8054\u7cfb
\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u548c\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u90fd\u662f\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u7684\u57fa\u7840\u6982\u5ff5\u4e4b\u4e00\u3002\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\u548c\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\u90fd\u5305\u542b\u552f\u4e00\u6027\u3002
\u4e8c\u3001\u4e8c\u8005\u533a\u522b
1\u3001\u53d6\u503c\uff1a\u6570\u5217\u7684N\u53d6\u503c\u662f\u6b63\u6574\u6570\uff0c\u4e00\u822c\u51fd\u6570\u7684X\u53d6\u503c\u662f\u8fde\u7eed\u7684\u3002\u51fd\u6570\u6781\u9650f(X)\u4e0eX\u7684\u53d6\u503c\u6709\u5173\uff0c\u800c\u6570\u5217\u6781\u9650Xn\u5219\u53ea\u662fn\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\u662fXn\u7684\u503c\u3002
2\u3001\u6027\u8d28\uff1a\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\u662f\u5c40\u90e8\u6709\u754c\u6027\uff0c\u800c\u6570\u5217\u6781\u9650\u4e3a\u6709\u754c\u6027\u3002
3\u3001\u56e0\u53d8\u91cf\u8d8b\u8fd1\u65b9\u5f0f\uff1a\u6570\u5217\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u5e38\u6570\u7684\u65b9\u5f0f\u6709\u4e09\u79cd\uff1a\u5de6\u8d8b\u8fd1\uff0c\u53f3\u8d8b\u8fd1\uff0c\u8df3\u8dc3\u8d8b\u8fd1\uff1b\u800c\u51fd\u6570\u6ca1\u6709\u8df3\u8dc3\u8d8b\u8fd1\u3002
4\u3001\u6570\u5217\u5177\u6709\u79bb\u6563\u6027\u3002\u800c\u51fd\u6570\u6709\u8fde\u7eed\u578b\u7684\uff0c\u4e5f\u6709\u79bb\u6563\u578b\u7684\u3002

\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6570\u5217\u6781\u9650\u548c\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28
1\u3001\u5e38\u7528\u7684\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\uff1a\u6570\u5217\u6781\u9650\u5177\u6709\u552f\u4e00\u6027\u3001\u6709\u754c\u6027\u3001\u4fdd\u53f7\u6027\u3001\u4fdd\u4e0d\u7b49\u5f0f\u6027\u3001\u8feb\u655b\u6027\u3002
2\u3001\u5e38\u7528\u7684\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u6027\u8d28\uff1a\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u552f\u4e00\u6027\u3001\u5c40\u90e8\u6709\u754c\u6027\u3001\u4fdd\u5e8f\u6027\u4ee5\u53ca\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u8fd0\u7b97\u6cd5\u5219\u548c\u590d\u5408\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u7b49\u3002
\u53c2\u8003\u8d44\u6599\u6765\u6e90\uff1a
\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u51fd\u6570\u6781\u9650
\u767e\u5ea6\u767e\u79d1-\u6570\u5217\u6781\u9650

\u7b2c\u4e00\u4e2a\u4e0d\u4e00\u5b9a\u76f8\u540c\uff0c\u770bx0\u53d6\u503c\uff1b\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u76f8\u540c\u3002


\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u51fd\u6570f(x)\u5f53\u81ea\u53d8\u91cf\u53d6\u6b63\u6574\u6570n,\u5e76\u8d8b\u4e8e\u6b63\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\u7684\u6781\u9650\uff0c\u89e3\u51b3\u65b9\u6848\u5982\u4e0b\uff1a
\u89e3\u51b3\u65b9\u68481\uff1a

f(x)=1/x
an=1/n
\u6570\u5217an\u7684\u6781\u9650,\u5f53n\u2192\u221e\u65f6\uff0clim(n\u2192\u221e)=lim(n\u2192\u221e)1/n=0
\u51fd\u6570f(x)\u7684\u6781\u9650\uff0c\u5f53x\u2192\u221e\u65f6\uff0clin(x\u2192\u221e)f(x)=lin(x\u2192\u221e)1/x=0
\u5c31\u662f\u8bf4\u51fd\u6570f(x)\u5f53\u81ea\u53d8\u91cfx\u53d6\u6b63\u6574\u6570n\u65f6,\u5e76\u4e14x\u8d8b\u4e8e\u6b63\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\u7684\u6781\u9650\u4e0ean\u7684\u6781\u9650\u662f\u4e00\u6837\u7684\u3002

\u901a\u8fc7\u5bf9\u6570\u636e\u5e93\u7684\u7d22\u5f15,\u6211\u4eec\u8fd8\u4e3a\u60a8\u51c6\u5907\u4e86\uff1a
\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u662f\u51fd\u6570f(x)\u5f53\u81ea\u53d8\u91cf\u53d6\u6b63\u6574\u6570n,...

\u95ee\uff1a\u8fd9\u53e5\u8bdd\u600e\u4e48\u7406\u89e3\uff1f
\u7b54\uff1af(x)=1/x an=1/n \u6570\u5217an\u7684\u6781\u9650,\u5f53n\u2192\u221e\u65f6\uff0clim(n\u2192\u221e)=lim(n\u2192\u221e)1/n=0 \u51fd\u6570f(x)\u7684\u6781\u9650\uff0c\u5f53x\u2192\u221e\u65f6\uff0clin(x\u2192\u221e)f(x)=lin(x\u2192\u221e)1/x=0 \u5c31\u662f\u8bf4\u51fd\u6570f(x)\u5f53\u81ea\u53d8\u91cfx\u53d6\u6b63\u6574\u6570n\u65f6,\u5e76\u4e14x\u8d8b\u4e8e\u6b63\u65e0\u7a77\u5927\u65f6\u7684\u6781\u9650\u4e0ean\u7684\u6781\u9650\u662f\u4e00\u6837\u7684\u3002
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\u51fd\u6570\u6781\u9650f(X)\u548c\u6570\u5217\u6781\u9650Xn\u7684\u533a\u522b\u5728\u54ea\u91cc?

\u95ee\uff1a\u8fd9\u53e5\u8bdd\u600e\u4e48\u7406\u89e3\uff1f
\u7b54\uff1a\u51fd\u6570\u6781\u9650f(X)\u4e2d\u7684\u5b9a\u4e49\u57df\u53ef\u4ee5\u53d6\u4efb\u610f\u5b9e\u6570\uff0c\u6570\u5217\u6781\u9650Xn\u7684\u7684N\u53ea\u80fd\u53d6\u5230\u6b63\u6574\u6570\u3002 \u800c\u6211\u4eec\u5728\u7814\u7a76\u6570\u5217\u7684\u65f6\u5019\u4e5f\u5f80\u5f80\u5c06\u5176\u8ba4\u4e3a\u4e3a\u7279\u6b8a\u7684\u51fd\u6570\uff0c\u5f53\u7136\u8981\u91cd\u65b0\u8bbe\u51fd\u6570\u4e3a\u6570\u5217an\u7684\u5f62\u5f0f\u3002~
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\u5173\u4e8e\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u6570\u5217\u548c\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u95ee\u9898

\u95ee\uff1a\u662f\u5426\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u7406\u89e3\u4ed6\u4eec\u5b9a\u4e49\u2026\u4ee5\u6570\u5217\u6781\u9650\u5b9a\u4e49\u4e3a\u4f8b\u2026\u968f\u7740n\u7684\u589e\u5927Xn\u8d8a\u6765\u8d8a\u63a5\u8fd1...
\u7b54\uff1a\u6570\u5217\u6781\u9650\u662f\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u4e00\u79cd\u7279\u4f8b\u6765\u7406\u89e3\u7684\uff0c\u5b83\u8981\u6bd4\u76f4\u63a5\u63a5\u89e6\u51fd\u6570\u6781\u9650\u8981\u76f4\u89c2\u4e00\u4e9b\uff0c\u4f46\u662f\u51fd\u6570\u6781\u9650\u8981\u6bd4\u6570\u5217\u6781\u9650\u9ebb\u70e6\u4e9b\uff0c\u4e3b\u8981\u5728\u4e8e\u51fd\u6570\u7684\u53d8\u91cfx\u65e2\u53ef\u4ee5\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff08\u6b63\u8d1f\uff09\uff0c\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8d8b\u4e8e\u67d0\u4e00\u70b9\uff0c\u540c\u65f6\u6570\u5217\u4e2d\u7684n\u53d6\u7684\u662f\u79bb\u6563\u7684\u91cf\uff0c\u800c\u51fd\u6570\u53d8\u91cfx\u5219\u662f\u53ef\u4ee5\u4e3a\u8fde...
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\u5173\u4e8e\u51fd\u6570\u6781\u9650\u4e0e\u6570\u5217\u6781\u9650\u7684\u5173\u7cfb

\u95ee\uff1a\u662f\u5426\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u7406\u89e3\u4ed6\u4eec\u5b9a\u4e49\u2026\u4ee5\u6570\u5217\u6781\u9650\u5b9a\u4e49\u4e3a\u4f8b\u2026\u968f\u7740n\u7684\u589e\u5927Xn\u8d8a\u6765\u8d8a\u63a5\u8fd1...
\u7b54\uff1a\u6570\u5217\u6781\u9650\u95ee\u9898\u53ef\u4ee5\u770b\u505a\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u7279\u4f8b\uff0c\u51fd\u6570f(x)\u5982\u679c\u9650\u5b9a\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3a\u81ea\u7136\u6570\u96c6\uff0c\u90a3\u4e48x\u8d8b\u4e8e\u6b63\u65e0\u7a77\u65f6 \u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u4e5f\u5c31\u662f\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650\u4e86
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\u6c42\u4e0b\u5217\u6570\u5217\u7684\u6781\u9650 \u8981\u6709\u8fc7\u7a0b

\u95ee\uff1a\u5c31\u662f\u8fd9\u4e9b= =
\u7b54\uff1a\u8fd9\u51e0\u4e2a\u9898\u76ee\u5f88\u8fdc\u4ee3\u8868\u6027\uff0c\u4f60\u5e73\u65f6\u4f5c\u4e1a\u4e4b\u6240\u4ee5\u4e0d\u4f1a\u505a\uff0c\u53ef\u80fd\u662f\u56e0\u4e3a\u4f60\u57fa\u672c\u7684\u4e1c\u897f\u90e8\u77e5\u9053\uff0c\u5176\u5b9e\u4e66\u672c\u4e0a\u6709\u4e00\u4e9b\u6211\u4e0b\u9762\u89e3\u9898\u7528\u5230\u7684\u67d0\u4e2a\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u79cd\u60c5\u51b5\u4e0b\u7684\u6781\u9650\uff0c\u628a\u8fd9\u4e9b\u8bb0\u6e05\u695a\uff0c\u4e14\u8981\u77e5\u9053\u4e00\u4e9b\u57fa\u672c\u7684\u5f62\u5f0f\u5982\u4f55\u53d8\u5316\uff0c\u4e00\u822c\u7684\u6c42\u6781\u9650\u5c31\u6ca1\u6709\u95ee\u9898\u4e86\uff01\u4e0b\u9762\u662f\u8fd9\u4e9b\u9898\u7684\u89e3\u9898...
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\u5fae\u5206\u4e0e\u6781\u9650\u7684\u5173\u7cfb

\u95ee\uff1a\u6709\u4ec0\u4e48\u8054\u7cfb\u554a
\u7b54\uff1a\u6781\u9650\u662f\u51fd\u6570\uff08\u6570\u5217\u4e5f\u53ef\u770b\u4f5c\u662f\u4ee5\u81ea\u7136\u6570\u4e3a\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u7279\u6b8a\u51fd\u6570\uff09\u5f53\u81ea\u53d8\u91cf\u8d8b\u5411\u65e0\u7a77\u5927\u6216\u67d0\u4e00\u5b9a\u503c\u65f6\u6240\u8868\u73b0\u7684\u4e00\u79cd\u7279\u6027\u3002 \u5fae\u5206\u5219\u662f\u51fd\u6570\u5728\u67d0\u4e00\u70b9\u5904\u56e0\u53d8\u91cf\u7684\u589e\u91cf\u548c\u81ea\u53d8\u91cf\u589e\u91cf\u4e4b\u95f4\u5b58\u5728\u7684\u4e00\u79cd\u7279\u6b8a\u5173\u7cfb\u3002 \u5bf9\u4e8e\u53ef\u5fae\u51fd\u6570\u6765\u8bf4\uff0c\u5176\u5728\u67d0\u4e00\u70b9\u7684\u5fae\u5206\u7b49\u4e8e\u8be5\u70b9\u7684\u5bfc\u6570\u4e0e\u81ea...
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\u6570\u5217\u6781\u9650\u548c\u51fd\u6570\u6781\u9650\u7684\u6982\u5ff5\uff1f

\u95ee\uff1a\u6709\u4ec0\u4e48\u8054\u7cfb\u554a
\u7b54\uff1a\u8bbe {Xn} \u4e3a\u5b9e\u6570\u5217\uff0ca \u4e3a\u5b9a\u6570\uff0e\u82e5\u5bf9\u4efb\u7ed9\u7684\u6b63\u6570 \u03b5\uff0c\u603b\u5b58\u5728\u6b63\u6574\u6570N\uff0c\u4f7f\u5f97\u5f53 n>N \u65f6\u6709\u2223Xn-a\u2223
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\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u7684\u81ea\u53d8\u91cf\u662fx\u4e3a\u5e38\u6570

\u95ee\uff1a\u51fd\u6570f\uff08x\uff09\u7684\u81ea\u53d8\u91cf\u662fx\u4e3a\u5e38\u6570\uff0c\u662f\u5426\u53ef\u4ee5\u628a\u5b83\u5f53\u6210\u8fde\u7eed\u51fd\u6570\u6c42\u5bfc\uff0c\u80fd\u5426\u5bf9f...
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数列的极限与函数的极限具有如下关系：

关于数列的极限有四个需要知道的点：

1、有极限的数列称作收敛数列，没有极限的数列称作发散数列。

2、收敛的数列一定有界。

3、收敛数列满足保号性。

4、收敛数列的任一子数列的极限都与该收敛数列的极限相等。

关于函数的极限有四个需要知道的点：

1、同一变化过程中，一个函数不可能有两个极限。

2、收敛的函数局部有界。

3、收敛的函数局部满足保号性。

扩展资料

有以下定理需要注意：

1、有限个无穷小的和也是无穷小。

2、有界函数与无穷小的乘积是无穷小。=>常数与无穷小的乘积是无穷小。有限个无穷小的乘积也是无穷小。

3、一般情况，极限存在的函数的加减乘除的极限等于他们的极限加减乘除的结果。但是需要注意的是，求两个极限为无穷小伙无穷大的函数相除的极限时，这个法则不适用。

4、如果函数g(x)>=f(x)，lim g(x)=a, lim f(x)=b, 则a>=b。

5、复合函数的极限运算法则。

参考资料来源：百度百科-极限

这个不是定义是定理，书上不是有证明嘛，把函数极限与数列极限的定义结合起来了，事实上就是函数极限的“子列性质”

函数是基本

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