复变函数问题求助，如何利用欧拉公式展开？ 复变函数中的欧拉公式定义域
\u95ee\u4e24\u4e2a\u9ad8\u6570\u548c\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u95ee\u9898\uff1f1.cos(z)=(e^(iz)+e^(-iz))/2=1+(iz)^2/(2!)+(iz)^4/(4!)+....
=1-z^2/2!+z^4/4!+.....
2.\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u6ca1\u6709\u56fe\u50cf\u3002\u4f46\u5b83\u6709\u5e45\u5ea6\u56fe\u50cfy=|f(z)|,\u548c\u76f8\u4f4d\u56fe\u50cfy=arg(f(z)).
\u590d\u53d8\u51fd\u6570\u7684\u5947\u5076\u5b9a\u4e49\u4e0e\u5b9e\u53d8\u51fd\u6570\u5b9a\u4e49\u662f\u4e00\u6837\u7684\uff0c\u5373\u6ee1\u8db3f(z)=f(-z)\u4e3a\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u6ee1\u8db3f(z)=-f(-z)\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\u3002\u8fd9\u4e24\u79cd\u51fd\u6570\u7684\u5e45\u5ea6\u51fd\u6570\u4e3a\u5076\u51fd\u6570\uff0c\u76f8\u4f4d\u51fd\u6570\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\u3002
\u53cd\u51fd\u6570\u5b58\u5728\u7684\u6761\u4ef6\u662ff(z)\u4e3a\u4e00\u4e00\u6620\u5c04\uff0c\u5373z1\u4e0d\u7b49\u4e8ez2\u4e0ef(z1)\u4e0d\u7b49\u4e8ef(z2)\u76f8\u4e92\u7b49\u4ef7\u65f6\u7684\u51fd\u6570f(z)\u3002
3.\u7b49\u5f0f\u4e24\u8fb9\u7528\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\uff0c\u5c55\u5f00\u540e\u662f\u65e0\u7a77\u9879\u76f8\u52a0\u7684\u5f62\u5f0f\uff0c\u5176\u4e2d\u6bcf\u9879\u7684\u5f62\u5f0f\u662f\u4e00\u4e2a\u7cfb\u6570\u4e58\u4ee5x^m(iy)^n\uff0c\u8be5\u9879\u7684\u6b21\u6570(\u5e42)\u4e3a\uff08m+n\uff09,\u6211\u4eec\u5c06\u6b21\u6570\u4e3a(m+n)\u7684\u6240\u6709\u9879\u5408\u5e76\u3002\u5373\u5c06x^0(iy)^(n+m),x^1(iy)^(n+m-1),x^2(iy)^(n+m-2),...
...,x^(m+n-1)(iy)^1,x^(m+n)(iy)^0\u8fd9\u4e9b\u6b21\u6570\u4e3a\uff08m+n\uff09\u7684\u9879\u5408\u5e76\u3002
\u4e3a\u6b64\uff0c\u5f97\u5148\u7b97\u6bcf\u4e00\u9879\u7684\u7cfb\u6570\u3002\u5bf9\u4e8ex^m(iy)^n\uff0c\u5b83\u662f\u7531e^x\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u4e2d\u7684
(1/m!)*x^m\u4e0ee^(iy)\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u4e2d\u7684(1/n!)*(iy)^m \u8fd9\u4e24\u9879\u76f8\u4e58\u5f97\u5230\u7684\uff0c
\u6545x^m(iy)^n\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a
(1/m!)*(1/n!)=(1/(m+n)!)C(m+n;m) (\u8fd9\u91ccn,k\u7684\u7ec4\u5408\u6570\u8bb0\u4e3aC(n;k))
\u5219\u7b49\u5f0f\u5de6\u8fb9\u7684\u7ea7\u6570\u76f8\u4e58\u5c55\u5f00\u4e2d\uff0c\u6b21\u6570\u4e3a\uff08m+n\uff09\u7684\u9879\u52a0\u5728\u4e00\u8d77\u7b49\u4e8e
\uff081/(m+n)!)\u2211(k\u4ece0\u5230r)C((m+n);k)*x^k(iy)^(m+n-k)=\uff081/(m+n)!)*(x+iy)!\uff08\u725b\u987f\u4e8c\u9879\u5f0f\u516c\u5f0f\uff09
\u800c\u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u7ea7\u6570\u5c55\u5f00\u4e2d\uff0c\u6b21\u6570\u4e3a(m+n)\u7684\u9879\u4e3a\uff081/(m+n)!)*(x+iy)!\uff0c
\u5373\u5de6\u8fb9\u5408\u5e76\u6b21\u6570\u76f8\u540c\u7684\u9879\u540e(\u591a\u9879\u5408\u5e76\u540e\u53d8\u4e3a\u4e00\u9879)\uff0c\u4e0e\u7b49\u5f0f\u53f3\u8fb9\u76f8\u540c\u6b21\u6570\u7684\u9879\u76f8\u7b49\uff0c
\u6545\u5de6\u8fb9=\u53f3\u8fb9\u3002
\u9ad8\u6570\u95ee\u9898
1.\u4e8c\u5143\u51fd\u6570\u5728\u95f4\u65ad\u70b9\u5904\u4e0d\u8fde\u7eed(\u5bf9x,y\u53d8\u91cf\u800c\u8a00\u90fd\u4e0d\u8fde\u7eed)\uff0c\u5f53\u7136\u4e0d\u5b58\u5728\u504f\u5bfc\u6570\u3002
2\u25b3Z=A\u25b3X+B\u25b3Y+o(c)\u662f\u5168\u5fae\u5206\u7684\u5b9a\u4e49\u5f0f\u3002
Z\u5bf9X\u7684\u504f\u5bfc\u6570\u8868\u793aX\u53d8\u5316\u65f6Z\u7684\u53d8\u5316\u7387\uff0c\u5f53\u7136\u4e0eY\u65e0\u5173\uff0c\u53ef\u5c06\u25b3Y\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002
\u5c3d\u7ba1X,Y\u53ef\u80fd\u76f8\u5173(\u6bd4\u5982\u90fd\u662ft\u7684\u51fd\u6570)\uff0c\u4f46\u5fae\u5206\u4ee3\u8868\u5173\u4e8e\u67d0\u4e2a\u91cf\u7684\u53d8\u5316\u901f\u7387\uff0c
\u65e2\u7136\u8981\u8ba1\u7b97Z\u5173\u4e8eX\uff0cY\u7684\u53d8\u5316\u901f\u7387\uff0c\u5c31\u5e94\u5c06X\uff0cY\u7684\u589e\u91cf\u25b3X\u4e0e\u25b3Y\u89c6\u4e3a\u65e0\u5173\u7684\uff0c\u56e0\u4e3a\u53ea\u5173\u5fc3\u25b3X\u5bf9\u25b3Z\u7684\u5f71\u54cd\u548c\u25b3Y\u5bf9\u25b3Z\u7684\u5f71\u54cd\u3002
1 \u53ef\u4ee5\u662f\u590d\u6570
2 sinZ= IM (cosZ +isinZ) \u53ea\u6709Z\u662f\u5b9e\u6570\u65f6\u624d\u6210\u7acb\uff0c \u5982\u679cZ\u4e0d\u662f\u5b9e\u6570\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5f0f\u5b50\u5c31\u4e0d\u6210\u7acb\uff0c\u6240\u4ee5\u4f60\u4e0d\u80fd\u628ai\u4ee3\u5165Z
sinZ=[e^(iZ)-e(-iZ)]/(2i) \u5f53\u7136\u662f\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u63a8\u51fa\u6765\u7684\uff0c\u4f60\u7528\u6b27\u62c9\u516c\u5f0f\u4ee3\u5165\u7b97\u7b97\u963f\uff0c\u5f88\u660e\u663e
如图所示：
绛旓細鏍规嵁澶鎸囨暟鍑芥暟鐨勫畾涔変互鍙娆ф媺鍏紡鍗冲彲 澶嶆寚鏁板嚱鏁帮細娆ф媺鍏紡锛氫袱涓叕寮忓畬鍏ㄧ瓑浠 鐜板湪瑙ｇ瓟濡備笅锛氫粠杩欓噷涔熷彲浠ョ湅鍑猴紝澶嶆暟鐨勬寚鏁板嚱鏁伴氬父鏄鍊鍑芥暟锛褰搆=0鏃讹紝涓婂紡缁撴灉涓
绛旓細鍠滄鏁板鐨勬湅鍙嬮兘鍠滄鎸戞垬鑷繁锛屽浜庢暟瀛︿腑鐨勫悇绉嶅叕寮杩愮敤閮界啛鎮夊績涓锛屾鎷鍏紡鏄暟瀛︿腑姣旇緝浼樼編鐨勪竴涓叕寮忥紝閭ｄ綘娓呮瀹冩庝箞鏍疯绠楀悧?涓嬮潰璁╂垜鏉ュ憡璇変綘銆傛鎷夊叕寮忔槸鎬庢牱璁＄畻鐨 澶嶅彉鍑芥暟涓紝e^(ix)=(cos x+isin x)绉颁负娆ф媺鍏紡锛宔鏄嚜鐒跺鏁扮殑搴曪紝i鏄櫄鏁板崟浣嶃傛嫇鎵戝涓紝鍦ㄤ换浣曚竴涓鍒欑悆闈㈠湴鍥句笂...
绛旓細娆ф媺鍏紡锛歟^蟺z浠ｄ笂涓嬮檺 =e^(i蟺/2)-e^i蟺 =(cos蟺/2+isin蟺/2)-(cos蟺+isin蟺)=i-(-1)
绛旓細涓夌褰㈠紡鍒嗗埆鏄垎寮忋澶嶅彉鍑芥暟璁恒佷笁瑙掑舰銆1銆佸垎寮忛噷鐨娆ф媺鍏紡锛歛锛緍/(a-b)(a-c)+b锛緍/(b-c)(b-a)+c锛緍/(c-a)(c-b)銆2銆佸鍙樺嚱鏁拌閲岀殑娆ф媺鍏紡锛歟^ix=cosx+isinx,e鏄嚜鐒跺鏁扮殑搴,i鏄櫄鏁板崟浣嶃3銆佷笁瑙掑舰涓殑娆ф媺鍏紡锛氳R涓轰笁瑙掑舰澶栨帴鍦嗗崐寰,r涓哄唴鍒囧渾鍗婂緞,d涓哄蹇冨埌鍐呭績...
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绛旓細鎴戞兂闂綘浣犲浣曞湪澶嶆暟鍩熶笂寰楀埌"骞傜殑涔樻柟,搴曟暟涓嶅彉,鎸囨暟鐩镐箻"杩欎釜娉曞垯鐨?澶嶅彉鍑芥暟涓,骞傚嚱鏁癴(z)=z^a涓鑸儏鍐典笅鏄鍊煎嚱鏁,鍙湁褰揳涓烘暣鏁版椂,f(z)鎵嶆槸鍗曞.鎵璋撳崟鍊煎鍊,鎸囩殑鏄竴涓嚜鍙橀噺z瀵瑰簲鍗曚釜/澶氫釜鍥犲彉閲廸(z).鍏蜂綋鏉ヨ,浠诲彇涓涓笉鏄暣鏁扮殑t,e^(2蟺it)杩欎釜鍑芥暟鎴戝彲浠ョ湅鍋氭槸f(z)=...
绛旓細1銆佸垎寮忛噷鐨娆ф媺鍏紡锛歛锛緍/(a-b)(a-c)+b锛緍/(b-c)(b-a)+c锛緍/(c-a)(c-b)锛2銆澶嶅彉鍑芥暟璁洪噷鐨勬鎷夊叕寮忥細e^ix=cosx+isinx,e鏄嚜鐒跺鏁扮殑搴,i鏄櫄鏁板崟浣嶏紱3銆佷笁瑙掑舰涓殑娆ф媺鍏紡锛氳R涓轰笁瑙掑舰澶栨帴鍦嗗崐寰,r涓哄唴鍒囧渾鍗婂緞,d涓哄蹇冨埌鍐呭績鐨勮窛绂,鍒欙細d锛2=R锛2-2Rr 锛4銆佹嫇鎵...
绛旓細鐢娆ф媺鍏紡 e^(ix)=cosx+isinx cosx=[e^(ix)+e^(-ix)]/2 sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)鍙緱z=e^(i胃)锛宻in胃=(z-1/z)/(2i)=(z*z-1)/(2i)
绛旓細鐢娆ф媺鍏紡灏唖in2x鏀瑰啓鎴愶細锛岀劧鍚庡甫鍏ワ紝鍘熷紡= 绉垎缁撴灉涓猴細= =
绛旓細鍦ㄣ澶嶅彉鍑芥暟銆嬩腑锛岃鈥滃箓鍑芥暟鈥濇椂锛屽叾涓涓鏁(鍖呭惈瀹炴暟)鐨勫鏁板箓锛屾湁鏃犵┓澶氫釜鍊笺傝鈥滄寚鏁板嚱鏁扳濇椂锛屽叾涓涓疄鏁扮殑澶嶆暟(鍖呭惈鏃犵悊鏁)骞傦紝鍗村彧鏈変竴涓笺傗滃箓鍑芥暟鈥濊鐨勬槸鈥滀唬鏁版鏂光濓紝鍏朵竴涓鏁(鍖呭惈瀹炴暟)鐨勬棤鐞嗘暟骞傦紱鈥滄寚鏁板嚱鏁扳濊鐨勬槸鈥滅畻鏈鏂光濓紝鍏朵竴涓疄鏁扮殑澶嶆暟(鍖呭惈鏃犵悊鏁)骞傘
