探索：余数可以是0吗？
一、缘起有人说数学教学是一门思辨的艺术，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，步步为营的思维方式，总能让人体会数学的无穷魅力！
引发思考的导火索是一道填空题。
在（ ）÷ 6 = 4 ……（ ）中，第二个括号最小能填（ ），则第一个括号里填（ ）。
“第二个括号最小能填几”其实就是“余数最小是几”，这个问题在老师们中引起了争议，有人说“余数最小是1”，有人说“余数最小是0”，孰是孰非？大家“刨根问底”的劲头儿上来了，决定抱着科学严谨的态度，多方论证，一探究竟。
二、且听一线之声
余数可以是0吗？大家知道一线老师们怎样看待这一问题，于是随机“采访”了几位老师。
师1：什么叫有余数的除法？平均分后，没有完全分完，所剩下的就是余数，如果完全分完了，应该是没有余数了，所以我认为有余数的除法应该不包括完全分完的这种情况，所以余数不可能有0。
师2：首先如果0是余数，那整数的除法都是有余数的除法了，就不存在没有余数的除法，这与我们平时的说法不一致。再从字面上理解，“余数”就是剩余的数，没有剩余怎么会有余数呢？
师3：我找到了2012年版（第6版）《现代汉语词典》（商务印书馆），在P1585关于“余数”一词是这样解释的，“整数除法中，被除数未被除数整除所剩的大于0而小于除数的部分。如27÷6=4…3。即不完全商是4，余数是3。
师4：任何除法都有余数，当然0也是余数，在有些版本的教材中有提示，余数0可以不写，但有一点得明确，0一定不能当除数，否则就无意义。
师5：在有余数的除法中，除得的余数必须比除数小，0比除数小。我觉得0是余数。
三、且读教材之说
老师们不同的答案，各有各的道理，可究竟孰是孰非，谁也不敢妄下结论，于是决定借助教材来找寻答案。
通过网络和其他途径，找到了几种使用较广的不同版本小学数学教材。不同版本教材对“余数”这部分内容相关章节的呈现，以及《教师用书》中关于教材的解读，引起各位的一些思考。
▲ 2011年人教版三年级上册
▲ 2014年新人教版二年级下册
教参解读
《有余数除法》这部分内容新版教材由三年级上册前移至二年级下册，与实验教材相比，主题图在编排上发生了很大的变化，由纯粹的算式探究改为了活动探究，突出体现了利用实际操作加强学生理解余数的含义。
新版教材例2通过用小棒摆正方形的操作活动，在巩固有余数除法的含义的基础上，让学生通过观察、比较、分析、发现余数和除数之间的关系〔余数＜除数〕，明白余数比除数小的道理。随后的“做一做”题目设计比较巧妙，没有给出小棒的总根数，而是让学生运用余数和除数的关系解决问题，使学生明确：最小的余数是1，最大的余数比除数小1，进而加深学生对余数和除数关系的理解。
思考
对比新老人教版的教材，虽然探究余数和除数关系时在编排的理念上有很大的变化，但正文部分都没有直接给出余数的相关结论和余数可能是几的明确答复，给我们的感觉是“犹抱琵琶半遮面”，一线老师仍是不甚明了。但从教参的解读，依稀能感觉编者还是更加倾向“余数不可以为0”这一观点。
▲ 老苏教版二年级数学下册
▲ 新苏教版二年级数学下册
教参解读
由于所处地域及其他各方面原因，没有找到相应的教师教学用书，所以也不敢妄加解读，感到特别遗憾，以后等找到相关的材料再补上。
思考
老苏教版这部分内容教材呈现形式和北师大（第3版）几乎一样，都是出示一组算式，让学生通过“比较每道题的余数和除数的大小，你发现了什么？”，教材中没有给出明确的答复，估摸着教参的说法应该也和北师大（第3版）差不多，认为余数就是指分剩下的数。
新苏教版关于这部分的内容呈现和新人教版差不多，都是通过用小棒摆正方形的操作活动，让学生通过观察、比较、分析、发现余数和除数之间的关系。不同的是人教版教材中没有给出结论，而新苏教版教材中明确地告诉学生“余数可能是1、2、3，不能是4”，直接说出了余数的所有可能，没有说有0。个人认为苏教版的编者可能更倾向“余数不能为0”这一结论，认为最小的余数就是1。
▲ 北师大版（第3版）二年级数学
▲ 北师大版（第4版）二年级数学
教参解读
第3版教材P4通过四道题的练习，让学生通过比较每道题的余数和除数，自主探索并发现余数与除数之间的关系，教学时教师要让学生认识到分剩下的数就是余数。第4版教材P4结合搭正方形的活动，为学生理解余数和除数的关系提供了形象化的支撑。整个活动完成之后，再观察填写表格，有利于激发学生产生“余数一会儿大一会儿，怎么回事”、“余数都比除数小，为什么”的数学问题，进而自然引导学生总结出余数和除数的关系。
思考
在第4版教参中有这样的几段话引起了我们的注意：
《教参》P2说“本册是第二次学习除法，重点是指结合平均分物与操作活动学习有余数除法（注：本单元‘有余数的除法’都是指‘有剩余的除法’，即余数不为0的除法），认识余数并探索除数和余数的关系”。
另外在P13又说“需要说明的是，在上面的探索活动中，为了呈现操作过程的原始记录，学生需要填写余数为0的算式，但是在平时进行除法运算时，余数为0可以不写”。
教参中首次出现“余数为0”这一关键词，对比第3版教参，从“教学时教师要让学生认识到分剩下的数就是余数”→“本单元‘有余数的除法’都是指‘有剩余的除法’，即余数不为0的除法” →“为了呈现操作过程的原始记录，学生需要填写余数为0的算式”。第4版教参没有回避“余数可以是0”这一话题，我想编者一定不会在这块内容随意进行修改，肯定也是经过了一番考证，觉得余数为0还是有道理的，应该是有意而为之。
四、且观专家论道
在数学课本上找不到“余数可以为0”的论述，教参中的说法又没有形成统一的观点，而在词典中却找到了“余数不可以为0”的证据，所以不难理解很多老师都坚持认为余数不能为0了，事实的真相果真如此吗？
毕竟词典只能代表一家之言，还是决定找找数学方面的专业书籍和求证有关专家，希望在那里找寻到我们想要的答案。
联系到一位攻读了博士学位、现在大学数理学院任教的朋友，把自己的疑惑和想法和他进行了交流，他也不能轻易下结论，要想真正弄清楚必须找到相关的佐证。
几天后这位爱做研究的朋友发来了多篇关于余数知识的论文，并快递过来一本他用过的大学教材——《初等数论》（潘承洞、潘承彪著），北京大学出版社出版，在这本书P16第一章《整除》§3〈带余数的除法〉有这样的论述“初等数论的证明中最重要的、最基本、最直接的工具就是下面的带余除法，也称除法算式”，上面记载了如下的定理和推论。
[ 定理1 ] 设 a、b 是两个给定的整数，a≠0，那么一定存在唯一的一对整数 q 和 r，满足 b＝qa＋r，0≤r＜a，此外 ab 的充要条件是 r＝0
这里 r 指的就是余数，书中非常明确地告诉了我们余数可以是0。
小学数学特级教师牛献礼关于余数有这样一段论述：
为什么有人提出“0是余数吗”的质疑呢？这可能与平时不严谨的语言描述有关。如把“没有剩余的除法”说成“没有余数的除法”，把“有剩余的除法”说成“有余数的除法”。这种把除法分成有或没有余数的描述，导致了认知冲突：既然没有余数，怎么又冒出余数是0呢？
这段话给了我们很大的启示，令我豁然开朗。
接着，继续在网上搜集了很多关于余数方面的专家论文，其中有一篇是江西南昌师专肖鉴铿教授撰写的题目是《浅谈在整数除法中余数可以为零》，里面有这样的一段论述“事实上，‘余数为0’的提法早已被数学界认可。‘余数为0’的说法是有据可查的”，在《小学数学教师手册》（人民教育出版社，1982年）第49页有如下表述：
判定一个整数能不能被另一个正整数整除，只需进行除法运算即可。如果所得的余数为0，就是整除的情况；如果所得的余数不为0，就是不能整除的情况。
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