初三数学怎样列一元二次方程？
\u521d\u4e09\u6570\u5b66\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u600e\u4e48\u5217\u4f60\u628a\u9898\u76ee\u7ed9\u51fa\u6765\u554a\uff0c\u4e0d\u7136\u6211\u4eec\u4e5f\u65e0\u4ece\u4e0b\u624b\u554a\uff01\u6240\u8c13\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u6a21\u5f0f\uff1aAX2+BX+C=D\uff0c\u6309\u7167\u8fd9\u4e2a\u6a21\u5f0f\u5217\u51fa\uff0c\u628a\u76f8\u5e94\u7684A B C D\u6309\u9898\u76ee\u610f\u601d\u8f6c\u6362\u4e3a\u6570\u5b57 A\u4e0d\u4e3a0\u5176\u4f59\u90fd\u53ef\u4ee5\u4e3a0\u3002
\u9996\u5148\u6211\u4eec\u5047\u8bbe\u6709X\u4e2a\u961f\uff0c\u90a3\u4e48\u6bcf\u4e2a\u961f\u5c31\u8981\u548cX-1\u4e2a\u961f\u6bd4\u8d5b\uff0c\u800c\u6bcf\u4e2a\u961f\u6bd4\u8d5b2\u6b21\u3002\u90a3\u4e48\u65b9\u7a0b\u5c31\u5e94\u8be5\u8fd9\u6837\u5217 (X-1)*X*2=90\uff0c\u4f46\u662f\u4f60\u8fd9\u6837\u7b97\u7684\u8bdd\u4f60\u5c06\u53d1\u73b0\u65e0\u6cd5\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0c\u90a3\u91cc\u51fa\u95ee\u9898\u4e86\u5462\uff1f\u8fd9\u4e2a\u6211\u662f\u4ece\u6392\u5217\u7684\u5730\u65b9\u53d1\u73b0\u9519\u8bef\u7684\uff0c\u800c\u6392\u5217\u662f\u9ad8\u4e2d\u95ee\u9898\u4f60\u4eec\u521d\u4e2d\u90e8\u7406\u89e3\uff0c\u6240\u4ee5\u6211\u53ea\u80fd\u544a\u8bc9\u4f60\u8fd9\u4e2aX*(X-1)\u6709\u7384\u673a\uff0c\u6211\u4eec\u53ef\u4ee5\u60f3\u4e00\u4e0b\u603b\u4eba\u6570\u4e3aX\u4e2a \u90a3\u4e48\u6bcf\u4e2a\u548cX-1\u4e2a\u961f\u6bd4\u8d5b\uff0c\u800cX*\uff08X-1\uff09\u5b83\u91cc\u9762\u6709\u91cd\u590d\u7684\u961f\u4f0d\u6bd4\u8d5b\u51fa\u73b0\uff0c\u4e5f\u5c31\u662fa\u961f\u548cX-1\u4e2a\u961f\u6bd4\u8d5b\uff0c\u800cb\u961f\u4e5f\u548c(X-1)\u4e2a\u961f\u6bd4\u8d5b\uff0c\u4f60\u53d1\u73b0\u4e86\u5417\uff1fa\u548cb\uff0c\u53ef\u4ee5\u662faVSb \u4e5f\u53ef\u4ee5\u662fbVSa\u91cc\u9762\u5df2\u5c06\u5305\u62ec\u53cc\u8d5b\u4e86\uff0c\u90a3\u4e48\u6700\u540e\u7ed3\u679c\u4e3aX\uff08X-1)=90\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5f97X=10 X=-9....\u7ed3\u679c\u4e00\u4e0b\u800c\u77e5 \u5bf9\u4e8e\u6709\u4f4d\u9ad8\u624b\u7684\u5b66\u4e60\u65b9\u6cd5\u6211\u4e5f\u8ba4\u540c\u867d\u7136\u6211\u9ad8\u8003\u4e0d\u600e\u4e48\u7406\u60f3\u3002\u3002\u3002\u4f46\u662f\u6211\u5b66\u4e60\u65b9\u6cd5\u548c\u4ed6\u4e00\u6837\u4e5f\u89c9\u5f97\u5b66\u6570\u5b66\u8fd9\u6837\u5f88\u6709\u6548\uff01
\u5bf9\u4e8e\u4f60\u7684\u52e4\u5b66\u597d\u95ee\uff0c\u6211\u611f\u5230\u5f88\u6b23\u6170\u3002\u521d\u4e09\u7684\u6570\u5b66\uff0c\u4e00\u822c\u6765\u8bf4\u8ba1\u7b97\u91cf\u548c\u5206\u6790\u8fc7\u7a0b\u90fd\u4e0d\u4f1a\u5f88\u590d\u6742\u3002\u89e3\u9898\u7684\u5173\u952e\u662f\u627e\u51fa\u6b63\u786e\u7684\u53d8\u91cf\u8bbe\u4e3a\u672a\u77e5\u4ee3\u6570\u3002\u4e00\u822c\u6765\u8bf4\uff0c\u8fd9\u4e2a\u53d8\u91cf\u7684\u7279\u70b9\u662f\u80fd\u65b9\u4fbf\u7684\u8868\u8fbe\u51fa\u5176\u4ed6\u6240\u6709\u7684\u91cf\u3002\u7136\u540e\u627e\u51fa\u8fd9\u4e9b\u91cf\u4e4b\u95f4\u6709\u4ec0\u4e48\u7b49\u91cf\u5173\u7cfb\uff0c\u7528\u672a\u77e5\u4ee3\u6570\u8868\u793a\u51fa\u7b49\u91cf\u5173\u7cfb\u5c31\u80fd\u6210\u529f\u7684\u5217\u51fa\u65b9\u7a0b\u5f0f\u5566\u3002\u4f60\u53ef\u4ee5\u597d\u597d\u7814\u7a76\u51e0\u4e2a\u9898\uff0c\u4e0d\u61c2\u7684\u8bdd\u62ff\u4e0a\u6765\u6211\u5e2e\u4f60\u5206\u6790\uff0c\u5c31\u80fd\u7406\u89e3\u6211\u8bf4\u7684\u8bdd\u5566\u3002
一元二次方程（quadratic equation of one variable）是指含有一个未知数且未知数的最高次项是二次的整式方程。 一般形式为： y=ax+bx+c=0, (a≠0) 一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是今后学习数学的基础。 一元二次方程的一般形式为：ax+bx+c=0, (a≠0)，它是只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的整式方程。编辑本段二、方法、例题精讲
解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法： 1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。 1、直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程，其解为x=±√n+m . 例1．解方程（1）(x-2)²=9（2）9x²-24x+16=11 分析：（1）此方程显然用直接开平方法好做，（2）方程左边是完全平方式(3x-4)²，右边=11>0，所以此方程也可用直接开平方法解。 （1）解：(x-2)²=9 ∴x-2=±√9 ∴x-2=±3 ∴x1=3+2 x2=-3+2 ∴x1=5 x2=1 ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3 （2）解： 9x²-24x+16=11 ∴(3x-4)²=11 ∴3x-4=±√11 ∴x=﹙ 4±√11﹚/3 ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3 2．配方法：用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 先将常数c移到方程右边：ax²+bx=-c 将二次项系数化为1：x²+b/ax=- c/a 方程两边分别加上一次项系数的一半的平方：x²+b/ax+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²; 方程左边成为一个完全平方式：(x+b/2a )²= -c/a﹢﹙b/2a﹚²; 当b²-4ac≥0时，x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²; ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 例2．用配方法解方程 3x²-4x-2=0 解：将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 将二次项系数化为1：x²-﹙4/3﹚x= ? 方程两边都加上一次项系数一半的平方：x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )² 配方：(x-4/6)²= ? +(4/6 )² 直接开平方得：x-4/6=± √[? +(4/6 )² ] ∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ] ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ . 3．公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式△=b²-4ac的值，当b²-4ac≥0时，把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。 例3．用公式法解方程 2x²-8x=-5 解：将方程化为一般形式：2x²-8x+5=0 ∴a=2, b=-8, c=5 b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0 ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a) ∴原方程的解为x?=,x?= . 4．因式分解法：把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。 例4．用因式分解法解下列方程： (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0 (3) 6x²+5x-50=0 (选学） (4)x2-2( + )x+4=0 （选学） (1)解：(x+3)(x-6)=-8 化简整理得 x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式，右边为零) (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式) ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。 (2)解：2x2+3x=0 x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式) ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程) ∴x1=0，x2=-是原方程的解。 注意：有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解，应记住一元二次方程有两个解。 (3)解：6x2+5x-50=0 (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错) ∴2x-5=0或3x+10=0 ∴x1=, x2=- 是原方程的解。 (4)解：x2-2(+ )x+4 =0 （∵4 可分解为2 ·2 ，∴此题可用因式分解法） (x-2)(x-2 )=0 ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。 小结： 一般解一元二次方程，最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形式，同时应使二次项系数化为正数。 直接开平方法是最基本的方法。 公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程（有人称之为万能法），在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算判别式的值，以便判断方程是否有解。 配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法 解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一，一定要掌握好。（三种重要的数学方法：换元法，配方法，待定系数法）。 例5．用适当的方法解下列方程。(选学） （1）4(x+2)2-9(x-3)2=0 （2）x2+(2-)x+ -3=0 （3） x2-2 x=- （4）4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 分析：（1）首先应观察题目有无特点，不要盲目地先做乘法运算。观察后发现，方程左边可用平方差公式分解因式，化成两个一次因式的乘积。 （2）可用十字相乘法将方程左边因式分解。 （3）化成一般形式后利用公式法解。 （4）把方程变形为 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0，然后可利用十字相乘法因式分解。 （1）解：4(x+2)2-9(x-3)2=0 [2(x+2)+3(x-3)][2(x+2)-3(x-3)]=0 (5x-5)(-x+13)=0 5x-5=0或-x+13=0 ∴x1=1,x2=13 （2）解： x2+(2- )x+ -3=0 [x-(-3)](x-1)=0 x-(-3)=0或x-1=0 ∴x1=-3，x2=1 （3）解：x2-2 x=- x2-2 x+ =0 (先化成一般形式) △=(-2 )2-4 ×=12-8=4>0 ∴x= ∴x1=,x2= （4）解：4x2-4mx-10x+m2+5m+6=0 4x2-2(2m+5)x+(m+2)(m+3)=0 [2x-(m+2)][2x-(m+3)]=0 2x-(m+2)=0或2x-(m+3)=0 ∴x1= ,x2= 例6．求方程3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0的二根。 (选学） 分析：此方程如果先做乘方，乘法，合并同类项化成一般形式后再做将会比较繁琐，仔细观察题目，我们发现如果把x+1和x-4分别看作一个整体，则方程左边可用十字相乘法分解因式（实际上是运用换元的方法） 解：[3(x+1)+2(x-4)][(x+1)+(x-4)]=0 即 (5x-5)(2x-3)=0 ∴5(x-1)(2x-3)=0 (x-1)(2x-3)=0 ∴x-1=0或2x-3=0 ∴x1=1,x2=是原方程的解。 例7．用配方法解关于x的一元二次方程x2+px+q=0 解：x2+px+q=0可变形为 x2+px=-q (常数项移到方程右边) x2+px+( )2=-q+()2 (方程两边都加上一次项系数一半的平方) (x+)2= (配方) 当p2-4q≥0时，≥0（必须对p2-4q进行分类讨论） ∴x=- ±= ∴x1= ,x2= 当p2-4q<0时，<0此时原方程无实根。 说明：本题是含有字母系数的方程，题目中对p, q没有附加条件，因此在解题过程中应随时注意对字母取值的要求，必要时进行分类讨论。 练习： （一）用适当的方法解下列方程： 1. 6x2-x-2=0 2. (x+5)(x-5)=3 3. x2-x=0 4. x2-4x+4=0 5. 3x2+1=2x 6. (2x+3)2+5(2x+3)-6=0 （二）解下列关于x的方程 1.x2-ax+-b2=0 2. x2-( + )ax+ a2=0 练习参考答案： （一）1.x1=- ,x2= 2.x1=2,x2=-2 3.x1=0,x2= 4.x1=x2=2 5.x1=x2= 6.解：（把2x+3看作一个整体，将方程左边分解因式） [(2x+3)+6][(2x+3)-1]=0 即 (2x+9)(2x+2)=0 ∴2x+9=0或2x+2=0 ∴x1=-,x2=-1是原方程的解。 （二）1．解：x2-ax+( +b)( -b)=0 2、解：x2-(+ )ax+ a· a=0 [x-( +b)] [x-( -b)]=0 (x- a)(x-a)=0 ∴x-( +b)=0或x-( -b) =0 x- a=0或x-a=0 ∴x1= +b，x2= -b是 ∴x1= a，x2=a是 原方程的解。 原方程的解。 测试 选择题 1．方程x(x-5)=5(x-5)的根是（ ） A、x=5 B、x=-5 C、x1=x2=5 D、x1=x2=-5 2．多项式a2+4a-10的值等于11，则a的值为（ ）。 A、3或7 B、-3或7 C、3或-7 D、-3或-7 3．若一元二次方程ax2+bx+c=0中的二次项系数，一次项系数和常数项之和等于零，那么方程必有一个根是（ ）。 A、0 B、1 C、-1 D、±1 4． 一元二次方程ax2+bx+c=0有一个根是零的条件为（ ）。 A、b≠0且c=0 B、b=0且c≠0 C、b=0且c=0 D、c=0 5． 方程x2-3x=10的两个根是（ ）。 A、-2，5 B、2，-5 C、2，5 D、-2，-5 6． 方程x2-3x+3=0的解是（ ）。 A、 B、 C、 D、无实根 7． 方程2x2-0.15=0的解是（ ）。 A、x= B、x=- C、x1=0.27, x2=-0.27 D、x1=, x2=- 8． 方程x2-x-4=0左边配成一个完全平方式后，所得的方程是（ ）。 A、(x-)2= B、(x- )2=- C、(x- )2= D、以上答案都不对 9． 已知一元二次方程x2-2x-m=0，用配方法解该方程配方后的方程是（ ）。 A、(x-1)2=m2+1 B、(x-1)2=m-1 C、(x-1)2=1-m D、(x-1)2=m+1 答案与解析 答案：1.C 2.C 3.B 4.D 5.A 6.D 7.D 8.C 9.D 解析： 1．分析：移项得：(x-5)2=0，则x1=x2=5, 注意：方程两边不要轻易除以一个整式，另外一元二次方程有实数根，一定是两个。 2．分析：依题意得：a2+4a-10=11, 解得 a=3或a=-7. 3．分析：依题意：有a+b+c=0, 方程左侧为a+b+c, 且具仅有x=1时， ax2+bx+c=a+b+c，意味着当x=1时，方程成立，则必有根为x=1。 4．分析：一元二次方程 ax2+bx+c=0若有一个根为零， 则ax2+bx+c必存在因式x，则有且仅有c=0时，存在公因式x，所以 c=0. 另外，还可以将x=0代入，得c=0，更简单！ 5．分析：原方程变为 x²-3x-10=0, 则(x-5)(x+2)=0 x-5=0 或x+2=0 x1=5, x2=-2. 6．分析：Δ=9-4×3=-3<0，则原方程无实根。 7．分析：2x²=0.15 x2= x=± 注意根式的化简，并注意直接开平方时，不要丢根。 8．分析：两边乘以3得：x2-3x-12=0，然后按照一次项系数配方，x2-3x+(-)2=12+(- )2， 整理为：(x-)2= 方程可以利用等式性质变形，并且 x2-bx配方时，配方项为一次项系数-b的一半的平方。 9．分析：x2-2x=m, 则 x2-2x+1=m+1 则(x-1)2=m+1. 中考解析
可以分步去做，
设第一年是a，增长率是x
第一年 a 增长 0 总计：a
第2年 a a*x a+a*x=a(1+x)
第三年 a(1+x) a(1+x)*x a(1+x) +a(1+x)*x =a(1+x)(1+x)=a(1+x)^2
以此类推！
如求增长率,a(1+x)^=B
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