如何判断一个函数在一个点处的极限存在？
整体简介：
研究函数的极限是整个微积分的主要内容，事实上有很多函数在某些点事不连续的，像这个函数一样，在x->0的时候是震荡的。
主要方法：利用微积分中极限存在性理论
主要过程：
注意事项：
判断一个函数在某点的极限存不存在关键，看在这点（无论以什么样的方式趋近）极限是否保存不变。
参考文献：
复旦大学《数学分析》
绛旓細濡傛灉浜岄樁瀵兼暟澶т簬闆讹紝閭ｄ箞杩欎竴鐐瑰氨鏄嚱鏁扮殑鏋佸皬鍊肩偣锛涘鏋滀簩闃跺鏁板皬浜庨浂锛岄偅涔堣繖涓鐐瑰氨鏄嚱鏁扮殑鏋佸ぇ鍊肩偣锛涘鏋滀簩闃跺鏁扮瓑浜庨浂锛岄偅涔堟垜浠棤娉曠洿鎺ラ氳繃浜岄樁瀵兼暟鍒ゆ柇璇ョ偣鐨勬瀬鍊兼儏鍐碉紝鍙兘闇瑕佹洿楂橀樁鐨勫鏁版潵鍒ゆ柇銆備緥濡傦紝瀵逛簬鍑芥暟f(x) = x^3锛屽叾涓闃跺鏁颁负f'(x) = 3x^2锛屼簩闃跺鏁颁负f''(x) = ...
绛旓細鍒ゆ柇鏋侀檺鏄惁瀛樺湪鐨勬柟娉曞涓嬶細1銆佷唬鏁版柟娉曪細閫氳繃瀵瑰緟姹傚嚱鏁拌繘琛屼唬鏁拌繍绠锛屽皾璇曞鑷彉閲忛艰繎鏌愪釜鐗瑰畾鍊兼椂锛岃瀵熷嚱鏁版槸鍚﹁秼浜庝竴涓‘瀹氱殑甯告暟鎴栨棤绌峰ぇ鎴栨棤绌峰皬銆傚鏋滆兘澶熷緱鍒扮‘瀹氱殑缁撴灉锛岄偅涔堟瀬闄愬瓨鍦ㄣ2銆佸嚱鏁板浘鍍忔硶锛氶氳繃瑙傚療鍑芥暟鍦ㄨ嚜鍙橀噺閫艰繎鏌愪釜鐗瑰畾鍊兼椂鐨勫浘鍍忚〃鐜帮紝鑰冨療鍏舵槸鍚﹁秼杩戜簬鏌愪釜鐗瑰畾鍊笺佽秼杩戜簬姝ｆ棤绌...
绛旓細锛1锛夊鏋渪鈭堬紙x₀-未锛寈₀锛夛紝鏈塮'锛坸锛夛紴0锛涜寈鈭堬紙x₀锛寈₀+未锛夛紝鏈塮'锛坸锛夛紲0锛屽垯f锛坸锛夊湪x₀澶勫彇寰楁瀬澶у笺傦紙2锛夊鏋渪鈭堬紙x₀-未锛寈₀锛夛紝鏈塮'锛坸锛夛紲0锛涜寈鈭堬紙x₀锛寈₀+未锛夛紝鏈塮'锛坸锛夛紴0锛屽垯f锛坸锛夊湪...
绛旓細鍒ゆ柇涓涓嚱鏁板湪鏌愪竴鐐圭殑鏋侀檺瀛樺湪鐨勫噯鍒欐槸锛1銆佸瓨鍦ㄥ乏鍙虫瀬闄愪笖宸︽瀬闄愮瓑浜庡彸鏋侀檺2銆佹湁瀵煎嚱鏁,涓斿鍑芥暟鍦ㄨ鐐硅繛缁 娉ㄦ剰锛氬嚱鏁板湪璇ョ偣鏄惁鏈夊畾涔,鏄惁杩炵画,杩欎笌璇ュ嚱鏁板湪璇ョ偣鏄惁鏈夋瀬闄愭槸鏃犲叧鐨
绛旓細- 绗竴鍏呭垎鏉′欢锛氳鍑芥暟 f(x) 鍦ㄧ偣 x = c 澶勫彲瀵笺濡傛灉 f'(c) = 0 鎴 f'(c) 涓嶅瓨鍦紝鍒 c 鐐瑰彲鑳芥槸涓涓瀬鍊肩偣銆備絾闇瑕佹敞鎰忥紝杩欏彧鏄竴涓繀瑕佹潯浠讹紝涓嶄竴瀹氭槸鍏呭垎鏉′欢锛屼篃灏辨槸璇达紝鍗充娇 f'(c) = 0锛宑 鐐逛笉涓瀹氭槸鏋佸肩偣銆- 绗簩鍏呭垎鏉′欢锛氳鍑芥暟 f(x) 鍦ㄧ偣 x = c 澶勫彲瀵笺
绛旓細瑕鍒ゆ柇涓涓嚱鏁鏄惁瀛樺湪鏋佸ぇ鍊兼垨鏋佸皬鍊硷紝鍙互閫氳繃浠ヤ笅姝ラ杩涜鍒ゆ柇锛1. 姹傚锛氶鍏堬紝瀵瑰嚱鏁拌繘琛屾眰瀵硷紝寰楀埌鍑芥暟鐨勫鍑芥暟銆2. 瀵兼暟涓洪浂鐐癸細鎵惧嚭瀵煎嚱鏁扮殑鎵鏈夐浂鐐癸紝鍗冲鏁颁负0鐨勭偣銆3. 瀵兼暟鍙樺彿锛氬湪瀵煎嚱鏁扮殑闆剁偣闄勮繎锛岃瀵熷鍑芥暟鐨勫彉鍙锋儏鍐点傚鏋滃鍑芥暟鍦闆剁偣鐨勫乏渚у彉鍙凤紝鑰屽湪闆剁偣鐨勫彸渚т笉鍙樺彿锛岄偅涔堣...
绛旓細鍓嶆彁鏄疉閮ㄥ垎鐨勬瀬闄愬瓨鍦紝B閮ㄥ垎鐨勬瀬闄愪篃瀛樺湪锛岃屼笖鏋侀檺涓嶈兘涓烘棤绌峰ぇ銆傜涓寮犲浘鏄笉鑳芥媶椤圭殑锛屽洜涓猴紙1-cosx锛/x^4鍦▁瓒嬩簬0鏃剁殑鏋侀檺涓烘棤绌峰ぇ銆備粠杩欎釜鐐圭殑宸﹁竟鏃犵┓瓒嬪悜浜庤繖涓暟鏃讹紝鏁翠釜鍑芥暟瓒嬪悜浜庢煇涓壒瀹氱殑鏁帮紱鍙虫瀬闄愬垯鏄粠杩欎釜鐐圭殑鍙宠竟鏃犵┓瓒嬪悜鏃剁殑鏋侀檺锛屾瀬闄愬瓨鍦ㄧ殑鍏呰鏉′欢鏄乏鍙虫瀬闄愬瓨鍦ㄤ笖鐩哥瓑銆
绛旓細閫氳繃姹傝В鍑芥暟鐨勪竴闃跺鏁帮紝鎵惧嚭涓闃跺鏁颁负闆剁殑鐐癸紝鍗冲彲鑳界殑鏋佸肩偣銆備簩闃跺鏁扮殑绗﹀彿锛氳绠椾竴闃跺鏁板搴旂殑浜岄樁瀵兼暟锛屽苟纭畾鍏剁鍙枫傝嫢浜岄樁瀵兼暟澶т簬闆讹紝鍒欒鐐逛负鏋佸鐐圭殑鍊欓夛紱鑻ヤ簩闃跺鏁板皬浜庨浂锛屽垯鎺掗櫎璇ョ偣銆傛瀬鍊肩偣鐨勭被鍨鍒ゆ柇锛氭牴鎹簩闃跺鏁扮殑绗﹀彿鍒ゆ柇鏋佸肩偣鐨勭被鍨嬶紝鍗冲眬閮ㄦ瀬灏忓兼垨灞閮ㄦ瀬澶у笺
绛旓細濡傛灉鍑芥暟鍦鏌愪釜鍖洪棿锛坅,b锛夊唴鍙锛屼笖鏈夊尯闂村唴涓鐐箈0锛屾弧瓒 f'(x0) = 0 锛屾鏃秞0 鍙兘涓烘瀬鍊肩偣锛屼篃鏈夊彲鑳戒笉鏄瀬鍊肩偣锛鍒ゆ柇鏂规硶濡備笅锛1銆佸鏋 f'(x) 鍦紙a锛寈0锛変笂婊¤冻 f'(x) < 0, 鍦紙x0锛宐锛変笂婊¤冻 f'(x) > 0锛屽垯 f(x0)涓烘瀬灏忓肩偣銆2銆佸鏋 f'(x) 鍦紙a锛寈0锛...
绛旓細瀵逛笂寮忓彇瀵兼暟锛屽彲寰楋細鐢变簬f''(x)瀛樺湪涓旇繛缁紝鍥犳f'(x)鍦▁=1澶鍙锛屽嵆f(x)鍦▁=1澶勫彲瀵笺傚張鍥犱负f'(1)=0锛屽洜姝(x)鍦▁=1澶勫彇寰椾簡鏋佸笺傝嫢f(x)鍦▁=1澶勫彇寰椾簡鏋佸ぇ鍊硷紝鍒檉''(1)<0锛涜嫢f(x)鍦▁=1澶勫彇寰椾簡鏋佸皬鍊硷紝鍒檉''(1)>0銆傜患涓婃墍杩帮紝f''(1)鐨勭鍙峰彲浠鍒ゆ柇f(x)鍦▁...
