为什么lim(n^(1/ n))=1?
记n^(1/n)=1+a(n),则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2*(a(n))^2,所以0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)对任意ε>0,取N=1+2/ε^2,当n>N时,|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2)<ε,所以lim(n^(1/n))=1。
“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念,广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。
数学中的“极限”指:某一个函数中的某一个变量,此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中,逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而“永远不能够重合到A”(“永远不能够等于A,但是取等于A‘已经足够取得高精度计算结果)的过程中,此变量的变化,被人为规定为“永远靠近而不停止”、其有一个“不断地极为靠近A点的趋势”。
极限是一种“变化状态”的描述。此变量永远趋近的值A叫做“极限值”(当然也可以用其他符号表示)。以上是属于“极限”内涵通俗的描述,“极限”的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
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