极限-高等数学 高等数学极限
\u6781\u9650 \u9ad8\u7b49\u6570\u5b66x->0\u65f6\uff0c\u5206\u6bcd\u4e2d\u6bcf\u4e00\u9879\u7684\u6781\u9650\u90fd\u662f1\uff0c\u6700\u540e\u5206\u6bcd\u5c31\u662fn\u3002
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[摘要]“预先任意给定的正数ε”能否在V＝（0，1）内任意给定？若能，则V各元均能由ε代表；若不能，则何来不受任何限制的任意性？若预先在V内任意取定一数ε，必有ρ<ε，则由于取值的任意性，ρ必可<V的所有（任何）元ε。“预先在1，2，3中任意取定的数ε”中的ε可是1，可是2，可是3。同样“任意取定一数ε”中的ε可是取值范围内的任何数。连文盲也知“任意性”的确切含义。所以说0 < 距离变量ρ<ε中的ε是在数学中任意取定的正数，就是说ρ> 0可< 任意（任何）正数——这显然违反数学常识——这是极限论百年来总难学难教的真正原因。违反常识的理论必至繁至难。关键词 极限论 总难学难教的真正原因 自相矛盾的无穷小定义 y=x/2的值域≠定义域 重大病句：任何正数x > x /2
一、林群院士的精辟见解对破解极限论总难学难教的百年世界难题很有指导意义
“我最感到困难的是极限的概念，看了几遍教材都似懂非懂、模模糊糊的[1]。”“许多新生刚一接触《数学分析》，都感到很抽象，难理解，甚至半学期都入不了门。这使不少高考成绩不错的新生由刚入学时的雄心勃勃变得灰心丧气。…，尤其是‘极限理论’这一部分，…在讲解完‘数列极限’后，我上了一堂习题课，深入剖析了极限概念…。课后一名男生对我说：‘老师，您上习题课前我觉得自己啥都明白，上完习题课后反而感觉啥都不明白了。’这说明…，他并没有真正理解‘极限’的本质[2]。”注！有的师生害怕权威说自己不聪明而不敢公开自己对学、教极限论的真实感受。教师即使“过劳”也教不会过劳的学生啊！
学习微积分首先要学极限论，而学生花了许多时间与精力还是越学越感到啥都不明白地如坠云里雾里。后续的课程如何学？！学数学的人都深有体会：这堂课如被灌迷魂汤，下堂课就更要急陷入迷魂阵了。极限论使成功考入大学的骄子急陷入…。首要的问题不通，则一不通百不通；通了，就一通百通。“…是2003年11月11日。早在一周前，就有三个大一新生打电话回母校…诉苦，…，另两个说高数难死人。最严重的一个学生说他半个月没有听数学课了，因为微积分根本听不懂。…！上大学才半个学期不到，微积分就学不下去，大学四年怎么混？[3]”（类似这样披露学生叫苦连天的例子数不胜数）面对学生的诉苦，老师也束手无策。确实，不打掉学习路上的拦路虎是根本学不下去的。但经千辛万苦考进来且交了学费的学生谁愿束手待毙等退学？若退学如何向父母交待？出于无奈学生们只有像填鸭那样痛苦万分地接受老师“填鸭式”的满堂灌。更要命的是养成不求甚解的死记硬背陋习必使人只会盲目模仿例题解题，根本不能真正理解与掌握所学知识，使高分低能现象愈演愈烈。这使教育走向了自己的反面。
这是一直没能解决的极为突出的世界性老大难难题。“关键是以往的教学改革者均不知百年极限论有把人给搞糊涂了的糊涂话，…[4]”。不对症下药的教学改革只能使“病情”越治越重。林群院士精辟指出：“如果读者经过认真阅读之后，还是弄不清微积分是什么，那么不要以为自己水平低；相反，要理直气壮地认为著者没有水平。…所以，读者懂或不懂，恰好是反映著者水平高或低的镜子。读者是公正的裁判员[5]。”据此，一定是编书者与教师们对极限论的认识还远不够深，不够透，即其学识水平还远不能满足教学的需要。只会照本宣科而非真懂与懂透极限论者是无法完成教学任务的。
二、对数学表达式所表内容不能只有一知半解——百年“R完备”定理不堪一击。
要不人云亦云地深入了解英国，首先需懂英语，要不人云亦云地深入了解与掌握数学，首先需懂数学语言的含义。代数，就是用字母代表数。“在数集D内任意指定一个数x，必有y < x 。”显然是说y必可<D内所有（任何）数x。文盲也知“在所有中国人中任意指定一个人，此人须遵守中国的国法”与“所有的中国人都须遵守中国的国法”是同义语。只有连“任意”二字的含义也不懂的人才不明白此常识。同理，说在所有正数中任意取定一个正数ε必有ρ<ε，就是说ρ必可< 所有正数，任何正数都能由ε代表。这是由取值的任意性决定的事实。“∣a–b∣=…< 2ε。由ε> 0的任意性知a–b = 0”显然断定式中2ε可在所有正数中任意取值（李成章等，数学分析（2版）上册，科学出版社，2004.7：25）。常识：欲在D内任意取定一数x，必有x > y，就必须使D的所有x都有x > y。
“一个变数就是一个数学符号，通常用x , y , t等来表示，它被用来代表某一数系中的某一子集D中的任一元素。该数集D叫做这个变数的变域[6]。”此定义没有规定D内元素的个数，所以任何定量都是变量：变域内只有一个数的变量。定义表明“变量x”中的x既是变量，同时也代表D内任何定量，x所取各数也均由x代表，D内各元都有一个共同的“名字”叫x 。x = 1表示变量x取数1，且1也由x代表（或表示x是只能取一个数的变量：定量）。极限论将“0 < 任何正数”化简为繁地表为：在所有正数中任意给定一个正数ε，必有ε> 0。
“任何正数x”中的x可取任何正数，即任何正数都由此x代表。0 < 任何正数x，直接表达有数0 < 任何正数。同样，“任何正数x > y”也一目了然地直接表达有数y < 任何正数，只不过这里用字母y代表 < x的数罢了。几千年数学一直断定：任何正数x=2•x2 > x2 = y > 0。一眼看出这是重大病句：有正数y < 任何正数。S式
0 < y= x / 2 < x（变域为z） S
中的y随x的变小而变小，说式中x可由大到小遍取任何（所有）正数，显然就是说式中y可不断变小，以至可小到 < 所有正数，即说其变域内有正数y < 任何正数。
y < x = x1 , x2 , x3，…中写出了x的变域D内的三个数，省略号表示D内其余的数。此式一目了然地表达y可< 一切能由式中x代表的数，即y的变域内有数y < D的所有x。可见S式中的z不能包含一切正数，而只能包含一切形如x = 2 (x / 2) > x /2的正数x。S式石破天惊地直接表达有正数y < z 的所有x ，此y显然≠2（y / 2）,即其小至不可有对应数y / 2。形成鲜明对比的是y = x –1 < x > 0中的x就可取一切正数。关键是S式中的x不是z的某一x而是z的任何x。“对z的任何元x，都有对应数y < x”中的y显然可< z的任何（所有）x 。
可见，并非任何正数x均有比其小的对应数x / k（k >1）。否定此太重大的革命发现就要出现重大病句：任何正数x > x / k > 0。详论请见[7]。要害是若任一正数集Z各元X都有X>Y，则 此Y必可<Z的任何(所有)X。
关键是对数学表达式所表达的内容，对式中各字母的含义不能只有一知半解的肤浅认识。断定S式中y的定义域=值域，是因没能一眼看出S式直接表达y的变域内有数y < z 的所有x。断定S式中的 y可取一切正数，显然就是说式中x可变至 > 一切正数y，即说其变域内有数x > 一切正数——这显然是病句！同理说y = x + 1 > x中的x可取一切实数，就是说有实数y >一切实数。从西方引进来的数学有数不尽的那么多个病句啊！
“z的任何元x > y = x /2 > 0”一目了然地直接表达y的值域H内有正数y < z的任何（所有）数x 。
连最简单而又最重要的一次函数的值域与定义域，从西方引进来的数学也完全搞错了啊！这是最根本的重大错误。R+ 任何元x（变量x的变域是R+）> x /2 > x /3 > …>…>0直接表达有无穷多个正数均 < R+的所有数x。关键是式中x代表R+的任何数。全面透彻地明白数学表达式所表达的全部内容，应是每个数学人都应具备的最起码的数学基本功。学数学须会将数学式“翻译”为文字。关键是式中x代表了一切可由其代表的数。
所以断定R含一切实数的百年“R完备”定理是不堪一击的重大错误。建立在重大错误之上的极限论等理论必是错上加错的更重大错误。须反复强调：“y < x = x1 , x2 , …”一目了然地表达y可< 一切能由x取的数，即有数y < x的变域内的一切x。
仅仅知道S式表示y小于x，是远远不够的。应能一眼看出式中x可代表“z的任何元素”这几个字，从而一眼看出S式有表达：y可变至小于z的任何数。不知表示变量的字母同时也代表其变域内的任何定量这一事实的教授专家们，显然对变量的定义还没有全面深入的了解，从而强调j式
0 <ρ<ε=ε1 , ε2 , ε3 ,…… j
中的无穷小ρ“是变量而不是数”。从而使深懂数学常识的学生感到莫明其妙、百思不得其解：不是数的“鬼魂”如何能与数比较大小？！j式不是表示数与数之间大小关系的关系式吗？不敢怀疑专家教授们的“正确”性的学生哪能不深深感叹：极限论太“高深莫测”了啊！经极限论“洗脑”的专家们“忘”了式中ρ所取各数ρ均为 <ε的正数这一代数常识啊！连有多年教学经验的资深教师也被极限论误导至犯常识性错误啊！正因ρ是变量才更说明其代表数，定量ρ只能代表一个数，非定量的变量ρ却须至少代表二个数。说变量ρ不能代表数，让听课的学生如何听得下去？其不惊得目瞪口呆、脑子顿时变得一片空白，那才不正常呢。
根据变量的定义，j式中的ε是变量；凡变量必有变域，一切能由式中ε代表的数组成的数集E就是此ε的变域。“给定一个数ε”与“取定一个数ε”是同义语，其表示变量ε取定一个数且此数也由ε代表。j式一目了然地表达式中ρ可< E内任何（所有）ε，即说ρ的变域内有正数ρ< E的所有ε。关键是式中ε代表了一切可由其代表的数。
“如果，对任何数ε> 0，…，有│f（x）－L │<ε[8]”这里的“任何数ε> 0”显然应表示“任何能由此ε代表的正数”，而不是表示“任何正数都能由此ε代表”，因为在非负数中只有0才能 < 任何正数。
“倘这事实只对某一个ε和某一个N成立，仍不能说…以l为极限，应该要对每一个ε都成立[9]。”这明确表示极限定义中的绝对值变量必须可<ε的变域内的所有（每一）ε。
三、应明确ε是在哪一范围内任意取定的正数
能取数者都有一个取值范围的问题。“任意指定一个人，此人都必须遵守中国的相关法律。”显然是说任何（所有）人都须…。应改为“在中国任意指定一个人，此人都…。”同理“事先任意取定一个正数ε，必有ε>ρ”易使人“误以为”是事先在所有正数中任意取定一个正数…；从而断定ρ可< 任何正数。极限论说j式中的ε是“任意取定的一个正数”却又没有说取值范围。这使编书者们很自然地认为任何正数都能由此ε代表。“若对任一正数ε，…时有∣Un-l∣< ε成立，则称数l为这个序列的极限[10]”，显然认为任何一个正数都能由式中ε代表。因深知“任意”二字的含义，有编书者断定j式中的ε是“除了限于正数外，不受任何限制，即它可以是任何正数[11]。”“ε是可以任意选定的无论多小的正数[12]。”显然认为无论哪一小正数都能由ε代表。“an无限趋近于A就是说…，它等价于∣an–A∣可以比任何小的正数都小，…[13]”即说有小正数< 任何小正数——病句！因为an往往不能与其极限重合。因深知“任意给定一个正数”与“不受任何限制地任意取定一个正数”是同义语，有“著名数学家”很有代表性地说总取正数的不断变小的无穷小“必是从一个正数开始，越变越小，且越过任何正数而靠近0（但达不到0）[14]”即说j式中的ρ可取正数ρ< 任何正数。谁能接受这一“高深”理论啊！其实其只能越过E的任何ε而靠近0。
[15]书6页说ε是“预先指定的任意小的正数”，7页：“ε必须具有绝对的任意性”。这显然说任何小正数都绝对能由ε代表——ε当然也能在j式中ρ的变域内任意取值。
这样一来j式就是一目了然的百年糊涂话：有小正数ρ< 任何小正数ε（ε可取任何小正数）。以其昏昏如何能使人昭昭？——这是极限论总难学难教的真正原因。j式中的ε能在E内任意取数，即可取E一切数的ε不论取定E的哪一ε都必有ρ<ε。“任意取定的正数ε”中的ε必可是取数范围内的任何数。否则何来取数的任意性？
应明确j式中的ε是在E中任意给定的一个正数。否则就会使人说出最不应说出的糊涂话。
四、否定存在无穷小正数使极限论自相矛盾
“无穷小分析”是分析研究非0无穷小，以解决只分析0等无法解决的问题的一门学问。不可到达0的无穷小所取各数的绝对值均为正数，所以不失一般性，本文只研究正实变量。为简便起见，以下将“极限论总难学难教”简记为“极′”，将“极限论之父”这几个字用字母F代表。
有编书者说因无穷小是变量，所以任何正数都不是无穷小。这反映编者对变量的认识还很肤浅。其实只取0的y = 0是变量，只取一个正数的y也是变量，也有极限——变量的极限。
正无穷小ρ从某时刻起以后所取各正数ρ均 <ε（此ε不是代表一个正数，而是代表其变域内的任何正数）。这说明一正实变量是无穷小的必要条件是其变域内有< ε的正数。这表明无穷小定义暗含此意：有<ε的正数。然而极限论又断定“定量中只有0才是无穷小”，这又暗含此意：任何正数都不能 <ε,即“偷偷”地否定有<ε的正数。症结是F实际上断定此ε是任何正数。F 的两个“暗含”手段使数学家们对无穷小定义一直缺乏全面深刻的了解，从而百年失察定义出尔反尔的前后自相矛盾性。F成功地将此矛盾掩盖了一百年。若非如此，那就只能说F连对自己提出的无穷小概念也没清醒的认识而不知其自相矛盾。明眼人能一眼看出F只敢暗示而不敢明说无 <ε的正数。
不察此内幕的编书者明说无 <ε的正数：“再小的数都是固定不变的常数，其绝对值不会小于任意的正数ε，因此不是无穷小量。但是0可以看作是惟一特殊的无穷小量[16]。”在同一页，编者说ε是“任意给定”的一个正数，编者显然认为这等价于说ε是任意的正数。注，“任意实数”即“任何实数”。这显然明示无 <ε的正数。
否定无理数，数学就自相矛盾，否定起关键作用的 <ε的无穷小正数更必使数学自相矛盾，从而必化简为繁化清为浊，使人不知其所云。数学否定客观存在的起关键作用的无穷小正数犹如医学否定前所未见的非典病毒，是致命错误。注！“在1，2，3中任意取定一数x”中的x可是1，可是2，可是3。同理，“在E中任意取定一数ε”中的ε可是E的任何数。
由上可见，没无穷小正数就不能有无穷小变量概念，更谈不上有标准分析。物质的无限可分性决定了有长度≠0但又短至不能与E内任何ε相对应的无穷短直线段。前苏联科学院士就肯定有此类线段：“线段 的长度会变得小于一个任意给定的正数ε，…；我们就说这个变量是个无穷小[17]。”强调：说变量ρ不能代表数，违反最最起码代数常识，只能代表一个数的ρ是数，能至少代表两个数的ρ反而不是数？这一糊涂话不把有头脑的学生搞糊涂那才怪呢。这是极′的真正原因。也许有的数学家对此有所察觉，从而提出非标准分析的无穷小正数概念：<所有标准正数ε的正数称为无穷小正数。变量ρ是变域内的任一数。
那些颂扬极限论“是一大批杰出的数学家经历了近二百年的努力而建立起来的，的确为微积分建立起了牢固的基础，很了不起[18]。”的数学家，其实对数学没清醒的认识而只有幼稚的偏见。否定j式中的ρ是数与否定 是数一样都使数学自相矛盾。
柯西等人实际上用“地下”的、明否暗用的无穷小正数取代了Leibniz微积分的明说明用的无穷小正数，以为这样一来就能化解数学史上的无穷小危机。所造成的严重恶果之一是：使资深教授专家也说出最不应说出的上述糊涂话，从而使学生急陷入糊涂巷里。不识上述真相者并未真懂极限论。
“真人不露相”，数学大厦有“不露相”的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦越建得高就越不堪一击。
ρ=ε/2 <ε中的ρ可<ε的变域E的任何ε，即有正数ρ<E的所有ε。反复强调：式中ε不是E的某一ε而是E的任何ε。将全式“翻译”为文字：ρ的变域有正数ρ小于E的任何数ε（而不是某一数）。按F的说法，式中ε是在E中任意取定的正数，而不是“取定的正数”；根据取值的任意性，这等价于说ρ可< E的任何ε。由一个人所取定的每一正数都能由j式中的ε代表，就断定任何正数都能由此ε代表，是非常错误的。凡变量都能在变域内任意取值。数学表达式中表示变量的字母，代表其变域内的任何数。 “任意取定一个正数ε”是说在取数范围E内的任何数都由ε代表，变量ε只能在E内任意取值。反复强调：凡能取数者必有取值范围的问题，不识此理者根本不懂变量的含义。还要反复强调“给定一数”=“取定一数”。所以，说上述j式中的ε是在所有正数中任意给定的正数，那就是变相断定式中ρ> 0可取非正数ρ< 任意正数。说变域为D =（0，1）的x→0从某时刻起以后所取各数均< 任何ε，就是说D内有正数x < 任何ε。任何ε> x > 0直接表达有正数x < 任何ε。j式的变量ρ所取各数均为<ε的正数。
熟知手中武器的全部性能与作用是对战士最起码的要求，熟知表达式所表达的全部内容是对数学人最起码的要求。“任何人”与“某国任何人”是有重大区别的，因前者是对全球而言的。同理，“任意取定一个正数ε，必有ε>ρ”显然是说ρ可 < 任意（何）的正数。数学几千年来一直断定对任何正数x ，必有比之小的正数如x /2等。凡非鹦鹉学舌的学生都会问：ε是否是能在（0，1）内任意取定的数？有的编书者说ε不能是具体的、确定的数。这把学生给搞糊涂了：ε所代表的不是确定的数，难道是鬼魂？你前头不是说ε是任意给定的一个数吗？！这极限论逼得有正常思维能力的编者语无伦次、思想混乱啊！此关键问题不弄清，这后面的课谁还听得进？！不产生厌学情绪那就是世界奇迹了。如此“高深”的理论一辈子都学不懂啊！但为了文凭与职称，谁都不敢说真话啊！不说考官、编辑喜欢听的话而说真话，意味着什么是可想而知的。这是极′的又一真正原因。没有勇于自我牺牲的精神就绝不敢得罪权威说真话。非智力因素对能否弄清事实真相的影响是重大的。伟大发现来自于为真理而献身的伟大精神。数学史上无理数的发现者竟须付出生命的代价才能纠正重大数学错误。
若在D内任意取定一个数，此数必能由ε代表，则D的所有数都能由ε代表。同理若在D内任意取定一个数ε，必有ρ<ε，则ρ必能<D的所有ε。否定此事实的理论是思想混乱的理论——正常人无法学懂的理论。
若病人隐瞒了关键事实，医生就无法知道他得何病；若数学家将在微积分中起关键作用的无穷小数转入“地下”，回天乏术的别人就无法学得进微积分，反而以为F智力超群，凡人的学习能力太差了。
y = x +1010x = x（1+1010）≈x（0+1010）= 0+1010 x >> x > 0表明1与1010相比实在是太小了以致于可视其为0而忽略，同时也表明和式中的首项x→∞与末项相比实在是总距0太近了，以致于可视其为0而忽略，即其所取各数x相比下均为可忽略的近0数。然而初中数学却断定此可忽略的x可由小到大取一切正数，即说表达式右端的“x > 0”可代表“任何正数”四字。这充分说明数学家们初中时就受到了使其终生受害的误导教育。所以并非任何正数x都有对应数1010x，有太大的正数大至不能还有远比它大，使它相比下≈0的对应数了。“任何正数x << 1000x = y”显然是病句：有正数y >> 任何正数。物极必反，量变引起质变。超过一定限度的太大正数不能与一般的大正数相提并论了，两者有质的重大区别。
五、数学革命必将“过劳”的师生解放出来
其实j式中的ε是在ε的取值范围内任意取定的一个数，而不是在所有正数中任意取的数。病句不除，祸害无穷！纠正了无穷小变量定义的自相矛盾后，半分钟就能真懂极限概念：永非A的x→A是说两者的距离ρ> 0能变至恒取无穷小正数ρ<ε。人有天生拒绝接受自相矛盾学说的本能，学这类学说犹如被灌迷魂汤——这是极′的真正原因。数学革命必将“过劳”的师生从迷魂阵里解放出来。但数学史表明造福全人类的革命数学发现会给发现者惹来杀身之祸啊！相比之下，作出科学发现并不难，难的是人为的重重阻力。起来！不愿被蒙在鼓里、不愿过劳的人们！
多做点题就好了
林群？？？
他说泛函分析就是平面几何。。。
平面几何难度跟泛函分析没得比啊。。。
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