什么是十字相乘法？
\u4ec0\u4e48\u662f\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u3002\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u7684\u65b9\u6cd5\u7b80\u5355\u6765\u8bb2\u5c31\u662f\uff1a\u5341\u5b57\u5de6\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u4e8c\u6b21\u9879\uff0c\u53f3\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u5e38\u6570\u9879\uff0c\u4ea4\u53c9\u76f8\u4e58\u518d\u76f8\u52a0\u7b49\u4e8e\u4e00\u6b21\u9879\u3002\u5176\u5b9e\u5c31\u662f\u8fd0\u7528\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\u7684\u9006\u8fd0\u7b97\u6765\u8fdb\u884c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
\u6bd4\u5982\uff1aX2+X-2 \u628a\u62c6\u5f00\uff1a\u56e0\u4e3a\u524d\u9762X2\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a1\uff0c-2\u53ef\u4ee5\u5212\u5206\u4e3a-1\u00d71\u6216\u8005-2\u00d71\u4e0e-1\u00d72.\u5c06\u524d\u9762\u7684\u7cfb\u6570X2\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a1\u00d71\u6240\u4ee5\u5341\u5b57\u8868\u8fbe\u56fe\u4e3a\u3002 1 -2
\u00d7 \u8fd9\u6837\u7684\u8bdd\u6211\u4eec\u6765\u7b97\u4e00\u4e0b\uff0c1\u00d71+1\u00d7-2=-1\u4f46\u662f\u6211\u4eec\u56de\u5934\u770b\u4e00\u4e0b\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b
1 1 \u5f0fX2+X+2\uff0c\u5176\u4e2d\u6211\u4eec\u6c42\u51fa\u6765\u7684-1\u4e0d\u7b26\u5408\u9898\u610f\uff0c\u4e3a\u4ec0\u4e48\u5462\uff1f~~\u56e0\u4e3a\u6211\u4eec\u8fd9\u8fb9\u8fd8\u6709\u4e2aX\u56e0\u4e3a\u4ed6\u7684\u7cfb\u6570\u4e3a-1\u22601\uff0c\u6240\u4ee5\u6211\u4eec\u4ece\u53e6\u4e00\u6b65\u9aa4\u6765\u3002
1 2 \u540c\u4e0a1\u00d72+1\u00d7-1=1 1=1\u6240\u4ee5\u5c31\u662f\u8fd9\u4e2a\u4e86
\u00d7
1 -1
\u6211\u4eec\u5c31\u628a\u4e0a\u9762\u7684\u5341\u5b57\u56fe\u7684\u6a2a\u6392\u76f8\u52a0\u5982\uff1a
1 + 2
\u00d7 \u6a2a\u6392\uff1a1+2 1-1 \u5c31\u628a\u524d\u9762\u76841\u53d8\u4e3aX\u5c31\u53d8\u6210\u4e86X2+X-2=\uff08X+2\uff09
1 -1 \uff08X-1\uff09
\u53cd\u6b63\u5c31\u662f\u5c06\u6709\u53ef\u80fd\u5206\u89e3\u7684\u5206\u89e3\u6bd4\u5982\uff1a8=\uff082\u00d74 4\u00d72\uff09 \uff08-2\u00d7-4 -4\u00d7-2\uff09 \uff081\u00d78 8\u00d71\uff09 \uff08-1\u00d7-8 -8\u00d7-1\uff09 \u6240\u6709\u53ef\u80fd\u5206\u89e3\u7684\u60c5\u51b5\u90fd\u8981\u5206\u89e3\u51fa\u6765\uff0c\u6211\u6253\u62ec\u53f7\u7684\u7528\u5341\u5b57\u56fe\u76f8\u4e58\u5f97\u51fa\u6765\u7684\u90fd\u662f\u76f8\u53cd\u6570\uff0c\u4e0d\u4fe1\u968f\u4fbf\u62ff\u51e0\u4e2a\u80fd\u5206\u89e3\u7684\u6570\uff0c\u81ea\u5df1\u53bb\u8bd5\u8bd5\uff0c\u8981\u4ed6\u4eec\u7684\u5206\u89e3\u51fa\u6765\u50cf\u6211\u62ec\u53f7\u91cc\u9762\u7684\u89c4\u5f8b\u3002\u53cd\u6b63\u5c31\u662f\u5c31\u662f\u6211\u697c\u4e0a\u8bf4\u7684\u201c\u62c6\u5e38\u6570\u9879\uff0c\u51d1\u4e00\u6b21\u9879\u201d\u591a\u627e\u70b9\u9898\u505a\u505a\uff0c\u5c31\u80fd\u770b\u89c1\u4ed6\u4eec\u5c31\u968f\u5fc3\u6240\u6b32\u4e86\u3002\u4e0d\u61c2\u7684\u8ffd\u95ee\u5427\u3002 X2\u5c31\u662fX\u7684\u5e73\u65b9\uff0c\u8fd9\u4e2a\u4e0a\u9762\u4e0d\u80fd\u663e\u793a\u3002
讲解： x^2-3x+2=如下： x -1 ╳ x -2 左边x乘x= x^2 右边-1乘-2=2 中间-1乘x+（-2）乘x（对角）=-3x 上边的【x+（-1）】乘下边的【x+（-2）】 就等于（x-1）*（x-2） x^2-3x+2=（x-1）*（x-2）
编辑本段通俗方法
先将二次项分解成（1 X 二次项系数），将常数项分解成（1 X 常数项）然后以下面的格式写 1 1 ╳ 二次项系数 常数项 若交叉相乘后数值等于一次项系数则成立 ，不相等就要按照以下的方法进行试验。（一般的题很简单，最多3次就可以算出正确答案。） 需要多次实验的格式为：（注意：此时的abcd不是指（ax^2+bx+c）里面的系数，而且abcd最好为整数） a b ╳ c d 第一次a=1 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第二次a=1 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第三次a=2 b=1 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第四次a=2 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第五次a=2 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第六次a=3 b=2 c=二次项系数÷a d=常数项÷b 第七次a=3 b=3 c=二次项系数÷a d=常数项÷b ...... 依此类推 直到（ad+cb=一次项系数）为止。最终的结果格式为(ax+b)(cx+d) 例解： 2x^2+7x+6 第一次： 1 1 ╳ 2 6 1X6+2X1=8 8>7 不成立 继续试 第二次 1 2 ╳ 2 3 1X3+2X2=7 所以 分解后为:(x+2)(2x+3).十字相乘法能把某
编辑本段例题解析
例1
把2x^2-7x+3分解因式. 分析：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分 别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数. 分解二次项系数(只取正因数 因为取负因数的结果与正因数结果相同！)： 2=1×2=2×1； 分解常数项： 3=1×3=3×1=(-3)×(-1)=(-1)×(-3). 用画十字交叉线方法表示下列四种情况： 1 1 ╳ 2 3 1×3+2×1 =5 1 3 ╳ 2 1 1×1+2×3 =7 1 -1 ╳ 2 -3 1×(-3)+2×(-1) =-5 1 -3 ╳ 2 -1 1×(-1)+2×(-3) =-7 经过观察，第四种情况是正确的，这是因为交叉相乘后，两项代数和恰等于一次项系数－7. 解 2x^2-7x+3=(x-3)(2x-1) 一般地，对于二次三项式ax+bx+c(a≠0)，如果二次项系数a可以分解成两个因数之积，即a=a1a2，常数项c可以分解成两个因数之积，即c=c1c2，把a1，a2，c1，c2，排列如下： a1 c1 ╳ a2 c2 a1c2+a2c1 按斜线交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三项式ax^2+bx+c的一次项系数b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三项式就可以分解为两个因式a1x+c1与a2x+c2之积，即 ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2). 像这种借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做十字相乘法.
例2
把6x^2-7x-5分解因式. 分析：按照例1的方法，分解二次项系数6及常数项-5，把它们分别排列，可有8种不同的排列方法，其中的一种 2 1 ╳ 3 -5 2×(-5)+3×1=-7 是正确的，因此原多项式可以用十字相乘法分解因式. 解 6x2-7x-5=(2x+1)(3x-5) 指出：通过例1和例2可以看到，运用十字相乘法把一个二次项系数不是1的二次三项式因式分解，往往要经过多次观察，才能确定是否可以用十字相乘法分解因式. 对于二次项系数是1的二次三项式，也可以用十字相乘法分解因式，这时只需考虑如何把常数项分解因数.例如把x^2+2x-15分解因式，十字相乘法是 1 -3 ╳ 1 5 1×5+1×(-3)=2 所以x+2x-15=(x-3)(x+5).
例3
把5x^2+6xy-8y^2分解因式. 分析：这个多项式可以看作是关于x的二次三项式，把-8y^2看作常数项，在分解二次项及常数项系数时，只需分解5与-8，用十字交叉线分解后，经过观察，选取合适的一组，即 1 2 ╳ 5 -4 1×(-4)+5×2=6 解 5x+6xy-8y=(x+2y)(5x-4y). 指出：原式分解为两个关于x，y的一次式.
例4
把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式. 分析：这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式，只有先进行多项式的乘法运算，把变形后的多项式再因式分解. 问：以上乘积的因式是什么特点，用什么方法进行多项式的乘法运算最简便? 答：第二个因式中的前两项如果提出公因式2，就变为2(x-y)，它是第一个因式的二倍，然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算，可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式，就可以用十字相乘法分解因式了. 解 (x-y)(2x-2y-3)-2 =(x-y)[2(x-y)-3]-2 =2(x-y) ^2-3(x-y)-2 1 -2 ╳ 2 1 1×1+2×(-2)=－3 =[(x-y)-2][2(x-y)+1] =(x-y-2)(2x-2y+1). 指出：把(x-y)看作一个整体进行因式分解，这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
十字相乘法是分解因式的一种方法。
1、十字相乘法的具体方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。
3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。
4、十字相乘法的缺陷：1、有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不是每一道题用十字相乘法来解都简单。2、十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。3、十字相乘法比较难学。
5、应用十字相乘法解题的实例：
1)、 用十字相乘法解一些简单常见的题目
例1把m²+4m-12分解因式
分析：本题中常数项-12可以分为-1×12，-2×6，-3×4，-4×3，-6×2，-12×1当-12分成-2×6时，才符合本题
解：因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=（m-2）（m+6）
例2把5x²+6x-8分解因式
分析：本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8，-2×4，-4×2，-8×1。当二次项系数分为1×5，常数项分为-4×2时，才符合本题
解： 因为 1 2
5 ╳ -4
所以5x²+6x-8=（x+2）（5x-4）
例3解方程x²-8x+15=0
分析：把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式，则15可分成1×15，3×5。
解： 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形（x-3）（x-5）=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6x²-5x-25=0
分析：把6x²-5x-25看成一个关于x的二次三项式，则6可以分为1×6，2×3，-25可以分成-1×25，-5×5，-25×1。
解： 因为 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可变形成（2x-5）（3x+5）=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目
例5把14x²-67xy+18y²分解因式
分析：把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因为 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-9y)(7x-2y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-（27y+1）x -（28y²-25y+3） 4y -3
7y ╳ -1
=10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）
=[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）] 2 -（7y – 1）
5 ╳ 4y - 3
=（2x -7y +1）（5x +4y -3）
说明：在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为（4y-3）（7y -1），再用十字相乘法把10x²-（27y+1）x -（4y-3）（7y -1）分解为[2x -（7y -1）][5x +（4y -3）]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3 2 -7y
=[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3] 5 ╳ 4y
=（2x -7y+1）（5x -4y -3） 2 x -7y 1
5 x - 4y ╳ -3
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为（2x -7y）（5x +4y）,再把（2x -7y）（5x +4y）-（x -25y）- 3用十字相乘法分解为[（2x -7y）+1] [（5x -4y）-3].
例7：解关于x方程：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析：2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
解：x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +（2a²–ab - b²）=0
x²- 3ax +（2a+b）（a-b）=0 1 -b
2 ╳ +b
[x-（2a+b）][ x-（a-b）]=0 1 -（2a+b）
1 ╳ -（a-b）
所以 x1=2a+b x2=a-b
这样应该比较好理解吧。
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