一道六年级奥数题 一道六年级奥数题
\u4e00\u5230\u516d\u5e74\u7ea7\u5965\u6570\u9898\uff08\u6bd4\u4f8b\uff09\u89e3\uff1a\u8bbe\u7532\u4ed3\u5e93\u7684\u5b58\u8d27\u4e3a4x\u5428\uff0c\u5219\u4e59\u4ed3\u5e93\u7684\u5b58\u8d27\u5428\u6570\u4e3a3x\u5428\u3002
\uff084x\uff0d8\uff09\uff1a\uff083x+8\uff09\uff1d4\uff1a5
\uff084x\uff0d8\uff09\u00d75\uff1d\uff083x+8\uff09\u00d74
20x\uff0d40\uff1d12x+32
20x\uff0d12x\uff1d40+32
8x\uff1d72
x\uff1d9
\u7532\u4ed3\u5e93\u7684\u5b58\u8d27\uff1a4x\uff1d4\u00d79\uff1d36\uff08\u5428\uff09
\u4e59\u4ed3\u5e93\u7684\u5b58\u8d27\uff1a3x\uff1d3\u00d79\uff1d27\uff08\u5428\uff09\u5171\u670936+27=63\u5428
\u697c\u4e3b \u521a\u624d\u8fd8\u51c6\u5907\u8bf4\u8fd9\u4e0d\u662f\u5c0f\u5b66\u751f\u7684\u95ee\u9898\uff0c\u60f3\u4e86\u60f3\u8fd9\u4e2a\u9898\u9887\u6709\u70b9\u6280\u5de7 \u4e0d\u662f\u4eba\u80fd\u60f3\u5f97\u5230\u7684\uff0c\u60f3\u5fc5\u697c\u4e3b\u7684\u6570\u5b66\u5f88\u597d\u5427\uff0c\u6211\u662f\u5927\u5b66\u751f\u90fd\u60f3\u4e86\u534a\u5929\uff0c\u5e9f\u8bdd\u4e0d\u591a\u8bf4
\u9996\u5148\u89c2\u5bdf \u4ece\u4e00\u5230\u5341 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
\u9664\u53bb\u8d28\u6570 \u6700\u5c0f\u7684\u5076\u6570\u5408\u6570\u662f 4 \u6700\u5c0f\u7684\u5947\u6570\u5408\u6570\u662f 9
\u8fd8\u6709\u4e00\u4e2a\u89c2\u70b9 \u6240\u6709\u7684\u5076\u6570\u9664\u4e862\u5916\u90fd\u662f\u5408\u6570 \u8fd9\u4e2a\u5e94\u8be5\u660e\u767d\u5427
\u6700\u5c0f\u7684\u5076\u6570\u5408\u65704 + \u6700\u5c0f\u7684\u5947\u6570\u5408\u6570\u662f 9 = 13
\u572813\u4ee5\u5185 \u4e0d\u88ab\u6dd8\u6c70\u7684\u6570\u4e3a 8 10 12 13 \u5176\u4f599\u6570\u90fd\u8981\u88ab\u6392\u9664 \u697c\u4e3b\u53ef\u9a8c\u8bc1\u4e00\u4e0b
\u4e0b\u9762\u8bc1\u660e\u4e00\u4e2a\u547d\u9898\uff1a\u6240\u6709\u5927\u4e8e13\u7684\u6570\u90fd\u80fd\u8868\u793a\u4e3a\u4e24\u4e2a\u5408\u6570\u4e4b\u548c\uff0c\u5373\u4e0d\u88ab\u6dd8\u6c70
\u6240\u6709\u5927\u4e8e13\u7684\u6570\u5206\u4e3a\u4e24\u79cd\u60c5\u51b5 \u4e00\u79cd\u662f\u5947\u6570 \u4e00\u79cd\u662f\u5076\u6570
\u7b2c\u4e00\u79cd\u60c5\u51b5\uff1a\u6240\u6709\u5927\u4e8e13\u7684\u5947\u6570\uff08\u598213 15 17\u7b49\u7b49\uff09\u5728\u51cf\u53bb\u4e00\u4e2a \u6700\u5c0f\u7684\u5947\u6570\u5408 \u65709\u540e\uff0c\u5fc5\u7136\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a \u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8e4\u7684\u5076\u6570\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5076\u6570\u80af\u5b9a\u662f\u5408\u6570\uff0c\u4e0d\u7528\u6000\u7591
\u7b2c\u4e8c\u79cd\u60c5\u51b5\uff1a\u6240\u6709\u5927\u4e8e13\u7684\u5076\u6570\uff08\u598214 16 18\u7b49\u7b49\uff09\u5728\u51cf\u53bb\u4e00\u4e2a \u6700\u5c0f\u7684\u5076\u6570\u5408\u65704\u540e\uff0c\u5fc5\u7136\u5f97\u5230\u4e00\u4e2a\u5927\u4e8e\u6216\u7b49\u4e8e10\u7684\u5076\u6570\uff0c\u8fd9\u4e2a\u5076\u6570\u80af\u5b9a\u662f\u5408\u6570\uff0c\u4e0d\u7528\u6000\u7591
\u7efc\u4e0a\u6240\u8ff0\uff1a\u7b2c2006\u4e2a\u6570\u662f 2015
\u539f\u56e0\uff1a2015\u51cf\u53bb 13\u4ee5\u5185\u88ab\u6392\u9664\u76849\u4e2a\u6570\uff0c\u6070\u597d\u8fd8\u67092006\u4e2a\uff0c\u6309\u4ece\u5c0f\u5230\u5927\u7684\u987a\u5e8f\u6392\u52172015\u5e94\u662f\u7b2c2006\u4e2a\u5566\u3002\u3002\u3002\u3002
详细分析：
原式=n=1×3×5×…×1999，
则n=（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×125×127×129）•…（1993×1995×1997×1999），
则n=125×[（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×127×129）•…（1993×1995×1997×1999）]，
下面证明两个引理：
引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7．
则k=8m+i，其中i=1，3，5，7，
那么
k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i，
即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一
引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
证明：设A=（2n+1） （2n+3） （2n+5） （2n+7）
=（4n^2+8n+3） （4n^2+24n+35）
当n=2m时，A≡1 mod（8）
当n=2m+1时，A≡1 mod（8）
综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
∴[（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×127×129）•…（1993×1995×1997×1999）]
≡1•1•…•（123×127×129）•…1mod（8），
≡5 mod（8），
∴n=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数．
综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625．
n＝1×3×5×7×…×1999
＝（1×3×5×7）×（9×11×13×15）×（17×19×21×23）×…×（113×115×117×119）×（121×123×125×127）×（129×131×133×135）×…×（1985×1987×1989×1991）×（1993×1995×1997×1999）
＝（8k1＋1）×（8k2＋1）×（8k3＋1）×…×（8k15＋1）×（125×1890141）×（8k17＋1）×
…×（8k249＋1）×（8k250＋1）
＝（8m＋1）×125×1890141
＝（8m×125＋125）×1890141
＝（1000m＋125）×（8×236267＋5）
＝1000t＋125×5
＝1000t＋625
∴n＝1×3×5×7×…×1999的末三位数字是625。
第一步
1至25奇数乘积的末三位数字是625
第二步
从27开始有下列规律
27除以8余3，3*625积的末三位是875，1至27奇数乘积的末三位数字也是875
29除以8余5，27至29奇数乘积除以8余7，7*625积的末三位是375，1至29奇数乘积的末三位数字也是375
31除以8余7，27至31奇数乘积除以8余1，1*625积的末三位是625，1至31奇数乘积的末三位数字也是625
33除以8余1，27至33奇数乘积除以8余1，1*625积的末三位是625，1至33奇数乘积的末三位数字也是625
35除以8余3，27至35奇数乘积除以8余3，3*625积的末三位是875，1至35奇数乘积的末三位数字也是875
37除以8余5，27至37奇数乘积除以8余7，7*625积的末三位是375，1至37奇数乘积的末三位数字也是375
39除以8余7，27至39奇数乘积除以8余1，1*625积的末三位是625，1至39奇数乘积的末三位数字也是625
41除以8余1，27至41奇数乘积除以8余1，1*625积的末三位是625，1至41奇数乘积的末三位数字也是625
……
每隔4个数重复
第三步
1999除以8余7，所以1至1999奇数乘积的末三位数字是625
n=1×3×5×7×9...×1999
=（1×3×5×7×9）×（11×13×15×17×19）x....(1991×1993×1995×1997×1999）
解1：由于1×3×5×7×9=945，只看括号内个位数相乘即可。前三个945相乘积为843908625，后三位数625。用625×945=590625.可以看到这时乘积的后三位数不变为625了。
解2：由于5乘任何奇数尾数均为5，我们只看题目中有多少个以5为个位数即。
即5×15×25×35...×1995（前面4个相乘后尾数625，现在要注意了，第5个再相乘变为尾数125，第6个相乘后尾数又变为625，规律出现了，奇个数相乘尾数为125，偶个数相乘尾数为625.不难算出有200个个位数为5的数相乘。即答案为625）.
原式=A=1×3×5×…×1999，
则A=（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×125×127×129）•…（1993×1995×1997×1999），
则A=125×[（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×127×129）•…（1993×1995×1997×1999）]，
下面证明两个引理：
引理1：125的奇数倍的末尾3位数只能是125、375、625、875中之一
证明：设k为奇数，则k除以8余数只有1，3，5，7．
则k=8m+i，其中i=1，3，5，7，
那么
k×125=k×（8m+i）=1000×m+125×i，
即k×125的末3位数字是125、375、625、875中之一
引理2：四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
证明：设B=（2n+1） （2n+3） （2n+5） （2n+7）
=（4n^2+8n+3） （4n^2+24n+35）
当n=2m时，B≡1 mod（8）
当n=2m+1时，B≡1 mod（8）
综上，四个连续奇数的乘积除以8的余数是1
∴[（1×3×5×7）•（9×11×13×15）•（17×19×21×23）•…•（123×127×129）•…（1993×1995×1997×1999）]
≡1•1•…•（123×127×129）•…1mod（8），
≡5 mod（8），
∴A=125×（8k+5）=1000k+625，其中k为正整数．
综上1×3×5×…×1999的末尾3位数是625．
求给分~~
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