数学三角函数公式 数学三角函数的所有公式
\u6570\u5b66\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f\u662f\u4ec0\u4e48\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\uff08\u516d\u516c\u5f0f\uff09
\u516c\u5f0f\u4e00\uff1a\u3000
sin(\u03b1+k*2\u03c0)=sin\u03b1
cos(\u03b1+k*2\u03c0)=cos\u03b1
tan(\u03b1+k*2\u03c0)=tan\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e8c\uff1a
sin(\u03c0+\u03b1) = -sin\u03b1
cos(\u03c0+\u03b1) = -cos\u03b1
tan(\u03c0+\u03b1\uff09=tan\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e09\uff1a
sin(-\u03b1) = -sin\u03b1
cos(-\u03b1) = cos\u03b1
tan (-\u03b1)=-tan\u03b1
\u516c\u5f0f\u56db\uff1a
sin(\u03c0-\u03b1) = sin\u03b1
cos(\u03c0-\u03b1) = -cos\u03b1
tan(\u03c0-\u03b1) =-tan\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e94\uff1a
sin(\u03c0/2-\u03b1) = cos\u03b1
cos(\u03c0/2-\u03b1) =sin\u03b1
\u7531\u4e8e\u03c0/2+\u03b1=\u03c0-\uff08\u03c0/2-\u03b1\uff09\uff0c\u7531\u516c\u5f0f\u56db\u548c\u516c\u5f0f\u4e94\u53ef\u5f97
\u516c\u5f0f\u516d\uff1a
sin(\u03c0/2+\u03b1) = cos\u03b1
cos(\u03c0/2+\u03b1) = -sin\u03b1
\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f \u8bb0\u80cc\u8bc0\u7a8d\uff1a\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u3002
\u6216\u8005\u4e5f\u53ef\u4ee5\u8fd9\u6837\u8bb0\uff1a\u5206\u53d8\u6574\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650\u3002
\u548c\uff08\u5dee\uff09\u89d2\u516c\u5f0f
\u4e09\u89d2\u548c\u516c\u5f0f
sin\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=sin\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7cos\u03b3+cos\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7cos\u03b3+cos\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7sin\u03b3
cos\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=cos\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7cosc\u03b3-os\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7cos\u03b3
tan\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=\uff08tan\u03b1+tan\u03b2+tan\u03b3-tan\u03b1\u00b7tan\u03b2\u00b7tan\u03b3\uff09/\uff081-tan\u03b1\u00b7tan\u03b2-tan\u03b2\u00b7tan\u03b3-tan\u03b1\u00b7tan\u03b3\uff09
\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\u2260\u03c0/2+2k\u03c0\uff0c\u03b1\u3001\u03b2\u3001\u03b3\u2260\u03c0/2+2k\u03c0\uff09
\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\uff1a
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
sin\uff083a)\u21923sina-4sin^3a
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina\uff081-sin^2a)+\uff081-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a\u2192\uff082cos^2a-1\uff09cosa-2\uff081-cos^2a)cosa
=cos\uff082a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=\uff082cos^2a-1\uff09cosa-2\uff081-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a\u21924sinasin\uff0860\u00b0+a)sin\uff0860\u00b0-a)
=3sina-4sin^3a
=4sina\uff083/4-sin^2a)
=4sina[\uff08\u221a3/2\uff09-sina][\uff08\u221a3/2\uff09+sina]
=4sina(sin60\u00b0+sina)(sin60\u00b0-sina)
=4sina*2sin[\uff0860+a)/2]cos[\uff0860\u00b0-a)/2]*2sin[\uff0860\u00b0-a)/2]cos[\uff0860\u00b0+a)/2]
=4sinasin\uff0860\u00b0+a)sin\uff0860\u00b0-a)
cos3a\u21924cosacos\uff0860\u00b0-a)cos\uff0860\u00b0+a)
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4\uff09
=4cosa[cos^2a-\uff08\u221a3/2\uff09^2]
=4cosa(cosa-cos30\u00b0\uff09(cosa+cos30\u00b0\uff09
=4cosa*2cos[(a+30\u00b0\uff09/2]cos[(a-30\u00b0\uff09/2]*{-2sin[(a+30\u00b0\uff09/2]sin[(a-30\u00b0\uff09/2]}
=-4cosasin(a+30\u00b0\uff09sin(a-30\u00b0\uff09
=-4cosasin[90\u00b0-\uff0860\u00b0-a)]sin[-90\u00b0+\uff0860\u00b0+a)]
=-4cosacos\uff0860\u00b0-a)[-cos\uff0860\u00b0+a)]
=4cosacos\uff0860\u00b0-a)cos\uff0860\u00b0+a)
tan3a\u2192tanatan\uff0860\u00b0-a)tan\uff0860\u00b0+a)
\u4e0a\u8ff0\u4e24\u5f0f\u76f8\u6bd4\u53ef\u5f97
tan3a=tanatan\uff0860\u00b0-a)tan\uff0860\u00b0+a)
\u4e09\u500d\u89d2
sin3\u03b1=3sin\u03b1-4sin^3 \u03b1=4sin\u03b1\u00b7sin\uff08\u03c0/3+\u03b1\uff09sin\uff08\u03c0/3-\u03b1\uff09
cos3\u03b1=4cos^3 \u03b1-3cos\u03b1=4cos\u03b1\u00b7cos\uff08\u03c0/3+\u03b1\uff09cos\uff08\u03c0/3-\u03b1\uff09
tan3\u03b1=tan\uff08\u03b1\uff09*(-3+tan\uff08\u03b1\uff09^2\uff09/(-1+3*tan\uff08\u03b1\uff09^2\uff09=tan a \u00b7 tan\uff08\u03c0/3+a\uff09\u00b7 tan\uff08\u03c0/3-a)
\u5176\u4ed6\u591a\u500d\u89d2
\u56db\u500d\u89d2
sin4A=-4*(cosA*sinA*\uff082*sinA^2-1\uff09\uff09
cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4\uff09
tan4A=\uff084*tanA-4*tanA^3\uff09/\uff081-6*tanA^2+tanA^4\uff09
\u4e94\u500d\u89d2
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA
cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA
tan5A=tanA*\uff085-10*tanA^2+tanA^4\uff09/\uff081-10*tanA^2+5*tanA^4\uff09
\u516d\u500d\u89d2
sin6A=2*(cosA*sinA*\uff082*sinA+1\uff09*\uff082*sinA-1\uff09*(-3+4*sinA^2\uff09\uff09
cos6A=(-1+2*cosA)*\uff0816*cosA^4-16*cosA^2+1\uff09
tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5\uff09/(-1+15*tanA-15*tanA^4+tanA^6\uff09
\u4e03\u500d\u89d2
sin7A=-(sinA*\uff0856*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6\uff09\uff09
cos7A=(cosA*\uff0856*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7\uff09\uff09
tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6\uff09/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6\uff09
\u516b\u500d\u89d2
sin8A=-8*(cosA*sinA*\uff082*sinA^2-1\uff09*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1\uff09\uff09
cos8A=1+\uff08160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2\uff09
tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6\uff09/\uff081-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8\uff09
\u4e5d\u500d\u89d2
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2\uff09*\uff0864*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3\uff09\uff09
cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2\uff09*\uff0864*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3\uff09\uff09
tan9A=tanA*\uff089-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8\uff09/\uff081-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8\uff09
\u5341\u500d\u89d2
sin10A = 2*(cosA*sinA*\uff084*sinA^2+2*sinA-1\uff09*\uff084*sinA^2-2*sinA-1\uff09*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4\uff09\uff09
cos10A = ((-1+2*cosA^2\uff09*\uff08256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1\uff09\uff09
tan10A = -2*tanA*\uff085-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8\uff09/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10\uff09
N\u500d\u89d2
\u6839\u636e\u68e3\u83ab\u5f17\u5b9a\u7406\uff0c\uff08cos\u03b8+ i sin\u03b8\uff09^n = cos(n\u03b8\uff09+ i sin(n\u03b8\uff09
\u4e3a\u65b9\u4fbf\u63cf\u8ff0\uff0c\u4ee4sin\u03b8=s\uff0ccos\u03b8=c
\u8003\u8651n\u4e3a\u6b63\u6574\u6570\u7684\u60c5\u5f62\uff1a
cos(n\u03b8\uff09+ i sin(n\u03b8\uff09 = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2\uff09*c^(n-2\uff09*(i s)^2 + C(n,4\uff09*c^(n- 4\uff09*(i s)^4 + ... \u2026+C(n,1\uff09*c^(n-1\uff09*(i s)^1 + C(n,3\uff09*c^(n-3\uff09*(i s)^3 + C(n,5\uff09*c^(n-5\uff09*(i s)^5 + ... \u2026=>\uff1b\u6bd4\u8f83\u4e24\u8fb9\u7684\u5b9e\u90e8\u4e0e\u865a\u90e8
\u5b9e\u90e8\uff1acos(n\u03b8\uff09=C(n,0)*c^n + C(n,2\uff09*c^(n-2\uff09*(i s)^2 + C(n,4\uff09*c^(n-4\uff09*(i s)^4 + ... \u2026i*
\u865a\u90e8\uff1ai*sin(n\u03b8\uff09=C(n,1\uff09*c^(n-1\uff09*(i s)^1 + C(n,3\uff09*c^(n-3\uff09*(i s)^3 + C(n,5\uff09*c^(n-5\uff09*(i s)^5 + ... \u2026
\u5bf9\u6240\u6709\u7684\u81ea\u7136\u6570n\uff1a
\u2488cos(n\u03b8\uff09\uff1a
\u516c\u5f0f\u4e2d\u51fa\u73b0\u7684s\u90fd\u662f\u5076\u6b21\u65b9\uff0c\u800cs^2=1-c^2\uff08\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff09\uff0c\u56e0\u6b64\u5168\u90e8\u90fd\u53ef\u4ee5\u6539\u6210\u4ee5c\uff08\u4e5f\u5c31\u662fcos\u03b8\uff09\u8868\u793a\u3002
\u2489sin(n\u03b8\uff09\uff1a
\u2474\u5f53n\u662f\u5947\u6570\u65f6\uff1a\u516c\u5f0f\u4e2d\u51fa\u73b0\u7684c\u90fd\u662f\u5076\u6b21\u65b9\uff0c\u800cc^2=1-s^2\uff08\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff09\uff0c\u56e0\u6b64\u5168\u90e8\u90fd\u53ef\u4ee5\u6539\u6210\u4ee5s\uff08\u4e5f \u5c31\u662fsin\u03b8\uff09\u8868\u793a\u3002
\u2475\u5f53n\u662f\u5076\u6570\u65f6\uff1a\u516c\u5f0f\u4e2d\u51fa\u73b0\u7684c\u90fd\u662f\u5947\u6b21\u65b9\uff0c\u800cc^2=1-s^2\uff08\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff09\uff0c\u56e0\u6b64\u5373\u4f7f\u518d\u600e\u4e48\u6362\u6210s\uff0c\u90fd\u81f3\u5c11\u4f1a\u5269c\uff08\u4e5f\u5c31\u662f cos\u03b8\uff09\u7684\u4e00\u6b21\u65b9\u65e0\u6cd5\u6d88\u6389\u3002
\u4f8b. c^3=c*c^2=c*\uff081-s^2\uff09\uff0cc^5=c*(c^2\uff09^2=c*\uff081-s^2\uff09^2\uff09
\u7279\u6b8a\u516c\u5f0f
\uff08sina+sin\u03b8\uff09*\uff08sina-sin\u03b8\uff09=sin\uff08a+\u03b8\uff09*sin\uff08a-\u03b8\uff09
\u8bc1\u660e\uff1a\uff08sina+sin\u03b8\uff09*\uff08sina-sin\u03b8\uff09=2 sin[\uff08\u03b8+a)/2] cos[(a-\u03b8)/2] *2 cos[\uff08\u03b8+a)/2] sin[(a-\u03b8\uff09/2]
=sin\uff08a+\u03b8\uff09*sin\uff08a-\u03b8\uff09
\u5761\u5ea6\u516c\u5f0f
\u6211\u4eec\u901a\u5e38\u628a\u5761\u9762\u7684\u5782\u76f4\u9ad8\u5ea6h\u4e0e\u6c34\u5e73\u5bbd\u5ea6l\u7684\u6bd4\u53eb\u505a\u5761\u5ea6\uff08\u4e5f\u53eb\u5761\u6bd4\uff09\uff0c \u7528\u5b57\u6bcdi\u8868\u793a\uff0c
\u5373i=h / l,\u5761\u5ea6\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u5199\u6210l : m\u5f62\u5f0f\uff0c\u5982i=1:5.\u5982\u679c\u628a\u5761\u9762\u4e0e\u6c34\u5e73\u9762\u7684\u5939\u89d2\u8bb0\u4f5c
a\uff08\u53eb\u505a\u5761\u89d2\uff09\uff0c\u90a3\u4e48i=h/l=tan a.
\u534a\u89d2\u516c\u5f0f\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f6\u8f85\u52a9\u89d2\u516c\u5f0f
\u6ce8\uff1a\u8be5\u516c\u5f0f\u53c8\u79f0\u6536\u7f29\u516c\u5f0f / \u5f3a\u63d0\u516c\u5f0f / \u5316\u4e00\u516c\u5f0f \u7b49
asin \u03b1+bcos \u03b1=\u221a(a^2+b^2)sin(\u03b1+\u03c6)\uff0c\u5176\u4e2dtan \u03c6=b/a
asinA+bcosB=\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\u00d7\uff08\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\u5206\u4e4ba\u00d7sinA+\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\u5206\u4e4bb\u00d7cosB) \u4ee4\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\u5206\u4e4ba=cosC \u5219\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\u5206\u4e4bb=sinC asinA+bcosB=\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\uff08sinAcosC+cosBsinC)=\u6839\u53f7\u4e0ba\u65b9+b\u65b9\u00d7sin(A+C)
\u540c\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u57fa\u672c\u5173\u7cfb
tan \u03b1=sin \u03b1/cos \u03b1
\u5e73\u5e38\u9488\u5bf9\u4e0d\u540c\u6761\u4ef6\u7684\u5e38\u7528\u7684\u4e24\u4e2a\u516c\u5f0f
sin^2 \u03b1+cos^2 \u03b1=1 tan \u03b1 *cot \u03b1=1
\u9510\u89d2\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f
\u6b63\u5f26\uff1a sin \u03b1=\u2220\u03b1\u7684\u5bf9\u8fb9/\u2220\u03b1 \u7684\u659c\u8fb9
\u4f59\u5f26\uff1acos \u03b1=\u2220\u03b1\u7684\u90bb\u8fb9/\u2220\u03b1\u7684\u659c\u8fb9
\u6b63\u5207\uff1atan \u03b1=\u2220\u03b1\u7684\u5bf9\u8fb9/\u2220\u03b1\u7684\u90bb\u8fb9
\u4f59\u5207\uff1acot \u03b1=\u2220\u03b1\u7684\u90bb\u8fb9/\u2220\u03b1\u7684\u5bf9\u8fb9
\u4e8c\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
sin2A=2sinA•cosA
cos2A=cos^2 A-sin^2 A=1-2sin^2 A=2cos^2 A-1
tan2A=\uff082tanA\uff09/\uff081-tan^2 A\uff09
\u4e09\u500d\u89d2\u516c\u5f0f
sin3A=3sinA-4sin^3A
cos3A=4cos^3A-3cosA
sin3\u03b1=4sin\u03b1•sin(\u03c0/3+\u03b1)sin(\u03c0/3-\u03b1)
cos3\u03b1=4cos\u03b1•cos(\u03c0/3+\u03b1)cos(\u03c0/3-\u03b1)
tan3a = tan a • tan(\u03c0/3+a)• tan(\u03c0/3-a)
\u4e0a\u8ff0\u4e24\u5f0f\u76f8\u6bd4\u53ef\u5f97
tan3a=tanatan(60\u00b0-a)tan(60\u00b0+a)
\u534a\u89d2\u516c\u5f0f
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
\u548c\u5dee\u5316\u79ef
sin\u03b8+sin\u03c6 = 2 sin[(\u03b8+\u03c6)/2] cos[(\u03b8-\u03c6)/2]
sin\u03b8-sin\u03c6 = 2 cos[(\u03b8+\u03c6)/2] sin[(\u03b8-\u03c6)/2]
cos\u03b8+cos\u03c6 = 2 cos[(\u03b8+\u03c6)/2] cos[(\u03b8-\u03c6)/2]
cos\u03b8-cos\u03c6 = -2 sin[(\u03b8+\u03c6)/2] sin[(\u03b8-\u03c6)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
\u548c\u5dee\u5316\u79ef
cos(\u03b1+\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2-sin\u03b1sin\u03b2
cos(\u03b1-\u03b2)=cos\u03b1cos\u03b2+sin\u03b1sin\u03b2
sin(\u03b1+\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2+cos\u03b1sin\u03b2
sin(\u03b1-\u03b2)=sin\u03b1cos\u03b2 -cos\u03b1sin\u03b2
\u79ef\u5316\u548c\u5dee
sin\u03b1sin\u03b2 = [cos(\u03b1-\u03b2)-cos(\u03b1+\u03b2)] /2
cos\u03b1cos\u03b2 = [cos(\u03b1+\u03b2)+cos(\u03b1-\u03b2)]/2
sin\u03b1cos\u03b2 = [sin(\u03b1+\u03b2)+sin(\u03b1-\u03b2)]/2
cos\u03b1sin\u03b2 = [sin(\u03b1+\u03b2)-sin(\u03b1-\u03b2)]/2
\u53cc\u66f2\u51fd\u6570
\u516c\u5f0f\u4e00\uff1a
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u7ec8\u8fb9\u76f8\u540c\u7684\u89d2\u7684\u540c\u4e00\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u503c\u76f8\u7b49\uff1a
sin\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= sin\u03b1
cos\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= cos\u03b1
tan\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= tan\u03b1
cot\uff082k\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e8c\uff1a
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u03c0+\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
sin\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= -sin\u03b1
cos\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= -cos\u03b1
tan\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= tan\u03b1
cot\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09= cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e09\uff1a
\u4efb\u610f\u89d2\u03b1\u4e0e -\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
sin\uff08-\u03b1\uff09= -sin\u03b1
cos\uff08-\u03b1\uff09= cos\u03b1
tan\uff08-\u03b1\uff09= -tan\u03b1
cot\uff08-\u03b1\uff09= -cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u56db\uff1a
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e8c\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
sin\uff08\u03c0-\u03b1\uff09= sin\u03b1
cos\uff08\u03c0-\u03b1\uff09= -cos\u03b1
tan\uff08\u03c0-\u03b1\uff09= -tan\u03b1
cot\uff08\u03c0-\u03b1\uff09= -cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e94\uff1a
\u5229\u7528\u516c\u5f0f-\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u52302\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
sin\uff082\u03c0-\u03b1\uff09= -sin\u03b1
cos\uff082\u03c0-\u03b1\uff09= cos\u03b1
tan\uff082\u03c0-\u03b1\uff09= -tan\u03b1
cot\uff082\u03c0-\u03b1\uff09= -cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u516d\uff1a
\u03c0/2\u00b1\u03b1\u53ca3\u03c0/2\u00b1\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb\uff1a
sin\uff08\u03c0/2+\u03b1\uff09= cos\u03b1
cos\uff08\u03c0/2+\u03b1\uff09= -sin\u03b1
tan\uff08\u03c0/2+\u03b1\uff09= -cot\u03b1
cot\uff08\u03c0/2+\u03b1\uff09= -tan\u03b1
sin\uff08\u03c0/2-\u03b1\uff09= cos\u03b1
cos\uff08\u03c0/2-\u03b1\uff09= sin\u03b1
tan\uff08\u03c0/2-\u03b1\uff09= cot\u03b1
cot\uff08\u03c0/2-\u03b1\uff09= tan\u03b1
sin\uff083\u03c0/2+\u03b1\uff09= -cos\u03b1
cos\uff083\u03c0/2+\u03b1\uff09= sin\u03b1
tan\uff083\u03c0/2+\u03b1\uff09= -cot\u03b1
cot\uff083\u03c0/2+\u03b1\uff09= -tan\u03b1
sin\uff083\u03c0/2-\u03b1\uff09= -cos\u03b1
cos\uff083\u03c0/2-\u03b1\uff09= -sin\u03b1
tan\uff083\u03c0/2-\u03b1\uff09= cot\u03b1
cot\uff083\u03c0/2-\u03b1\uff09= tan\u03b1
(\u4ee5\u4e0ak\u2208Z)
A•sin(\u03c9t+\u03b8)+ B•sin(\u03c9t+\u03c6) =
\u221a{(A^2 +B^2 +2ABcos(\u03b8-\u03c6)} • sin{ \u03c9t + arcsin[ (A•sin\u03b8+B•sin\u03c6) / \u221a{A^2 +B^2; +2ABcos(\u03b8-\u03c6)} }
\u221a\u8868\u793a\u6839\u53f7,\u5305\u62ec{\u2026\u2026}\u4e2d\u7684\u5185\u5bb9
\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f
sin(-\u03b1) = -sin\u03b1
cos(-\u03b1) = cos\u03b1
tan (-\u03b1)=-tan\u03b1
sin(\u03c0/2-\u03b1) = cos\u03b1
cos(\u03c0/2-\u03b1) = sin\u03b1
sin(\u03c0/2+\u03b1) = cos\u03b1
cos(\u03c0/2+\u03b1) = -sin\u03b1
sin(\u03c0-\u03b1) = sin\u03b1
cos(\u03c0-\u03b1) = -cos\u03b1
sin(\u03c0+\u03b1) = -sin\u03b1
cos(\u03c0+\u03b1) = -cos\u03b1
tanA= sinA/cosA
tan\uff08\u03c0/2\uff0b\u03b1\uff09\uff1d\uff0dcot\u03b1
tan\uff08\u03c0/2\uff0d\u03b1\uff09\uff1dcot\u03b1
tan\uff08\u03c0\uff0d\u03b1\uff09\uff1d\uff0dtan\u03b1
tan\uff08\u03c0\uff0b\u03b1\uff09\uff1dtan\u03b1
\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\u8bb0\u80cc\u8bc0\u7a8d\uff1a\u5947\u53d8\u5076\u4e0d\u53d8\uff0c\u7b26\u53f7\u770b\u8c61\u9650
\u4e07\u80fd\u516c\u5f0f
sin\u03b1=2tan(\u03b1/2)/[1+tan^2(\u03b1/2)]
cos\u03b1=[1-tan^2(\u03b1/2)]/[1+tan^2(\u03b1/2)]
tan\u03b1=2tan(\u03b1/2)/[1-tan^2(\u03b1/2)]
倒数关系：
tanα ·cotα=1
sinα ·cscα=1
cosα ·secα=1
商的关系：
sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1
1+tan^2(α)=sec^2(α)
1+cot^2(α)=csc^2(α)
平常针对不同条件的常用的两个公式
sin^2(α)+cos^2(α)=1
tan α *cot α=1
一个特殊公式
（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）
证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2]
=sin（a+θ）*sin（a-θ）
坡度公式
我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比）， 用字母i表示，
即 i=h / l,坡度的一般形式写成 l : m形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作
a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a.
锐角三角函数公式
正弦： sin α=∠α的对边/∠α 的斜边
余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边
正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边
余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边
二倍角公式
正弦
sin2A=2sinA·cosA
余弦
1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)
2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1
即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a)
正切
tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)）
三倍角公式
sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α)
cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α)
tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
三倍角公式推导
sin(3a)
=sin(a+2a)
=sin2acosa+cos2asina
=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos2acosa-sin2asina
=(2cos²a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin²a)
=4sina[(√3/2)²-sin²a]
=4sina(sin²60°-sin²a)
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos²a-3/4)
=4cosa[cos²a-(√3/2)^2]
=4cosa(cos²a-cos²30°)
=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得
tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a)
现列出公式如下: sin2α=2sinαcosα tan2α=2tanα/(1-tan²(α)) cos2α=cos²(α)-sin²(α)=2cos²(α)-1=1-2sin²(α) 可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用。包括一些图像问题和函数问题中
三倍角公式
sin3α=3sinα-4sin³(α)=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cos³(α)-3cosα=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)=tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a)
半角公式
sin²(α/2)=(1-cosα)/2 cos²(α/2)=(1+cosα)/2 tan²(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+tan²(α/2)] cosα=[1-tan²(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan²(α/2)]
其他
sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0
四倍角公式
sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)
五倍角公式
sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)
六倍角公式
sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA²)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA²-15*tanA^4+tanA^6)
七倍角公式
sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6)) cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7)) tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)
八倍角公式
sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1)) cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2) tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)
九倍角公式
sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3)) cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3)) tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)
十倍角公式
sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4)) cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1)) tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)
N倍角公式
根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ) 为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c 考虑n为正整数的情形： cos(nθ)+ i sin(nθ) = (c+ i s)^n = C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... +C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... =>比较两边的实部与虚部 实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ... i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ... 对所有的自然数n， 1. cos(nθ)： 公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。 2. sin(nθ)： (1)当n是奇数时： 公式中出现的c都是偶次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此全部都可以改成以s(也就是sinθ)表示。 (2)当n是偶数时： 公式中出现的c都是奇次方，而c^2=1-s^2(平方关系)，因此即使再怎么换成s，都至少会剩c(也就是 cosθ)的一次方无法消掉。 (例. c^3=c*c^2=c*(1-s^2)，c^5=c*(c^2)^2=c*(1-s^2)^2)
半角公式
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);
cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA.
sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2
cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a))
和差化积
sinθ+sinφ = 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
sinθ-sinφ = 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
cosθ+cosφ = 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2]
cosθ-cosφ = -2 sin[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2]
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB)
tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB)
两角和公式
tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)
tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ
sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β)=sinαcosβ -cosαsinβ
积化和差
sinαsinβ =-[cos(α+β)-cos(α-β)] /2
cosαcosβ = [cos(α+β)+cos(α-β)]/2
sinαcosβ = [sin(α+β)+sin(α-β)]/2
cosαsinβ = [sin(α+β)-sin(α-β)]/2
双曲函数
sh a = [e^a-e^(-a)]/2
ch a = [e^a+e^(-a)]/2
th a = sin h(a)/cos h(a)
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ+α）= sinα
cos（2kπ+α）= cosα
tan（2kπ+α）= tanα
cot（2kπ+α）= cotα
公式二：
设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π+α）= -sinα
cos（π+α）= -cosα
tan（π+α）= tanα
cot（π+α）= cotα
公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（-α）= -sinα
cos（-α）= cosα
tan（-α）= -tanα
cot（-α）= -cotα
公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π-α）= sinα
cos（π-α）= -cosα
tan（π-α）= -tanα
cot（π-α）= -cotα
公式五：
利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π-α）= -sinα
cos（2π-α）= cosα
tan（2π-α）= -tanα
cot（2π-α）= -cotα
公式六：
π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π/2+α）= cosα
cos（π/2+α）= -sinα
tan（π/2+α）= -cotα
cot（π/2+α）= -tanα
sin（π/2-α）= cosα
cos（π/2-α）= sinα
tan（π/2-α）= cotα
cot（π/2-α）= tanα
sin（3π/2+α）= -cosα
cos（3π/2+α）= sinα
tan（3π/2+α）= -cotα
cot（3π/2+α）= -tanα
sin（3π/2-α）= -cosα
cos（3π/2-α）= -sinα
tan（3π/2-α）= cotα
cot（3π/2-α）= tanα
(以上k∈Z)
A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) =
√{(A² +B² +2ABcos(θ-φ)} · sin{ωt + arcsin[ (A·sinθ+B·sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} }
√表示根号,包括{……}中的内容
三角函数的诱导公式（六公式）
公式一 sin(-α) = -sinα
cos(-α) = cosα
tan (-α)=-tanα
公式二sin(π/2-α) = cosα
cos(π/2-α) = sinα
公式三 sin(π/2+α) = cosα
cos(π/2+α) = -sinα
公式四sin(π-α) = sinα
cos(π-α) = -cosα
公式五sin(π+α) = -sinα
cos(π+α) = -cosα
公式六tanA= sinA/cosA
tan（π/2+α）=－cotα
tan（π/2－α）=cotα
tan（π－α）=－tanα
tan（π+α）=tanα
诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限
万能公式
sinα=2tan(α/2)/[1+(tan(α/2))²]
cosα=[1-(tan(α/2))²]/[1+(tan(α/2))²]
tanα=2tan(α/2)/[1-(tan(α/2))²]
其它公式
(1) (sinα)^2+(cosα)^2=1（平方和公式）
(2)1+(tanα)^2=(secα)^2
(3)1+(cotα)^2=(cscα)^2
证明下面两式，只需将一式,左右同除(sinα)^2，第二个除(cosα)^2即可
(4)对于任意非直角三角形，总有
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
证：
A+B=π-C
tan(A+B)=tan(π-C)
(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)
整理可得
tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC
得证
同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时，该关系式也成立
由tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC可得出以下结论
(5)cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1
(6)cot(A/2)+cot(B/2)+cot(C/2)=cot(A/2)cot(B/2)cot(C/2)
(7)(cosA)^2;+(cosB)^2+(cosC)^2=1-2cosAcosBcosC
(8)（sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2=2+2cosAcosBcosC
其他非重点三角函数
csc(a) = 1/sin(a)
sec(a) = 1/cos(a)
(seca)^2+(csca)^2=(seca)^2(csca)^2
幂级数展开式
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……。 (-∞<x<∞)
cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)
arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
无限公式
sinx=x(1-x^2/π^2)(1-x^2/4π^2)(1-x^2/9π^2)……
cosx=(1-4x^2/π^2)(1-4x^2/9π^2)(1-4x^2/25π^2)……
tanx=8x[1/(π^2-4x^2)+1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)+……]
secx=4π[1/(π^2-4x^2)-1/(9π^2-4x^2)+1/(25π^2-4x^2)-+……]
(sinx)x=cosx/2cosx/4cosx/8……
(1/4)tanπ/4+(1/8)tanπ/8+(1/16)tanπ/16+……=1/π
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -……(x≤1)
和自变量数列求和有关的公式
sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx=[sin(nx/2)sin((n+1)x/2)]/sin(x/2)
cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx=[cos((n+1)x/2)sin(nx/2)]/sin(x/2)
tan((n+1)x/2)=(sinx+sin2x+sin3x+……+sinnx)/(cosx+cos2x+cos3x+……+cosnx)
sinx+sin3x+sin5x+……+sin(2n-1)x=(sinnx)^2/sinx
cosx+cos3x+cos5x+……+cos(2n-1)x=sin(2nx)/(2sinx)
三角函数公式
两角和公式
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA)
cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA)
倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2 -1=1-2(sina)^2
半角公式
sin(A/2)=√((1-cosA)/2) sin(A/2)=-√((1-cosA)/2)
cos(A/2)=√((1+cosA)/2) cos(A/2)=-√((1+cosA)/2)
tan(A/2)=√((1-cosA)/((1+cosA)) tan(A/2)=-√((1-cosA)/((1+cosA))
cot(A/2)=√((1+cosA)/((1-cosA)) cot(A/2)=-√((1+cosA)/((1-cosA))
和差化积
2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A-B)
2cosAsinB=sin(A+B)-sin(A-B) )
2cosAcosB=cos(A+B)-sin(A-B)
-2sinAsinB=cos(A+B)-cos(A-B)
sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2
cosA+cosB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)
tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB
正弦：sinA＝∠A的对边比斜边
余弦：cosA＝∠A的邻边比斜边
正切：tanA＝∠A的对边比∠A的邻边
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绛旓細鐩磋涓夎褰BC涓,瑙扐鐨勬寮﹀煎氨绛変簬瑙扐鐨勫杈规瘮鏂滆竟,浣欏鸡绛変簬瑙扐鐨勯偦杈规瘮鏂滆竟 姝ｅ垏绛変簬瀵硅竟姣旈偦杈,路[1]涓夎鍑芥暟鎭掔瓑鍙樺舰鍏紡 路涓よ鍜屼笌宸殑涓夎鍑芥暟锛歝os(伪+尾)=cos伪路cos尾-sin伪路sin尾 cos(伪-尾)=cos伪路cos尾+sin伪路sin尾 sin(伪卤尾)=sin伪路cos尾卤cos伪路sin尾 tan(伪+...
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