二项式定理 二项式定理
\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u4ec0\u4e48\u662f\u4e8c\u9879\u5f0f\u3001\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406
\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\uff08\u82f1\u8bed\uff1abinomial theorem\uff09\uff0c\u53c8\u79f0\u725b\u987f\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\uff0c\u7531\u827e\u8428\u514b\u00b7\u725b\u987f\u4e8e1664\u5e74\u30011665\u5e74\u95f4\u63d0\u51fa\u3002
\u8be5\u5b9a\u7406\u7ed9\u51fa\u4e24\u4e2a\u6570\u4e4b\u548c\u7684\u6574\u6570\u6b21\u5e42\u8bf8\u5982\u5c55\u5f00\u4e3a\u7c7b\u4f3c\u9879\u4e4b\u548c\u7684\u6052\u7b49\u5f0f\u3002\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u53ef\u4ee5\u63a8\u5e7f\u5230\u4efb\u610f\u5b9e\u6570\u6b21\u5e42\uff0c\u5373\u5e7f\u4e49\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u3002
\u5b83\u4e0d\u662f\u4e00\u4e2a\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u4e5f\u4e0d\u662f\u4e00\u4e2a\u7b49\u6bd4\u6570\u5217\uff0c\u4f46\u901a\u8fc7\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u7684\u5c55\u5f00\u5f0f\uff0c\u53ef\u4ee5\u8f6c\u5316\u4e3a\u6309\u7b49\u5dee\u6570\u5217\uff0c\u7531\u4f4e\u6b21\u5e42\u5230\u9ad8\u6b21\u5e42\u9012\u8fdb\u6c42\u548c\uff0c\u6700\u7ec8\u53ef\u63a8\u5bfc\u81f3\u674e\u5584\u5170\u81ea\u7136\u6570\u5e42\u6c42\u548c\u516c\u5f0f\u7684\u539f\u5f62\u3002
\u53d1\u73b0\u5386\u7a0b
\u5728\u4e2d\u56fd\u88ab\u79f0\u4e3a\u300c\u8d3e\u5baa\u4e09\u89d2\u300d\u6216\u300c\u6768\u8f89\u4e09\u89d2\u300d\uff0c\u4e00\u822c\u8ba4\u4e3a\u662f\u5317\u5b8b\u6570\u5b66\u5bb6\u8d3e\u5baa\u6240\u9996\u521b\u3002\u5b83\u8bb0\u8f7d\u4e8e\u6768\u8f89\u7684\u300a\u8be6\u89e3\u4e5d\u7ae0\u7b97\u6cd5\u300b\uff081261\uff09\u4e4b\u4e2d\u3002\u5728\u963f\u62c9\u4f2f\u6570\u5b66\u5bb6\u5361\u897f\u7684\u8457\u4f5c\u300a\u7b97\u672f\u4e4b\u94a5\u300b\uff081427\uff09\u4e2d\u4e5f\u7ed9\u51fa\u4e86\u4e00\u4e2a\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u7cfb\u6570\u8868\uff0c\u4ed6\u6240\u7528\u7684\u8ba1\u7b97\u65b9\u6cd5\u4e0e\u8d3e\u5baa\u7684\u5b8c\u5168\u76f8\u540c\u3002
\u5728\u6b27\u6d32\uff0c\u5fb7\u56fd\u6570\u5b66\u5bb6\u963f\u76ae\u5b89\u52aa\u65af\u5728\u4ed61527\u5e74\u51fa\u7248\u7684\u7b97\u672f\u4e66\u7684\u5c01\u9762\u4e0a\u523b\u6709\u6b64\u56fe\u3002\u4f46\u4e00\u822c\u5374\u79f0\u4e4b\u4e3a\u300c\u5e15\u65af\u5361\u4e09\u89d2\u5f62\u300d\uff0c\u56e0\u4e3a\u5e15\u65af\u5361\u57281654\u5e74\u4e5f\u53d1\u73b0\u4e86\u8fd9\u4e2a\u7ed3\u679c\u3002\u65e0\u8bba\u5982\u4f55\uff0c\u4e8c\u9879\u5f0f\u5b9a\u7406\u7684\u53d1\u73b0\uff0c\u5728\u4e2d\u56fd\u6bd4\u5728\u6b27\u6d32\u8981\u65e9500\u5e74\u5de6\u53f3\u3002
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3
(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4
等等。对于(a＋b)12，人们显然希望不必经由(a＋b)十几次自乘的冗长计算，就能够发现其展开式中a7b5的系数。早在牛顿出生之前很久，人们便已提出并解决了二项式的展开式问题。中国数学家杨辉早在13世纪就发现了二项式的秘密，但他的著作直到近代才为欧洲人所知。维埃特在其《分析术引论》前言的命题XI中也同样论证了二项式问题。但这一伟大发现通常是以布莱兹·帕斯卡的名字命名的。帕斯卡注意到，二项式的系数可以很容易地从我们现在称为“帕斯卡三角”的排列中得到：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
等等
在这个三角形中，每一个新增数字都等于其上左右两个数字之和。因此，根据帕斯卡三角，下一行的数值为
1 8 28 56 70 56 28 8 1
例如，表值56就等于其上左右两个数字21＋35之和。
帕斯卡三角与（a＋b）8展开式之间的联系是非常直接的，因为三角形的最后一行数值为我们提供了必要的系数，即
（a＋b）8＝a8＋8a7b＋28a6b2＋56a5b3
＋70a4b4＋56a3b5＋28a2b6＋8ab7＋b8
我们只要将三角形的数值再向下延伸几行，就可以得到（a＋b）12展开式中a7b5的系数为792。所以，帕斯卡三角的实用性是非常明显的。
年轻的牛顿经过对二项展开式的研究，发明了一个能够直接导出二项式系数的公式，而不必再繁琐地延伸三角形到所需要的那行了。并且，他对模式的持续性的固有信念使他认为，能够正确推导出诸如(a＋b)2或(a＋b)3
这种形式的二项式。
关于分数指数和负数指数问题，在此还需多说一句。我们知道，在初等
这些关系。
以下所列牛顿的二项展开式公式是他在1676年写给其同时代伟人戈特弗里德·威廉·莱布尼兹的一封信中阐明的（此信经由皇家学会的亨利·奥尔登伯格转交）。牛顿写道：
项式的“指数是整数还是（比如说）分数，是正数还是负数”的问题。公式中的A、B、C等表示展开式中该字母所在项的前一项。
对于那些见过现代形式的二项展开式的读者来说，牛顿的公式可能显得过于复杂和陌生。但只要仔细研究一下，就可以解决读者的任何疑问。我们首先来看，
出
也许，这种形式看起来就比较熟悉了。
我们不妨应用牛顿的公式来解一些具体例题。例如，在展开(1＋x)3时，
这恰恰就是帕斯卡三角的非列系数。并且，由于我们的原指数是正整数3，所以，展开式到第四项结束。
但是，当指数是负数时，又有一个完全不同的情况摆在牛顿面前。例如，展开(1＋x)－3，根据牛顿公式，我们得到
或简化为
方程右边永远没有终止。应用负指数定义，这一方程就成为
或其等价方程
牛顿将上式交叉相乘并消去同类项，证实
（1＋3x＋3x2＋x3）（1＋3x＋6x2－10x3＋15x4－……）＝1
牛顿用等式右边的无穷级数自乘，也就是求这无穷级数的平方，以检验这一貌似奇特的公式，其结果如下：
所以
这就证实了
与牛顿原推导结果相同。
牛顿写道；“用这一定理进行开方运算非常简便。”例如，假设我们求
现在，将等式右边的平方根代入前面标有（）符号的二项展开式中的前6项，当然，此处要用29替换原公式中的x，因而，我
了前6个常数项。如果我们取二项展开式中更多的项，我们就会得到更加精确的近似值。并且，我们还可以用同样的方法求出三次根、四次根，等等，
续演算。
别奇怪的。而真正令人吃惊的是，牛顿的二项式定理精确地告诉我们应该采用哪些分数，而这些分数则是以一种完全机械的方式得出的，无须任何特殊的见解与机巧。这显然是一个求任何次方根的有效而巧妙的方法。
二项式定理是我们即将讨论的伟大定理的两个必要前提之一。另一个前提是牛顿的逆流数，也就是我们今天所说的积分。但是，对逆流数的详尽说明属于微积分问题，超出了本书的范围。然而，我们可以用牛顿的话来阐述其重要定理，并举一两个例子来加以说明。
牛顿在1669年中撰著的《运用无穷多项方程的分析学》一书中提出了逆流数问题，但这部论著直到1711年才发表。这是牛顿第一次提出逆流数问题，他将他的这部论文交给几个数学同事传阅。比如，我们知道，艾萨克·巴罗就曾看到过这部论文，他在1669年7月20日给他一个熟人的信里写道：“……我的一个朋友……在这些问题上很有天分，他曾带给我几篇论文。”巴罗或《分析学》一书的任何其他读者遇到的第一个法则如下。
设任意曲线AD的底边为AB，其垂直纵边为BD，设AB＝x，
BD＝y，并设a、b、c等为已知量，m和n为整数。则：
到x点之内的图形的面积。根据牛顿法则，这一图形的面积为
按照牛顿公式，面积为12x2，对这一结果，可以很容易地用三角形面积公式
牛顿又进一步说明了《分析学》一书的法则2，“如果y值是由几项之和组成的，那么，其面积也同样等于每一项面积之和。”例如，他写道，曲
那么，牛顿所采用的两个工具就是：二项式定理和求一定曲线下面积的流数法。他运用这两个工具，可以得心应手地解决许多复杂的数学与物理问题，而我们将要看到的是牛顿如何应用这两个工具，使一个古老的问题获得了全新的生命：计算π的近似值。我们在第四章的后记中，追溯了这一著名数字的某些历史，确认了某些学者，如阿基米德、韦达和卢道尔夫·冯瑟伦在计算更精确的π近似值方面所作出的贡献。1670年左右，这个问题引起了艾萨克·牛顿的注意。他运用他奇妙的新方法，对这一古老问题进行研究，并取得了辉煌的成就。
二项式定理指的是：
二项式定理，又称牛顿二项式定理，由艾萨克·牛顿于1664年、1665年间提出。该定理给出两个数之和的整数次幂诸如展开为类似项之和的恒等式。二项式定理可以推广到任意实数次幂，即广义二项式定。
二项式定理的意义：
牛顿以二项式定理作为基石发明出了微积分，其在初等数学中应用主要在于一些粗略的分析和估计以及证明恒等式等。这个定理在遗传学中也有其用武之地。
具体应用范围为推测自交后代群体的基因型和概率、推测自交后代群体的表现型和概率、推测杂交后代群体的表现型分布和概率、通过测交分析杂合体自交后代的性状表现和概率、推测夫妻所生孩子的性别分布和概率、推测平衡状态群体的基因或基因型频率等。
什么是二项式、二项式定理
绛旓細锛坅+b)n娆℃柟鐨勫睍寮寮忥紳C(n,0)a(n娆℃柟)+C(n,1)a锛坣-1娆℃柟锛塨锛1娆℃柟锛+鈥+C锛坣,r锛塧(n-r娆℃柟)b(r娆℃柟)+鈥+C(n,n)b(n娆℃柟)(n鈭圢*)銆侰(n,0)琛ㄧず浠巒涓腑鍙0涓傝繖涓叕寮忓彨鍋浜岄」寮忓畾鐞锛屽彸杈圭殑澶氶」寮忓彨鍋(a+b)n鐨勪簩娆″睍寮寮忥紝鍏朵腑鐨勭郴鏁癈nr(r锛0,1,鈥︹)鍙仛浜屾椤...
绛旓細(a+b)^n=a^n+C(n锛1)a^(n-1)b+C(n锛2)a^(n-2)b^2+...+C(n锛宯-1)ab^(n-1)+b^n銆浜岄」寮忓畾鐞锛堣嫳璇細Binomial theorem锛夛紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞存湡闂存彁鍑恒備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氱悊銆備竴銆佷簩椤瑰睍寮寮忓畾涔夛細浜岄」灞曞紑寮忔槸...
绛旓細1銆佷簩椤瑰紡瀹氱悊 浜岄」寮忓畾鐞锛屽張绉扮墰椤夸簩椤瑰紡瀹氱悊锛岀敱鑹捐惃鍏嬄风墰椤夸簬1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿 灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氱悊銆2銆佷簩椤瑰紡灞曞紑鍏紡 浜岄」寮忓畾鐞嗗彲浠ョ敤濡備笅鍏紡琛ㄧず锛3銆佸父鏁伴」 浜岄」寮忓睍寮寮忎腑鐨勫父鏁伴」锛屾寚鐨勬槸...
绛旓細n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n.浜岄」寮忓畾鐞锛屽張绉扮墰椤夸簩椤瑰紡瀹氱悊锛岀敱鑹捐惃鍏嬄风墰椤夸簬1664-1665骞存彁鍑恒傚叕寮忎负:(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+...+C(n,i)a^(n-i)b^i+...+C(n,n)b^n 寮忎腑,C(n,i)琛ㄧず浠巒涓厓绱犱腑浠诲彇i涓殑缁勫悎鏁=n!/(n-i)!i!
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞鎸囩殑鏄細浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氥備簩椤瑰紡瀹氱悊鐨勬剰涔夛細鐗涢】浠ヤ簩椤瑰紡瀹氱悊浣滀负鍩虹煶鍙戞槑鍑轰簡寰Н鍒嗭紝鍏跺湪鍒濈瓑鏁板涓簲鐢ㄤ富瑕佸湪浜庝竴浜涚矖鐣...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞鎸囩殑鏄細浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氥備簩椤瑰紡瀹氱悊鐨勬剰涔夛細鐗涢】浠ヤ簩椤瑰紡瀹氱悊浣滀负鍩虹煶鍙戞槑鍑轰簡寰Н鍒嗭紝鍏跺湪鍒濈瓑鏁板涓簲鐢ㄤ富瑕佸湪浜庝竴浜涚矖鐣...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞鎸囩殑鏄細浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氥備簩椤瑰紡瀹氱悊鐨勬剰涔夛細鐗涢】浠ヤ簩椤瑰紡瀹氱悊浣滀负鍩虹煶鍙戞槑鍑轰簡寰Н鍒嗭紝鍏跺湪鍒濈瓑鏁板涓簲鐢ㄤ富瑕佸湪浜庝竴浜涚矖鐣...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞鍏紡 浜岄」寮忓畾鐞嗘槸鏁板涓殑涓鏉￠噸瑕佸畾鐞嗭紝瀹冩弿杩颁簡涓涓舰濡(x+y)^n鐨勪簩椤瑰紡鐨勫睍寮寮忋傛牴鎹簩椤瑰紡瀹氱悊锛屾垜浠彲浠ュ皢浜岄」寮忓睍寮鎴愪竴绯诲垪鐨勯」锛屾瘡涓椤圭敱浜岄」寮忕郴鏁板拰鎸囨暟骞傛瀯鎴愩備笅闈㈡垜灏嗚缁嗕粙缁嶄簩椤瑰紡瀹氱悊鍏紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鐨勫叕寮忓涓嬶細(x+y)^n=C(n,0)*x^n*y^0+C(n,1)*x^(n-1)*y^...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞鎸囩殑鏄細浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鍙堢О鐗涢】浜岄」寮忓畾鐞嗭紝鐢辫壘钀ㄥ厠路鐗涢】浜1664骞淬1665骞撮棿鎻愬嚭銆傝瀹氱悊缁欏嚭涓や釜鏁颁箣鍜岀殑鏁存暟娆″箓璇稿灞曞紑涓虹被浼奸」涔嬪拰鐨勬亽绛夊紡銆備簩椤瑰紡瀹氱悊鍙互鎺ㄥ箍鍒颁换鎰忓疄鏁版骞傦紝鍗冲箍涔変簩椤瑰紡瀹氥備簩椤瑰紡瀹氱悊鐨勬剰涔夛細鐗涢】浠ヤ簩椤瑰紡瀹氱悊浣滀负鍩虹煶鍙戞槑鍑轰簡寰Н鍒嗭紝鍏跺湪鍒濈瓑鏁板涓簲鐢ㄤ富瑕佸湪浜庝竴浜涚矖鐣...
绛旓細浜岄」寮忓畾鐞鏄唬鏁颁腑鐨勪竴涓噸瑕佸畾鐞嗭紝鐢ㄤ簬灞曞紑涓涓簩椤瑰紡鐨勫箓銆傚畠鐨勫睍寮寮忓叕寮忓涓嬶細瀵逛簬浠绘剰瀹炴暟a鍜宐浠ュ強闈炶礋鏁存暟n锛屼簩椤瑰紡瀹氱悊缁欏嚭浜嗕互涓嬪叕寮忥細(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + C(n,2) * a^(n-2) * b^2 + ... + C(n,r) * a^...
