怎样证明 Eε=np Dε=npq Eε=1/p Dε=q/p^2 怎样证明 Eε=np Dε=npq Eε=1/p Dε=q/...

\u600e\u6837\u8bc1\u660e E\u03b5=np D\u03b5=npq E\u03b5=1/p D\u03b5=q/p²

\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u8bc1\u660e\uff1a
X\uff5eb(n,p)\uff0c\u5176\u4e2dn\u22651,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,DX=np(1-p).
\u6700\u7b80\u5355\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u662f\uff1aX\u53ef\u4ee5\u5206\u89e3\u6210n\u4e2a\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u7684\uff0c\u90fd\u670d\u4ece\u4ee5p\u4e3a\u53c2\u6570\u7684(0-1)\u5206\u5e03\u7684\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u4e4b\u548c\uff1a
X=X1+X2+...+Xn,Xi\uff5eb(1,p)\uff0ci=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).

\u4e8c\u3001\u51e0\u4f55\u5206\u5e03
\u9996\u5148,\u968f\u5373\u53d8\u91cf\u5e94\u662f\u4e00\u4e2a\u65e0\u7a77\u96c6\u5408,\u4ece1\u5230\u65e0\u7a77\u5927.
\u221e
E=\u2211\u03b6(i)*p(i)
i=1
\u03b6(i)=i,p(i)=pq^(i-1),p\u4e3a\u4e8b\u4ef6\u6982\u7387,q=1-p
\u221e
E=\u2211\u03b6(i)*p(i)=p*(\u2211iq^(i-1))
i=1
\u221e
\u8bb0S=\u2211iq^(i-1)
i=1
\u221e
qS=\u2211iq^i
i=1
\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf,\u5f97
(1-q)S=1+q+q^2+...=1/(1-q)=1/p(\u53d6\u6781\u9650)
S=1/p^2
E=p*S=1/p
E\u03be=1/p\uff0cD\u03be=(1-p)/p^2
D\u03be=E(\u03be^2)-(E\u03be)^2
E(\u03be^2)=p+2^2*qp+3^2*q^2*p+\u2026\u2026+k^2*q^(k-1)*p+\u2026\u2026
=p(1+2^2*q+3^2*q^2+\u2026\u2026+k^2*q^(k-1)+\u2026\u2026)
\u5bf9\u4e8e\u4e0a\u5f0f\u62ec\u53f7\u4e2d\u7684\u5f0f\u5b50\uff0c\u5229\u7528\u5bfc\u6570\uff0c\u5173\u4e8eq\u6c42\u5bfc\uff1ak^2*q^(k-1)=(k*q^k)',\u5e76\u7528\u500d\u5dee\u6cd5\u6c42\u548c\uff0c\u6709
1+2^2*q+3^2*q^2+\u2026\u2026+k^2*q^(k-1)+\u2026\u2026
=(q+2*q^2+3*q^3+\u2026\u2026+k*q^k+\u2026\u2026)'
=[q/(1-q)^2]'
=[(1-q^2)+2(1-q)q]/(1-q)^4
=(1-q^2)/(1-q)^4
=(1+q)/(1-q)^3
=(2-p)/p^3
\u56e0\u6b64E(\u03be^2)=p[(2-p)/p^3]=(2-p)/p^2
\u5219D\u03be=E(\u03be^2)-(E\u03be)^2=\uff082-p)/p^2-(1/p)^2=(1-p)/p^2

\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u5e94\u8be5\u6ca1\u95ee\u9898\u5427\uff0c\u81f3\u4e8e\u51e0\u4f55\u5206\u5e03\uff0c\u8fd9\u91cc\u6709\u4f60\u60f3\u8981\u7684\u89e3\u6cd5
http://www.ehappystudy.com/upload/html/2006/8/7/zlm2003200687147547090.doc

\u671f\u671b\u548c\u65b9\u5dee\u662f\u65e0\u7a77\u6570\u5217\u4e0d\u53ef\u80fd\u4e0d\u7528\u6781\u9650\u548c\u5bfc\u6570\u7684\u77e5\u8bc6\u3002
\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u8bc1\u660e\uff1a
X\uff5eb(n,p)\uff0c\u5176\u4e2dn\u22651,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,DX=np(1-p).
\u6700\u7b80\u5355\u7684\u8bc1\u660e\u65b9\u6cd5\u662f\uff1aX\u53ef\u4ee5\u5206\u89e3\u6210n\u4e2a\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u7684\uff0c\u90fd\u670d\u4ece\u4ee5p\u4e3a\u53c2\u6570\u7684(0-1)\u5206\u5e03\u7684\u968f\u673a\u53d8\u91cf\u4e4b\u548c\uff1a
X=X1+X2+...+Xn,Xi\uff5eb(1,p)\uff0ci=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).

\u4e8c\u3001\u51e0\u4f55\u5206\u5e03
\u9996\u5148,\u968f\u5373\u53d8\u91cf\u5e94\u662f\u4e00\u4e2a\u65e0\u7a77\u96c6\u5408,\u4ece1\u5230\u65e0\u7a77\u5927.
\u221e
E=\u2211\u03b6(i)*p(i)
i=1
\u03b6(i)=i,p(i)=pq^(i-1),p\u4e3a\u4e8b\u4ef6\u6982\u7387,q=1-p
\u221e
E=\u2211\u03b6(i)*p(i)=p*(\u2211iq^(i-1))
i=1
\u221e
\u8bb0S=\u2211iq^(i-1)
i=1
\u221e
qS=\u2211iq^i
i=1
\u9519\u4f4d\u76f8\u51cf,\u5f97
(1-q)S=1+q+q^2+...=1/(1-q)=1/p(\u53d6\u6781\u9650)
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E=p*S=1/p
E\u03be=1/p\uff0cD\u03be=(1-p)/p^2
D\u03be=E(\u03be^2)-(E\u03be)^2
E(\u03be^2)=p+2^2*qp+3^2*q^2*p+\u2026\u2026+k^2*q^(k-1)*p+\u2026\u2026
=p(1+2^2*q+3^2*q^2+\u2026\u2026+k^2*q^(k-1)+\u2026\u2026)
\u5bf9\u4e8e\u4e0a\u5f0f\u62ec\u53f7\u4e2d\u7684\u5f0f\u5b50\uff0c\u5229\u7528\u5bfc\u6570\uff0c\u5173\u4e8eq\u6c42\u5bfc\uff1ak^2*q^(k-1)=(k*q^k)',\u5e76\u7528\u500d\u5dee\u6cd5\u6c42\u548c\uff0c\u6709
1+2^2*q+3^2*q^2+\u2026\u2026+k^2*q^(k-1)+\u2026\u2026
=(q+2*q^2+3*q^3+\u2026\u2026+k*q^k+\u2026\u2026)'
=[q/(1-q)^2]'
=[(1-q^2)+2(1-q)q]/(1-q)^4
=(1-q^2)/(1-q)^4
=(1+q)/(1-q)^3
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\u56e0\u6b64E(\u03be^2)=p[(2-p)/p^3]=(2-p)/p^2
\u5219D\u03be=E(\u03be^2)-(E\u03be)^2=\uff082-p)/p^2-(1/p)^2=(1-p)/p^2
\u4f60\u53ef\u4ee5\u53c2\u8003
www2.tust.edu.cn/math/gltjweb/kejianch9.ppt

期望和方差是无穷数列不可能不用极限和导数的知识。
二项分布证明：
X～b(n,p)，其中n≥1,0<p<1.
P{X=k}=C(n,k)*p^k*(1-p)^(n-k),k=0,1,...,n.
EX=np,DX=np(1-p).
最简单的证明方法是：X可以分解成n个相互独立的，都服从以p为参数的(0-1)分布的随机变量之和：
X=X1+X2+...+Xn,Xi～b(1,p)，i=1,2,...,n.
P{Xi=0}=1-p,P(Xi=1)=p.
EXi=0*(1-p)+1*p=p,
E(Xi^2)=0^2*(1-p)+1^2*p=p,
DXi=E(Xi^2)-(EXi)^2=p-p^2=p(1-p).
EX=EX1+EX2+...+EXn=np,
DX=DX1+DX2+...+DXn=np(1-p).

二、几何分布
首先,随即变量应是一个无穷集合,从1到无穷大.
∞
E=∑ζ(i)*p(i)
i=1
ζ(i)=i,p(i)=pq^(i-1),p为事件概率,q=1-p
∞
E=∑ζ(i)*p(i)=p*(∑iq^(i-1))
i=1
∞
记S=∑iq^(i-1)
i=1
∞
qS=∑iq^i
i=1
错位相减,得
(1-q)S=1+q+q^2+...=1/(1-q)=1/p(取极限)
S=1/p^2
E=p*S=1/p
Eξ=1/p，Dξ=(1-p)/p^2
Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2
E(ξ^2)=p+2^2*qp+3^2*q^2*p+……+k^2*q^(k-1)*p+……
=p(1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……)
对于上式括号中的式子，利用导数，关于q求导：k^2*q^(k-1)=(k*q^k)',并用倍差法求和，有
1+2^2*q+3^2*q^2+……+k^2*q^(k-1)+……
=(q+2*q^2+3*q^3+……+k*q^k+……)'
=[q/(1-q)^2]'
=[(1-q^2)+2(1-q)q]/(1-q)^4
=(1-q^2)/(1-q)^4
=(1+q)/(1-q)^3
=(2-p)/p^3
因此E(ξ^2)=p[(2-p)/p^3]=(2-p)/p^2
则Dξ=E(ξ^2)-(Eξ)^2=（2-p)/p^2-(1/p)^2=(1-p)/p^2

你这是二项分布和几何分布的期望和方差，用定义算一下就可以了。

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