请教高等数学中无穷小的性质的证明 高数中的等价无穷小要怎么证明
\u9ad8\u7b49\u6570\u5b66\u4e2d\u6781\u9650\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u6027\u8d28\u662f\u4ec0\u4e48\u5f53\u53d8\u91cf\u65e0\u9650\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u67d0\u4e00\u4e2a\u503c\u6216\u65e0\u7a77\u65f6\uff0c\u5b83\u7684\u6781\u9650\u503c\u4e3a0\uff0c\u8fd9\u4e2a\u91cf\u5c31\u53eb\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf
\u9664\u4e86\u5e38\u65700\u4e00\u5b9a\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u5916\uff0c\u6ca1\u6709\u4e00\u4e2a\u91cf\u662f\u56fa\u5b9a\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u30022x\u672c\u6765\u4e0d\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\uff0c\u4f46\u5f53x\u65e0\u9650\u8d8b\u7b49\u4e8e0\u65f6\uff0c\u5b83\u5c31\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
\u770b\u767e\u5ea6\u767e\u79d1\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf
\u6d1b\u5fc5\u8fbe\u6cd5\u5219\uff0c[ln(1+x)]'=1/(x+1) [e^x-1]'=e^x \u5206\u6bcd\u5bfc\u6570\u90fd\u662f1\uff0c\u90a3\u4e0d\u5c31\u5206\u522b\u53d8\u6210\u4e861/(1+x)\u548ce^x\u5f53x\u21920\u65f6\u7684\u6781\u9650\u3002
lim(x->0) ( 1- cosx) /(x^2/2)
=lim(x->0) 2( 1- cosx) / x^2 (0/0 \u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u5206\u522b\u6c42\u5bfc)
=lim(x->0) 2sinx/(2x)
=1
1- cosx ~ x^2/2
\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
2\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
3\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
4\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6052\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
设 lim [ A(x), x->x0 ] = lim [ B(x), x->x0 ] =0
任给ε >0 (ε <1), 存在 δ>0, 当 0< |x-x0 | < δ 时，恒有 | A(x) | <ε 及 | B(x) |<ε
于是 | A(x) B(x) | <= | A(x)| * | B(x) | < ε ^2 < ε
即证 lim [ A(x) B(x), x->x0 ] = 0
即当 x->x0 时 A(x) B(x) 是无穷小量。
这个好证，因为对任意的无穷小量必定小于1，那么所有的无穷小量的乘积必定小于ε
绛旓細姹傚鍗冲彲 y'=2sin2x-sinx y''=4cos2x-cosx锝3 涓3x²/2鐨勪簩闃跺鐩哥瓑 鍗崇瓑浠3x²/2
绛旓細瀵圭殑銆1/10锛1/100锛1/1000000000锛屽彇鍊掓暟灏卞彲寰鏃犵┓灏忕殑鍊掓暟涓烘棤绌峰ぇ銆傛棤绌峰皬閲忓嵆浠ユ暟0涓烘瀬闄愮殑鍙橀噺锛屾棤闄愭帴杩戜簬0銆傜‘鍒囧湴璇达紝褰撹嚜鍙橀噺x鏃犻檺鎺ヨ繎x0锛堟垨x鐨勭粷瀵瑰兼棤闄愬澶э級鏃讹紝鍑芥暟鍊糵(x)涓0鏃犻檺鎺ヨ繎锛屽嵆f(x)鈫0(鎴杅(x)=0)锛屽垯绉癴(x)涓哄綋x鈫抶0(鎴杧鈫掆垶)鏃剁殑鏃犵┓灏忛噺銆傜壒鍒鎸囧嚭...
绛旓細鎺㈢储鏃犵┓灏姣旇緝鐨勬繁搴︾悊瑙ｏ細瀹氫箟銆佽瘉鏄庝笌搴旂敤 鍦楂樼瓑鏁板鐨涓栫晫閲岋紝鏃犵┓灏忔瘮杈冩槸鐞嗚В鏋侀檺鐞嗚鐨勫叧閿竴鐜傛垜浠粠鍚屾祹澶у鏁欐潗鐨勫畾涔夊嚭鍙戯紝娣卞叆鎺㈣鍏朵腑钑村惈鐨勫ゥ绉橈紝浠ュ強瀹冨湪瀹為檯闂涓殑搴旂敤銆傛棤绌峰皬姣旇緝鐨勫熀纭鏁欐潗涓殑瀹氫箟鍛婅瘔鎴戜滑锛屾棤绌峰皬姣旇緝鐨勬牳蹇冨湪浜庨珮闃朵笌浣庨樁鐨勫垝鍒嗐傜劧鑰岋紝杩欒儗鍚庨殣钘忕潃鏇翠负涓板瘜鐨...
绛旓細a鐨勬牳蹇冪悊蹇垫槸鏃犵┓灏锛屽氨鍍忛偅涓棤绌峰ぇ鐨勭鍙蜂竴鏍凤紝瀹冭〃绀虹殑鏄竴涓娊璞＄殑姒傚康锛屾牴鎹綘鎻愪緵鐨勪緥瀛愶紝f 鏈夋瀬闄愶紝閭ｄ箞f 灏卞繀椤绘帴杩慉锛岄偅涔堟湁澶氫箞鎺ヨ繎A锛 璺濈涓篴銆傚疄闄呭簲鐢ㄨ繃绋嬩腑锛宎鏈韩搴旇鏄悊瑙ｄ负涓涓緢灏忓緢灏忕殑鏁帮紝闈㈠涓嶅悓x鍙栧肩殑鏃跺欙紝鎴戜滑鎵惧埌瀵瑰簲鐨勪竴涓皬閲忥紝浣滀负a鐨勪笂闄愶紝杩欐牱a鐨勫彇鍊兼绘槸鍜寈...
绛旓細闂涓锛楂樼瓑鏁板涓鎵鏈夌瓑浠鏃犵┓灏忕殑鍏紡 褰搙鈫0锛屼笖x鈮0锛屽垯 x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx;x~ln(1+x)~(e^x-1);(1-cosx)~x*x/2;[(1+x)^n-1]~nx;loga(1+x)~x/lna;a鐨剎娆℃柟~xlna;(1+x)鐨1/n娆℃柟~1/nx(n涓烘鏁存暟锛夛紱娉細^ 鏄箻鏂癸紝~鏄瓑浠蜂簬锛岃繖鏄垜鍋氶鐨勬椂鍊...
绛旓細绛旓細1銆侀鍏堬紝铏界劧lim伪(x)=lim尾(x)=0锛屼絾鏄敤尾(x) = o[伪(x)]灏辨槸閿欑殑锛佸洜涓猴紝尾(x)鍜屛(x)鏄惁鏄悓闃鏃犵┓灏灏变笉鐭ラ亾锛屾庝箞鑳界敤鍏朵腑涓涓〃绀哄彟涓涓憿锛熶竾涓锛屛(x)鏄瘮尾(x)楂橀樁鍛紵2銆佸叾娆★紝浣犺嚜宸变篃璇翠簡鏄瓑浠锋棤绌峰皬锛岃屼笉鏄瓑浜庢棤绌峰皬锛岀瓑浠锋棤绌峰皬涔嬮棿鏄滐綖鈥濅笉鏄=鈥...
绛旓細鏍规嵁楂樼瓑鏁板鍜寰Н鍒瀵鏃犵┓灏忕殑瑙勫畾锛氶櫎浜0鍙互鍋氭棤绌峰皬锛屽叾瀹冧换浣曞父鏁帮紝鍗充娇缁濆鍊煎緢灏忛兘涓嶆槸鏃犵┓灏忋傚洜姝鏁板涓鐨勬棤绌峰皬灏辨槸0锛屽叾浠ｆ暟鍜屼粛鐒舵槸0.
绛旓細鏃犵┓澶х鍙封垵锛涘嵆鍖呭惈姝ｆ棤绌峰ぇ锛屼篃鍖呭惈璐熸棤绌峰ぇ銆傛鏃犵┓澶х鍙凤紜鈭烇紱鍙槸姝ｆ棤绌峰ぇ 璐熸棤绌峰ぇ绗﹀彿锛嶁垵锛涘彧鏄礋鏃犵┓澶 涓鑸湴锛屾棤绌峰皬閮芥槸鐢ㄎ憋紝尾锛屛筹紝杩欐牱鐨勭鍙锋潵琛ㄧず鐨勩傝礋鏃犵┓澶э紞鈭濓紝褰撶劧涓嶆槸鏃犵┓灏忥紝瀹冭櫧鐒舵案杩滃皬浜0锛屼絾瀹冪殑鏋侀檺涔熶笉鏄0銆傞鐩腑铏界劧鏈変簡鏃犵┓灏忕殑瀹氫箟锛屼絾娉ㄦ剰鍏朵腑鐨勬瀬闄愮殑瀹氫箟锛...
绛旓細鍏ㄥ井瀹氫箟锛氳z=f(x,y)锛(x,y)鈭圖锛(x0,y0)鈭圖锛岃嫢螖z=A螖x+B螖y+o(蟻)锛屽叾涓=鏍瑰彿涓媅(螖x)²+(螖y)²]锛屽垯绉皕=f(x,y)鍦(x0,y0)澶勫彲鍏ㄥ井锛岀畝绉板彲寰紝璁癆螖x+B螖y=dz锛屼範鎯笂璁癲z=Adx+Bdy銆傛墍浠ユ棰樼瓟妗堟槸閫氳繃鏋勯犲嚭鍏ㄥ井瀹氫箟涓殑褰㈠紡鏉ヨ瘉鏄巉(x,y)鍦(...
