在已知的圆锥内嵌入一个长方体,如何选择其长宽高使得它的体积最大 用拉格朗日函数方法 或者多元函数极 在底半径为r,高为h的正圆锥内,内接一长方形,问长方形的长,...
\u8dea\u6c42 \uff1a\u5728\u5df2\u77e5\u7684\u5706\u9525\u5185\u5d4c\u5165\u4e00\u4e2a\u957f\u65b9\u4f53,\u5982\u4f55\u9009\u62e9\u957f,\u5bbd,\u9ad8,\u4f7f\u5b83\u7684\u4f53\u79ef\u6700\u5927\u3002 \u7528\u62c9\u683c\u6717\u65e5\u51fd\u6570\u600e\u4e48\u505a\uff1f\uff1f\u4e09\u79cd\u65b9\u6cd5\u4e2d\u7684\u91cf\u3002
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\u8fd9\u6837,\u7531\u5bf9\u79f0\u6027,\u77e5\u5176\u5e95\u9762\u4e00\u5b9a\u4e3a\u6b63\u65b9\u5f62,\u8bbe:\u5e95\u9762\u6b63\u65b9\u5f62\u7684\u8fb9\u957f\u4e3aa,\u9ad8\u4e3ab
V=a^2*b
b=(r-ma)*h/r,\u5176\u4e2dm\u4e3a2\u5206\u4e4b\u6839\u53f72,\u4e3a\u4e00\u5b9a\u503c.
\u5373b=h-mha/r=h-na,\u5176\u4e2dn=mh/r,m\u4e3a2\u5206\u4e4b\u6839\u53f72
\u8fd9\u6837V=h*a^2-na^3
\u8fd9\u662f\u4e00\u4e2a\u4e09\u6b21\u66f2\u7ebf,\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3a0<a<tr,t\u4e3a\u6839\u53f72
\u81f3\u4e8e\u5f80\u4e0b\u561b,\u697c\u4e3b\u81ea\u5df1\u4e5f\u8981\u52a8\u624b\u5440~
^设长、宽、高分别为a、b、c,
则:长方体上顶面所接圆锥截面的半径r'=1/2*v(a^2+b^2),
h/r=(h-c)/r'——》c=h(r-r')/r,
V=a*b*c=abh-abh*v(a^2+b^2)/2r,
dV/da=bh[1-(2a^2+b^2)/2rv(a^2+b^2)]=0,
√6a^3/2304。
设长方体长为x,宽为y,高为z
目标函du数f(x,y,z)=xyz
限制条件为g(x,y,z)=2(xy+yz+xz)=a²
即φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0
引入拉格朗日乘子λ,构造拉格朗日函数L(x,y,z)=f(x,y,z)+λφ(x,y,z)=xyz+λ[2(xy+yz+xz)-a²]
则
L'x(x,y,z)=yz+2λ(y+z)=0.(1)
L'y(x,y,z)=xz+2λ(x+z)=0.(2)
L'z(x,y,z)=xy+2λ(x+y)=0.(3)
φ(x,y,z)=2(xy+yz+xz)-a²=0.(4)
扩展资料:
在分析力学里,一个动力系统的拉格朗日量(英语:Lagrangian),又称为拉格朗日函数,是描述整个物理系统的动力状态的函数,对於一般经典物理系统,通常定义为动能减去势能。
在力学系上只有保守力的作用,则力学系及其运动条件就完全可以用拉格朗日函数表示出来。这里说的运动条件是指系统所受的主动力和约束。因此,给定了拉氏函数的明显形式就等于给出了一个确定的力学系。拉氏函数是力学系的特性函数。
参考资料来源:百度百科-拉格朗日函数
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