我国最早提出不定方程问题由什么引起的？ 兰州理工大学 汪训洋老师怎么样
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x²+y²+(z+R-h)²=R²
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1998.9-2002.6\uff0c\u5728\u4e2d\u56fd\u5730\u8d28\u5927\u5b66\u6570\u5b66\u4e0e\u7269\u7406\u7cfb\u5b66\u4e60\uff0c\u4e13\u4e1a\u4e3a\u6570\u5b66\u4e0e\u5e94\u7528\u6570\u5b66\uff0c2002\u5e74\u83b7\u5b66\u58eb\u5b66\u4f4d\uff1b
2003.9-2006.6\uff0c\u5728\u534e\u4e1c\u5e08\u8303\u5927\u5b66\u6570\u5b66\u7cfb\u5e94\u7528\u6570\u5b66\u7cfb\u653b\u8bfb\u7855\u58eb\u5b66\u4f4d\uff0c\u65b9\u5411\u4e3a\u5fae\u5206\u65b9\u7a0b\u7684\u5947\u5f02\u6444\u52a8\u7406\u8bba\uff0c2006\u5e74\u83b7\u7406\u5b66\u7855\u58eb\u5b66\u4f4d\uff0c\u5bfc\u5e08\u4e3a\u502a\u660e\u5eb7\u6559\u6388\uff1b
2012\u5e74\u81f3\u4eca\uff0c\u5728\u5170\u5dde\u7406\u5de5\u5927\u5b66\u7535\u4fe1\u5b66\u9662\u5728\u804c\u653b\u8bfb\u535a\u58eb\u5b66\u4f4d\uff0c\u65b9\u5411\u4e3a\u751f\u7269\u6570\u5b66\u4e2d\u7684\u76f8\u5173\u63a7\u5236\u95ee\u9898\uff0c\u5bfc\u5e08\u4e3a\u970d\u6d77\u5cf0\u6559\u6388\u3002
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我国最早提出不定方程问题，它由“五家共井”引起。古代，没有自来水，几家合用一个水井是常见的事。《九章算术》一书第8章第13题就是“五家共井”问题：
今有五家共井，甲二绠不足，如乙一绠；乙三绠不足，如丙一绠；丙四绠不足，如丁一绠；丁五绠不足，如戊一绠；戊六绠不足，如甲一绠。如各得所不足一绠，皆逮。问井深、绠长各几何！
用水桶到井中取水，当然少不了绳索，“绠”就是指“绳索”。原题的意思是：
五家共用一水井。井深比2条甲家绳长还多1条乙家绳长；比3条乙家绳长还多1条丙家绳长；比4条丙家绳长还多1条丁家绳长；比5条丁家绳长还多1条戊家绳长；比6条戊家绳长还多1条甲家绳长。如果各家都增加所差的另一条取水绳索，刚刚好取水。试问井深、取水绳长各多少？
虽然该问题是虚构的，它是最早的一个不定方程问题。
用现代符号，可设甲、乙、丙、丁、戊各家绳索长分别为x、y、z、u、v；并深为h。根据题意，可得
2x+y=h，
3y+z=h，
4z+u=h，
5u+v=h，
6v+x=h。
这是一个含有6个未知数、5个方程的方程组。未知数的个数多于方程个数的方程（或方程组）叫不定方程。用加减消元法可得
x=265721h，y=191721h，z=148721h，
u=129721h，v=76721h。
给定h不同的数值，就可得到x、y、z、u、v的各个不同的数值。只要再给定一些特定条件，就可得到确定的组解。原书中只给出一组解，是最小正整数解。
我国古代数学家在《九章算术》的基础上，对不定方程作出了辉煌的成绩。“五家共井”问题是后来百鸡术及大衍求一术的先声。
“五家共井”问题，曾引起世界上很多数学家的注视。在西方数学史书中，把最早研究不定方程的功绩归于希腊丢番都。其实，他在公元250年左右才研究这些问题，要比我国迟200多年。
公元6世纪上半期，张丘建在他的《张丘建算经》中有一个百鸡问题：今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏生，值钱一。凡百钱，买鸡百只。问鸡翁、母、雏各几何？
意思是，如果1只公鸡值5个钱；1只母鸡值3个钱；3只小鸡值1个钱。现用100个钱，买了100只鸡。问公鸡、母鸡、小鸡各多少？
设公鸡、母鸡、小鸡分别为x、y、z只，则可得不定方程消去z不难得出
5x+3y+13z=100
x+y+z=100
消去z不难得出
y=7x4
因为y是正整数，所以x必须是4的倍数。
设x＝4t，则y＝25－7t，z＝75＋3t
∵x＞0，∴4t＞0，t＞0；
又∵y＞0，∴25－7t＞0，t＜347
故t＝1，2，3。
∴原方程组有三组答案：
{x＝4，y＝18，z＝78 {x＝8，y＝11，z＝81 {x＝12，y＝4，z＝84
数学史家评论说，一道应用题有多组答案，是数学史上从未见到过的，百鸡问题开了先例。《张丘建算经》中没有给出解法，只说：“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，即得。”意思是：如果少买7只母鸡，就可多买4只公鸡和3只小鸡。因为7只母鸡值钱21，4只公鸡值钱20，两者相差3只小鸡的价格。只要得出一组答案，就可推出其余两组。但这解法怎么来的？书中没有说明。因此，所谓“百鸡术”即百鸡问题的解法就引起人们的极大兴趣。
稍后，甄鸾在《数术记遗》一书中又提出了两个“百鸡问题”，题目意思与原百鸡问题相同，仅数字有所区别。到了宋代，著名数学家杨辉在他的《续古摘奇算法》一书中，也引用了类似的问题：
“钱一百买温柑、绿桔、扁桔共一百枚。只云温柑一枚七文，绿桔一枚三文，扁桔三枚一文。问各买几何？”
到了明清时代，还有人提出了多于三元的“百鸡问题”。不过，各书均与《张丘建算经》一样，没有给出问题的一般解法。
7世纪时，有人对百鸡问题提出另一种解法，但只是数字的凑合。到了清代焦循在他的《加减乘除释》一书中指出其错误。之后，不断有人提出新的解法，但都没有完全得到普遍解决此类题目的通用方法。例如丁取忠在他的《数学拾遗》中给出一个比较简易的解法：先设没有公鸡，用100个钱买母鸡和小鸡共100只，得母鸡25只、小鸡75只。现在少买7只母鸡，多买4只公鸡和3只小鸡，便得第一组答案。同理可推出其余两组。直到19世纪，人们才把这类问题同“大衍求一术”结合起来研究。
百鸡问题是一个历史名题，在世界上有很大影响。国外常见类似的题目。
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