求密度为ρ=(x,y)=x²+y²的椭球体x²÷a²+y²÷b²+z²÷c ≤1 的质量
根据椭球体的密度公式，椭球体的体积可以表示为：V = 4/3 * π * a * b * c
其中，a、b、c是椭球体在三个轴向的半轴长。那么，根据题目给出的椭球体方程 x²÷a²+y²÷b²+z²÷c ≤1，可以得到：
a² = 1
b² = 1
c² = 1
于是，椭球体的体积为：
V = 4/3 * π * 1 * 1 * 1 = 4/3 * π
接下来，我们需要根据密度公式计算质量：
m = ρ * V
由题意可知，密度函数为 ρ=(x,y)=x²+y²，所以：
m = ∫∫∫ ρ(x,y,z) dV
这里的积分区域就是上面得出的椭球体的体积，因此：
m = ∫∫∫ x² + y² dV
现在，我们要做的就是把 dV 表示出来，然后把它代入积分式，进行三重积分。因为椭球体的方程中只和 x、y、z 的平方有关，所以我们可以将积分区域变换为 x²÷1 + y²÷1 + z²÷1 ≤ 1 的球体。这里，我们使用球坐标系进行变换：
x = r * sinθ * cosφ
y = r * sinθ * sinφ
z = r * cosθ
其中，0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ π，0 ≤ φ ≤ 2π。
根据球坐标系的雅可比行列式可得：
dV = r² * sinθ * dr * dθ * dφ
将 dV 代入积分式，得到：
m = ∫₀²π ∫₀ⁿπ ∫₀¹ (r⁴ * sinθ * cos²φ + r⁴ * sinθ * sin²φ) dr dθ dφ
这里，我们可以发现，被积函数是奇函数，而积分区间关于原点对称，所以有：
m = 2 * ∫₀²π ∫₀ⁿπ ∫₀¹ (r⁴ * sinθ) / 2 dr dθ dφ
m = π / 2 * ∫₀ⁱ (r⁵ / 5) |_₀¹ * sinθ dθ
m = π / 5 * [(- cos⁵θ) / 5] from 0 to π
m = (4π / 15)
因此，该椭球体的质量为 4π / 15。
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