矩阵的特征值是什么？
性质
(1)设有N阶矩阵A，那么矩阵A的迹（用
表示）就等于A的特征值的总和，也即矩阵A的主对角线元素的总和。
1.迹是所有主对角元素的和
2.迹是所有特征值的和
3.某些时候也利用tr(AB)=tr(BA)来求迹
4.(2)奇异值分解（Singular value decomposition ）
奇异值分解非常有用，对于矩阵A(p*q)，存在U(p*p)，V(q*q)，B(p*q)（由对角阵与增广行或列组成），满足A = U*B*V
U和V中分别是A的奇异向量，而B是A的奇异值。AA'的特征向量组成U，特征值组成B'B，A'A的特征向量组成V，特征值（与AA'相同）组成BB'。因此，奇异值分解和特征值问题紧密联系。
如果A是复矩阵，B中的奇异值仍然是实数。
SVD提供了一些关于A的信息，例如非零奇异值的数目（B的阶数）和A的阶数相同，一旦阶数确定，那么U的前k列构成了A的列向量空间的正交基。
(3)在数值分析中，由于数值计算误差，测量误差，噪声以及病态矩阵，零奇异值通常显示为很小的数目。
将一个矩阵分解为比较简单或者性质比较熟悉的矩阵之组合，方便讨论和计算。由于矩阵的特征值和特征向量在化矩阵为对角形的问题中占有特殊位置， 因此矩阵的特征值分解。尽管矩阵的特征值具有非常好的性质，但是并不是总能正确地表示矩阵的“大小”。矩阵的奇异值和按奇异值分解是矩阵理论和应用中十分重要的内容，已成为多变量反馈控制系统最重要最基本的分析工具之一，奇异值实际上是复数标量绝对值概念的推广， 表示了反馈控制系统的输出/输入增益，能反映控制系统的特性。《鲁棒控制.倾斜转弯导弹》矩阵的迹，数学、线性代数名词，在线性代数中，一个n×n矩阵A的主对角线（从左上方至右下方的对角线）上各个元素的总和被称为矩阵A的迹（或迹数），一般记作tr(A)。
绛旓細鐭╅樀鐨勭壒寰佸兼槸涓涓噸瑕佺殑鏁板姒傚康锛鎸囩殑鏄娇寰楃煩闃典笌鏌愪釜鍚戦噺鐩镐箻鍚庯紝缁撴灉浠嶇劧涓庤鍚戦噺鍏辩嚎鐨勬爣閲忓銆傚叿浣撶壒寰佸艰绠楁柟寮忓彇鍐充簬鐭╅樀鐨勭被鍨嬪拰瑙勬ā銆傚浜庢柟闃垫潵璇达紝鐗瑰緛鍊兼槸婊¤冻鐗瑰緛鏂圭▼鐨勬爣閲忓笺傝繖浜涘煎浜庣悊瑙ｇ煩闃电殑鎬ц川鍜岃繘琛岀嚎鎬у彉鎹㈠垎鏋愯嚦鍏抽噸瑕併傝缁嗚В閲婂涓嬶細鐭╅樀鐨勭壒寰佸兼槸绾挎т唬鏁颁腑鐨勪竴涓牳蹇冩...
绛旓細鐭╅樀鐨勭壒寰佸肩瓑浜庨嗙煩闃电壒寰佸肩殑鍊掓暟锛屽弽杩囨潵涔熶竴鏍銆傝瘉鏄庯細 璁疚绘槸A鐨勭壒寰佸硷紝伪鏄疉鐨勫睘浜庣壒寰佸嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺鍒橝伪=位伪銆傝嫢A鍙嗭紝鍒櫸烩墵0銆傜瓑寮忎袱杈瑰乏涔楢^-1锛屽緱伪=位A^-1伪銆傛墍浠ユ湁 A^-1伪=锛1/位锛壩辨墍浠 锛1/位锛夋槸A^-1鐨勭壒寰佸硷紝伪鏄疉^-1鐨勫睘浜庣壒寰佸1/位鐨勭壒寰佸悜閲忋傛墍浠...
绛旓細鐭╅樀鐨勭壒寰佸兼槸锛璁続鏄痭闃舵柟闃碉紝濡傛灉瀛樺湪鏁癿鍜岄潪闆秐缁村垪鍚戦噺x锛屼娇寰桝x=mx鎴愮珛锛屽垯绉癿鏄煩闃礎鐨勪竴涓壒寰佸兼垨鏈緛鍊銆傝A鏄痭闃舵柟闃碉紝濡傛灉鏁拔诲拰n缁撮潪闆跺垪鍚戦噺x浣垮叧绯诲紡Ax=位x鎴愮珛锛岄偅涔堣繖鏍风殑鏁拔荤О涓虹煩闃礎鐗瑰緛鍊硷紝闈為浂鍚戦噺x绉颁负A鐨勫搴斾簬鐗瑰緛鍊嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺銆傚紡Ax=位x涔熷彲鍐欐垚锛圓-位E锛...
绛旓細鐭╅樀鐗瑰緛鍊肩殑鎬ц川鏄寚鐭╅樀A鐨勮鍒楀紡鐨勫间负鎵鏈夌壒寰佸肩殑绉紝鐭╅樀A鐨勫瑙掔嚎鍏冪礌鍜岀О涓篈鐨勮抗绛変簬鐗瑰緛鍊肩殑鍜銆傜浉鍏虫蹇碉細鐗瑰緛鍊兼槸绾挎т唬鏁颁腑鐨勪竴涓噸瑕佹蹇碉紝瀹冨箍娉涘簲鐢ㄤ簬鏁板銆佺墿鐞嗐佸寲瀛︺佽绠楁満绛夐鍩燂紝璁続鏄痭闃舵柟闃锛屽鏋滄湁涓涓暟M鍜屼竴涓潪闆剁殑n缁村垪鍚戦噺X锛屼娇寰桝x=mx鎴愮珛锛岄偅涔圡琚О涓篴鐨勭壒寰佸...
绛旓細鐭╅樀鐨勭壒寰佸兼槸涓涓暟瀛︽蹇碉紝瀹冩弿杩扮殑鏄柟闃典笌涓涓暟鐨勪箻绉緱鍒扮殑缁撴灉浠嶄笌杩欎釜鏁版垚姣斾緥鏃惰鏁扮殑鍊銆傚叿浣撹〃鐜颁负褰撶煩闃典笌鏌愪竴闈為浂鍚戦噺鐩镐箻鍚庝粛涓虹嚎鎬х粨鏋勬椂锛岃繖涓悜閲忓搴旂殑鏁板煎嵆涓鸿鐭╅樀鐨勭壒寰佸笺傚彲浠ョ悊瑙ｄ负鐭╅樀瀵逛簬鏌愮鍙樻崲鐨勨滃害閲忊濓紝鎴栬呰鐭╅樀鐨勬煇绉嶇壒鎬у笺傜煩闃电壒寰佸兼槸姹傝В鐭╅樀闂鐨勫叧閿紝甯稿父...
绛旓細鐭╅樀鐗瑰緛鍊兼槸绾挎т唬鏁颁腑闈炲父閲嶈鐨勬蹇碉紝涓鐭╅樀鐨璁稿鎬ц川鍜岄棶棰樺瘑鍒囩浉鍏筹紝鐭╅樀鐗瑰緛鍊兼槸鎸囨弧瓒崇煩闃典箻绉瓑浜庝竴涓潪闆跺父鏁版椂鐨勭壒寰佸悜閲忓搴鐨勭壒寰佸銆傚嵆瀵逛簬涓涓柟闃礎锛屽鏋滃瓨鍦ㄤ竴涓潪闆跺悜閲弜鍜屼竴涓潪闆跺父鏁拔伙紝浣垮緱Ax=位x鎴愮珛锛屽垯绉拔讳负A鐨勭壒寰佸硷紝x涓篈鐨勫搴斾簬鐗瑰緛鍊嘉荤殑鐗瑰緛鍚戦噺銆傜煩闃电壒寰佸兼槸涓涓...
绛旓細鐢辩壒寰佸肩殑鎬ц川鐭ワ細鑻ノ绘槸鐭╅樀A鐨勭壒寰佸硷紝鍒檉锛埼伙級灏辨槸澶氶」寮忕煩闃礷锛圓锛夌殑鐗瑰緛鍊硷紝鎵浠锛漟锛圓锛鐨勭壒寰佸兼槸锛歠锛堬紞1锛夛紝f锛2锛夛紝f锛2锛夊嵆B鐨勭壒寰佸兼槸锛歠锛堬紞1锛夛紳锛堬紞1锛夛季2锛3锛婏紙锛1锛夛紞1锛濓紞3 f锛2锛夛紳2锛2锛3锛2锛1锛9 f锛2锛夛紳9 鍗矪鐨勭壒寰佸兼槸锛氾紞3锛9锛9 璁続涓...
绛旓細璁 A 鏄痭闃舵柟闃碉紝濡傛灉瀛樺湪鏁癿鍜岄潪闆秐缁村垪鍚戦噺 x锛屼娇寰 Ax=mx 鎴愮珛锛屽垯绉 m 鏄疉鐨勪竴涓鐗瑰緛鍊锛坈haracteristic value)鎴鏈緛鍊锛坋igenvalue)銆傞潪闆秐缁村垪鍚戦噺x绉颁负鐭╅樀A鐨勫睘浜庯紙瀵瑰簲浜庯級鐗瑰緛鍊糾鐨勭壒寰鍚戦噺鎴栨湰寰佸悜閲忥紝绠绉癆鐨勭壒寰佸悜閲忔垨A鐨勬湰寰佸悜閲忋
绛旓細A-位E|=0,位鐗瑰緛鍊锛屾槸涓诲瑙掔嚎鍏冪礌鐩稿噺锛岃屽瑙鐭╅樀锛岀壒寰佸煎拰瀵硅绾垮厓绱犵浉绛夛紝姝ｅソ婊¤冻|A-位E|=0 瀵硅鐭╅樀(diagonal matrix)鏄竴涓富瀵硅绾夸箣澶栫殑鍏冪礌鐨嗕负0鐨勭煩闃碉紝甯稿啓涓篸iag锛坅1锛宎2,...,an) 銆傚瑙掔煩闃靛彲浠ヨ涓烘槸鐭╅樀涓渶绠鍗曠殑涓绉嶏紝鍊煎緱涓鎻愮殑鏄細瀵硅绾夸笂鐨勫厓绱犲彲浠ヤ负 0 鎴栧叾浠栧...
绛旓細浠庡畾涔夊嚭鍙戯紝Ax=cx锛欰涓鐭╅樀锛宑涓鐗瑰緛鍊锛寈涓虹壒寰佸悜閲忋傜煩闃礎涔樹互x琛ㄧず锛屽鍚戦噺x杩涜涓娆¤浆鎹紙鏃嬭浆鎴栨媺浼革級锛堟槸涓绉嶇嚎鎬ц浆鎹級锛岃岃杞崲鐨勬晥鏋滀负甯告暟c涔樹互鍚戦噺x锛堝嵆鍙繘琛屾媺浼革級銆傞氬父姹傜壒寰佸煎拰鐗瑰緛鍚戦噺鍗充负姹傚嚭璇ョ煩闃佃兘浣垮摢浜涘悜閲忥紙褰撶劧鏄壒寰佸悜閲忥級鍙彂鐢熸媺浼革紝浣垮叾鍙戠敓鎷変几鐨勭▼搴﹀浣曪紙鐗瑰緛鍊...
