2017.12 为什么sinx-tanx等价于这个？如何求的，请详细点 tanx-sinx的等价无穷小是多少

sinx-tanx\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f

sinx-tanx\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e3ax^3/2\uff0c\u89e3\u7b54\u8fc7\u7a0b\u4e3a\uff1a
\u7531\u6cf0\u52d2\u516c\u5f0f\u53ef\u5f97\uff1a
tanx=x+x^3/3+o(x^3)
sinx=x-x^3/6+o(x^3)
\u5219tanx-sinx=x+x^3/3+o(x^3) -\uff08x-x^3/6+o(x^3)\uff09=x^3/2\u3002
\u6240\u4ee5sinx-tanx\u7684\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u4e3ax^3/2\u3002
\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f\u66ff\u6362\u662f\u8ba1\u7b97\u672a\u5b9a\u578b\u6781\u9650\u7684\u5e38\u7528\u65b9\u6cd5\uff0c\u5b83\u53ef\u4ee5\u4f7f\u6c42\u6781\u9650\u95ee\u9898\u5316\u7e41\u4e3a\u7b80\uff0c\u5316\u96be\u4e3a\u6613\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a

\u65e0\u7a77\u5c0f\u7684\u6027\u8d28\uff1a
1\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u548c\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
2\u3001\u6709\u9650\u4e2a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4ecd\u662f\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
3\u3001\u6709\u754c\u51fd\u6570\u4e0e\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u4e4b\u79ef\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
4\u3001\u7279\u522b\u5730\uff0c\u5e38\u6570\u548c\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u4e58\u79ef\u4e5f\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u3002
5\u3001\u6052\u4e0d\u4e3a\u96f6\u7684\u65e0\u7a77\u5c0f\u91cf\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\u3002
\u5e38\u7528\u7b49\u4ef7\u65e0\u7a77\u5c0f
\u5f53x\u21920\u65f6,
sinx~x
tanx~x
arcsinx~x
arctanx~x
1-cosx~1/2x^2
a^x-1~xlna

\u5177\u4f53\u56de\u7b54\u5982\u4e0b\uff1a
tanx -sinx
=tanx-tanx\u00b7cosx
=tanx(1-cosx)~x\u00b7(x² /2)
=x³/2
\u548c\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
sin ( \u03b1 \u00b1 \u03b2 ) = sin\u03b1 \u00b7 cos\u03b2 \u00b1 cos\u03b1 \u00b7 sin\u03b2
sin ( \u03b1 + \u03b2 + \u03b3 ) = sin\u03b1 \u00b7 cos\u03b2 \u00b7 cos\u03b3 + cos\u03b1 \u00b7 sin\u03b2 \u00b7 cos\u03b3 + cos\u03b1 \u00b7 cos\u03b2 \u00b7 sin\u03b3 - sin\u03b1 \u00b7 sin\u03b2 \u00b7 sin\u03b3
cos ( \u03b1 \u00b1 \u03b2 ) = cos\u03b1 cos\u03b2 ∓ sin\u03b2 sin\u03b1
tan ( \u03b1 \u00b1 \u03b2 ) = ( tan\u03b1 \u00b1 tan\u03b2 ) / ( 1 ∓ tan\u03b1 tan\u03b2 )

楼上朋友的回答是对的，使用泰勒级数将Gsinx-tanx展开，展开式中的最低次项就是－1／2x^3，其它项为更高阶的无穷小，相对于三次项可记为0。当然你也可以用洛必达法则来证明：

简单计算一下，答案如图所示

将两个函数进行泰勒展开即可

左右两边相除然后洛必达法则。

麦克劳林展式取前两项：
sinx ~ x - (x^3)/6

tanx ~ x + (x^3)/3
故 sinx - tanx ~ - (1/2)*x^3

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