三角函数 极限

\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u6709\u6ca1\u6709\u6781\u9650\u5462\uff1f\u80fd\u4e0d\u80fd\u8bf4\u8d8b\u4e8e 0\u65f6\u7684\u6781\u9650\u662f0

\u6781\u9650\u5fc5\u987b\u7ed3\u5408\u51fd\u6570\u6240\u8d8b\u8fd1\u4e8e\u7684\u70b9\u6765\u8bf4\uff0c\u624d\u6709\u610f\u4e49\u3002\u53ea\u80fd\u8bf4\u6b63\u5f26\u51fd\u6570\u548c\u6b63\u5207\u51fd\u6570\u5728x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u6781\u9650\u662f0\u3002\u5982\u679c\u662f\u4f59\u5f26\u51fd\u6570\uff0c\u90a3\u4e48\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u6781\u9650\u662f1\u3002\u4f59\u5207\u51fd\u6570\u5f53x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\uff0c\u6781\u9650\u662f\u65e0\u7a77\u5927\u3002\u4e0d\u540c\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5728x\u8d8b\u8fd1\u4e8e0\u7684\u65f6\u5019\u6781\u9650\u4e0d\u4e00\u6837\u3002
\u4e00\u3001\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\uff1a
1\u3001\u5b9a\u4e49\uff1a
\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u6570\u5b66\u4e2d\u5c5e\u4e8e\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u4e2d\u7684\u8d85\u8d8a\u51fd\u6570\u7684\u4e00\u7c7b\u51fd\u6570\u3002\u5b83\u4eec\u7684\u672c\u8d28\u662f\u4efb\u4f55\u89d2\u7684\u96c6\u5408\u4e0e\u4e00\u4e2a\u6bd4\u503c\u7684\u96c6\u5408\u7684\u53d8\u91cf\u4e4b\u95f4\u7684\u6620\u5c04\u3002\u901a\u5e38\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u662f\u5728\u5e73\u9762\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\u5b9a\u4e49\u7684\u3002\u5176\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3a\u6574\u4e2a\u5b9e\u6570\u57df\u3002
2\u3001\u76f8\u5173\u6982\u5ff5\uff1a
\u2460\u3001\u6b63\u5f26\uff1asine\uff08\u7b80\u5199sin\uff09[sain]\uff0c
\u2461\u3001\u4f59\u5f26\uff1acosine\uff08\u7b80\u5199cos\uff09[kəusain]\uff0c
\u2462\u3001\u6b63\u5207\uff1atangent\uff08\u7b80\u5199tan\uff09['tændʒənt]\uff0c
\u2463\u3001\u4f59\u5207\uff1acotangent\uff08\u7b80\u5199cot\uff09['kəu'tændʒənt]\uff0c
\u2464\u3001\u6b63\u5272\uff1asecant\uff08\u7b80\u5199sec\uff09['si:kənt]\uff0c
\u2465\u3001\u4f59\u5272\uff1acosecant\uff08\u7b80\u5199csc\uff09['kau'si:kənt]\uff0c
\u2466\u3001\u6b63\u77e2\uff1aversine\uff08\u7b80\u5199versin\uff09['və:sain]\uff0c
\u2467\u3001\u4f59\u77e2\uff1acoversed sine\uff08\u7b80\u5199covers\uff09[kəu'və:sə:d][sain]\u3002
3\u3001\u4e09\u89d2\u5173\u7cfb\uff1a
\u2460\u3001\u5012\u6570\u5173\u7cfb\uff1acot\u03b1*tan\u03b1=1\uff0c
\u2461\u3001\u5546\u7684\u5173\u7cfb\uff1asin\u03b1/cos\u03b1=tan\u03b1\uff0c
\u2462\u3001\u5e73\u65b9\u5173\u7cfb\uff1asin²\u03b1+cos²\u03b1=1\u3002
4\u3001\u4e09\u89d2\u89c4\u5f8b\uff1a
\u516d\u4e2a\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u4e5f\u53ef\u4ee5\u4f9d\u636e\u534a\u5f84\u4e3a\u4e00\u4e2d\u5fc3\u4e3a\u539f\u70b9\u7684\u5355\u4f4d\u5706\u6765\u5b9a\u4e49\u3002\u5355\u4f4d\u5706\u5b9a\u4e49\u5728\u5b9e\u9645\u8ba1\u7b97\u4e0a\u6ca1\u6709\u5927\u7684\u4ef7\u503c\uff0c\u5b9e\u9645\u4e0a\u5bf9\u591a\u6570\u89d2\u5b83\u90fd\u4f9d\u8d56\u4e8e\u76f4\u89d2\u4e09\u89d2\u5f62\u3002\u4f46\u662f\u5355\u4f4d\u5706\u5b9a\u4e49\u7684\u786e\u5141\u8bb8\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u5bf9\u6240\u6709\u6b63\u6570\u548c\u8d1f\u6570\u8f90\u89d2\u90fd\u6709\u5b9a\u4e49\uff0c\u800c\u4e0d\u53ea\u662f\u5bf9\u4e8e\u5728 0 \u548c \u03c0/2\u5f27\u5ea6\u4e4b\u95f4\u7684\u89d2\u3002\u5b83\u4e5f\u63d0\u4f9b\u4e86\u4e00\u4e2a\u56fe\u8c61\uff0c\u628a\u6240\u6709\u91cd\u8981\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u90fd\u5305\u542b\u4e86\u3002\u6839\u636e\u52fe\u80a1\u5b9a\u7406\uff0c\u5355\u4f4d\u5706\u7684\u7b49\u5f0f\u662f\uff1ax^2+y^2=1\u3002
5\u3001\u91cd\u8981\u5b9a\u7406\uff1a
\u2460\u3001\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a
\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a\u5728\u25b3ABC\u4e2d\uff0ca / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
\u5176\u4e2d\uff0cR\u4e3a\u25b3ABC\u7684\u5916\u63a5\u5706\u7684\u534a\u5f84\u3002
\u2461\u3001\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a
\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff1a\u5728\u25b3ABC\u4e2d\uff0cb^2 = a^2 + c^2 - 2ac\u00b7cos \u03b8\u3002
\u5176\u4e2d\uff0c\u03b8\u4e3a\u8fb9a\u4e0e\u8fb9c\u7684\u5939\u89d2\u3002

6\u3001\u5e38\u7528\u516c\u5f0f\uff1a
\u2460\u3001\u8bf1\u5bfc\u516c\u5f0f\uff1a
\u516c\u5f0f\u4e00\uff1a\u3000
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u7ec8\u8fb9\u76f8\u540c\u7684\u89d2\u7684\u540c\u4e00\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u7684\u503c\u76f8\u7b49:
sin(\u03b1+k*2\u03c0)=sin\u03b1 \uff08k\u4e3a\u6574\u6570\uff09
cos(\u03b1+k*2\u03c0)=cos\u03b1\uff08k\u4e3a\u6574\u6570\uff09
tan(\u03b1+k*2\u03c0)=tan\u03b1\uff08k\u4e3a\u6574\u6570\uff09
\u516c\u5f0f\u4e8c\uff1a
\u8bbe\u03b1\u4e3a\u4efb\u610f\u89d2\uff0c\u03c0+\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=-sin\u03b1
cos[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=-cos\u03b1
tan[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=tan\u03b1
cot[(2k+1)\u03c0+\u03b1]=cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e09\uff1a
\u4efb\u610f\u89d2\u03b1\u4e0e-\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(2k-\u03b1)=-sin\u03b1
cos(2k-\u03b1)=cos\u03b1
tan(2k-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(2k-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u56db\uff1a
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e8c\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=sin\u03b1
cos[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=-cos\u03b1
tan[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=-tan\u03b1
cot[(2k+1)\u03c0-\u03b1]=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u4e94:
\u5229\u7528\u516c\u5f0f\u4e00\u548c\u516c\u5f0f\u4e09\u53ef\u4ee5\u5f97\u52302\u03c0-\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(2k\u03c0-\u03b1)=-sin\u03b1
cos(2k\u03c0-\u03b1)=cos\u03b1
tan(2k\u03c0-\u03b1)=-tan\u03b1
cot(2k\u03c0-\u03b1)=-cot\u03b1
\u516c\u5f0f\u516d:
\u03c0/2\u00b1\u03b1\u4e0e\u03b1\u7684\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u503c\u4e4b\u95f4\u7684\u5173\u7cfb:
sin(\u03c0/2+\u03b1)=cos\u03b1
cos(\u03c0/2+\u03b1)=-sin\u03b1
tan(\u03c0/2+\u03b1)=-cot\u03b1
cot(\u03c0/2+\u03b1)=-tan\u03b1
sin(\u03c0/2-\u03b1)=cos\u03b1
cos(\u03c0/2-\u03b1)=sin\u03b1
tan(\u03c0/2-\u03b1)=cot\u03b1
cot(\u03c0/2-\u03b1)=tan\u03b1
\u2461\u3001\u548c\u5dee\u89d2\u516c\u5f0f\uff1a
\uff081\uff09\u3001\u4e09\u89d2\u548c\u516c\u5f0f\uff1a
sin\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=sin\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7cos\u03b3+cos\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7cos\u03b3+cos\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7sin\u03b3
cos\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=cos\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7cos\u03b3-cos\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7cos\u03b2\u00b7sin\u03b3-sin\u03b1\u00b7sin\u03b2\u00b7cos\u03b3
tan\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\uff09=\uff08tan\u03b1+tan\u03b2+tan\u03b3-tan\u03b1\u00b7tan\u03b2\u00b7tan\u03b3\uff09/\uff081-tan\u03b1\u00b7tan\u03b2-tan\u03b2\u00b7tan\u03b3-tan\u03b1\u00b7tan\u03b3\uff09
\uff08\u03b1+\u03b2+\u03b3\u2260\u03c0/2+2k\u03c0\uff0c\u03b1\u3001\u03b2\u3001\u03b3\u2260\u03c0/2+2k\u03c0\uff09
\uff082\uff09\u3001\u79ef\u5316\u548c\u5dee\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\uff1a
sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2
cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2
cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2
sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2
\uff083\uff09\u3001\u548c\u5dee\u5316\u79ef\u7684\u56db\u4e2a\u516c\u5f0f\uff1a
sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)
cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)
cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

\u6781\u9650\u9996\u5148\u5e94\u8be5\u8003\u8651\u7684\u662f\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u53d8\u5316\u8fc7\u7a0b\uff0c\u7b2c\u4e8c\uff0c\u8981\u7406\u89e3\u6781\u9650\u65f6\u4e00\u4e2a\u786e\u5b9a\u7684\u5e38\u6570\uff0c\u662f\u4e00\u4e2a\u6570\u3002

\u4e09\u89d2\u51fd\u6570\u516c\u5f0f\uff1a
\u516c\u5f0f\u4e00 \u3001\u516c\u5f0f\u4e8c\uff1a
sin\uff082k\u03c0+\u03b1\uff09=sin \u03b1cos\uff082k\u03c0+\u03b1\uff09=cos \u03b1tan\uff082k\u03c0+\u03b1\uff09=tan \u03b1cot\uff082k\u03c0+\u03b1\uff09=cot \u03b1sec\uff082k\u03c0+\u03b1\uff09=sec \u03b1csc\uff082k\u03c0+\u03b1\uff09=csc \u03b1 sin\uff08\u03c0+\u03b1\uff09=-sin \u03b1cos\uff08\u03c0+\u03b1\uff09=-cos \u03b1tan\uff08\u03c0+\u03b1\uff09=tan \u03b1cot\uff08\u03c0+\u03b1\uff09=cot \u03b1sec\uff08\u03c0+\u03b1\uff09=-sec \u03b1csc\uff08\u03c0+\u03b1\uff09=-csc \u03b1\u3002
\u516c\u5f0f\u4e09\u3001\u516c\u5f0f\u56db\uff1a
sin\uff08-\u03b1\uff09=-sin \u03b1cos\uff08-\u03b1\uff09=cos \u03b1tan\uff08-\u03b1\uff09=-tan \u03b1cot\uff08-\u03b1\uff09=-cot \u03b1sec\uff08-\u03b1\uff09=sec \u03b1csc\uff08-\u03b1\uff09=-csc \u03b1 sin\uff08\u03c0-\u03b1\uff09=sin \u03b1cos\uff08\u03c0-\u03b1\uff09=-cos \u03b1tan\uff08\u03c0-\u03b1\uff09=-tan \u03b1cot\uff08\u03c0-\u03b1\uff09=-cot \u03b1sec\uff08\u03c0-\u03b1\uff09=-sec \u03b1csc\uff08\u03c0-\u03b1\uff09=csc \u03b1\u3002
\u516c\u5f0f\u4e94\u3001\u516c\u5f0f\u516d\uff1a
sin\uff08\u03b1-\u03c0\uff09=-sin \u03b1cos\uff08\u03b1-\u03c0\uff09=-cos \u03b1tan\uff08\u03b1-\u03c0\uff09=tan \u03b1cot\uff08\u03b1-\u03c0\uff09=cot \u03b1sec\uff08\u03b1-\u03c0\uff09=-sec \u03b1csc\uff08\u03b1-\u03c0\uff09=-csc \u03b1 sin\uff082\u03c0-\u03b1\uff09=-sin \u03b1cos\uff082\u03c0-\u03b1\uff09=cos \u03b1tan\uff082\u03c0-\u03b1\uff09=-tan \u03b1cot\uff082\u03c0-\u03b1\uff09=-cot \u03b1sec\uff082\u03c0-\u03b1\uff09=sec \u03b1csc\uff082\u03c0-\u03b1\uff09=-csc \u03b1\u3002

令t=pi-x t->0 则x=pi-t
所以 lim[sinx/(pi-x)] {x->pi}
=lim[sin（pi-t）/t] {t->0}

可以转化为求（pi-t）/t的极限再进行sin计算，则分子分母上下求导化简为：
sin（0-1）/1
=sin（-1） 或 -sin（1）

解:令t=pi-x t->0 则x=pi-t
所以 lim[sinx/(pi-x)] {x->pi}
=lim[sin（pi-t）/t] {t->0}
=lim（sint/t） {t->0}
=1

lim sinx/(π-x ) =lim(sinx)′/（π-x）′=limcosx/(-1)=-limcosx=-1*(-1)=1
x->pi
说明：应用洛比达法则

lim sin(x)/(pi-x)
x->pi

= lim [cos(x)/(-1)]
x->pi

= -cos(pi)

= 1

-sin1

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