对于函数f(x)=x^2-lnx(1)求其单调区间(2)点p是曲线y=x^2-lnx上任意一点,求点P到直线y=x-2的最小距离 讨论函数f(x)=x^2-lnx^2的单调区间,并求极值
\u5224\u65ad\u51fd\u6570f(x)=x^2-lnx\u7684\u5355\u8c03\u6027,\u5e76\u6c42\u51fa\u5355\u8c03\u533a\u95f4f(x)=x^2-lnx
\u5b9a\u4e49\u57df:x>0
f(x)'=2x-1/x
2x-1/x>0
2x^2-1>0
x^2>1/2
x>\u6839\u53f72/2 \u5176\u4e2dx<-\u6839\u53f72/2\u820d\u53bb;
\u6240\u4ee5x>\u6839\u53f72/2 \u4e3a\u589e\u51fd\u6570.
\u5f530<x<\u6839\u53f72/2\u4e3a\u51cf\u51fd\u6570.
\u5b9a\u4e49\u57df\u4e3ax\u22600
f(-x)=f(x),\u56e0\u6b64f(x)\u4e3a\u5076\u51fd\u6570
\u5f53x>0\u65f6\uff0cf(x)=x^2-2lnx, f'(x)=2x-2/x=2(x^2-1)/x, \u5f97\u6781\u5c0f\u503c\u70b9x=1, f(1)=1
\u5f53x>1\u65f6\uff0c\u51fd\u6570\u5355\u8c03\u589e\uff1b\u5f530<x<1\u65f6,\u51fd\u6570\u5355\u8c03\u51cf
\u7531\u5076\u51fd\u6570\u5bf9\u79f0\u6027\uff0c\u5f97\uff1a
\u5355\u8c03\u589e\u533a\u95f4\uff1ax>1, -1<x<0
\u5355\u8c03\u51cf\u533a\u95f4\uff1ax<-1, 0<x<1
\u6781\u5c0f\u503c\u4e3af(1)=f(-1)=1
解：(1) f(x)的定义域为x>0
f′(x)=2x-1/x=(2x²-1)/x=2(x²-1/2)/x=2(x-1/√2)(x+1/√2)/x=2(x-√2/2)(x+√2/2)/x
故当x∈(0，√2/2)时f′(x)<0，即在此区间内单调减；
当x∈(√2/2，+∞)时f′(x)>0，即在此区间里单调增。
(2) 直线y=x-2的斜率k=1，令f′(x)=2x-(1/x)=1，得2x²-x-1=(2x+1)(x-1)=0，故得x=1 (x=-1/2舍去).
此时y=1-ln1=1，即曲线上过P(1，1)的切线平行于直线y=x-2，那么这一点到直线的距离最小，此
最小距离d=︱1-1+2︱/√2=2/√2=√2.
(3).令f(x)=g(x)，即x²-lnx=8x-7lnx-k，得k=-x²+8x-6lnx；
设G(x)=-x²+8x-6lnx，令G′(x)=-2x+8-6/x=(-2x²+8x-6)/x=-2(x²-4x+3)/x=-2(x-1)(x-3)/x=0
得驻点x₁=1，x₂=3，不难判断，x₁=1是极小点；x₂=3是极大点。故minG(x)=G(1)=-1+8=7；
maxG(X)=G(3)=-9+24-6ln3=15-6ln3≈8.40833
又x→0limG(x)=x→0lim(-x²+8x-6lnx)=+∞
x→+∞limG(x)=x→+∞lim(-x²+8x-6lnx)=-∞
故要使f(x)与g(x)两个函数的图像有三个交点，必须 7<k<15-6ln3.这也就是k的取值范围。
注：当k在此范围内时，直线y=k与函数G(x)=-x²+8x-6lnx 一定有三个交点。也就是f(x)与g(x)有三
个交点。
绛旓細f(x)=x^2+x-ln[x+1](1)鑻ュ叧浜巟鐨勬柟绋媐(x)=5x/2+m鍦ㄥ尯闂碵0,2]涓婃伆鏈変袱涓笉鍚岀殑瀹炴暟鏍,姹傚疄鏁癿鐨勫彇鍊艰寖鍥达紱f(x)=x^2+x-ln[x+1]=5x/2+m鍖栫畝寰楋細x^2-3x/2-ln[x+1]-m=0璁癵(x)= x^2-3x/2-ln[x+1]-mg(x)鐨勫畾涔夊煙涓猴細x>-1鐢眊鈥(x)=2x-3/2-1/(x+1)=...
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绛旓細f(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)(x-2)^2/2!+.+fn闃跺掓暟(2)(x-2)^n/n!+o(x^n)=ln2+1/2(x-2)-1/8(x-2)^2+.+(-1)^(n-1)/(n*2^n)*(x-2)^n+o(x^n)
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绛旓細瀹氫箟鍩熶负R f'(x)=1-2x/(1+x^2)=(1+x^2-2x)/(1+x^2)=(x-1)^2/(1+x^2)>=0 鍥犳鍑芥暟鍦≧涓婂崟璋冨銆
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绛旓細2 鈭祌锛坸锛=f锛坸锛+g锛堬紙1+ax锛/ 2 锛夆埓r鈥(x)锛 a/(1+ax) +2x−a=2ax(x−(a^2−2)/2a ) 1+ax (a^2−2)/2a 锛漚/2 鈥1/a鈮2/2-1/2锛1/2 鈭磖锛坸锛夊湪[ 1/2 锛+鈭烇級涓婁负澧鍑芥暟 鈭磖锛坸0锛塵ax=r锛1锛=1-a+ln[(1+a)/2]鎵浠1...
