如何将一个二次型f(x1, x2, x3)对角化？

f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3对应的实对称矩阵为 a=[(0,1,1)t,(1,0,1) t,(1,1,0) t]；

下面将其对角化：

先求a的特征值，由|ke-a|=|(k,-1,-1) t,(-1,k,-1) t,(-1,-1,k) t |=（k-2）*（k+1）^2=0 解得：k=2或k=-1（二重）。 下求方程（ke-a）z=0的解向量 对特征值k=2，（2e-a）z=0解得特征向量z=(1，1，1)t， 单位化α1=(1/√3, 1/√3, 1/√3) t；

对特征值k=-1，（-e-a）z=0解得特征向量z=（1，-1，0）t或（1，0，-1）t， schmidt正交化得 α2=（1/√2,-1/√2,0）t,α3=(1/√6,1/√6,-2/√6) t, 取正交矩阵p=(α1,α2,α3) =[ (1/√3, 1/√3, 1/√3) t, （1/√2,-1/√2,0）t,(1/√6,1/√6,-2/√6) t] ；

则有ptap=diag（2，-1，-1）. 对二次型f(x1,x2,x3)=2x1x2+2x1x3+2x2x3=xtax作正交变换x=py得 f（x）=yt(qtaq)y=2y1^2-y2^2-y3^2. 得到标准型f（y），p为所求正交变换。

正交变换

因为向量的模长与夹角都是用内积定义的，所以正交变换前后一对向量各自的模长和它们的夹角都不变。特别地，标准正交基经正交变换后仍为标准正交基。

正交变换在标准正交基下的矩阵表示为正交矩阵，其所有行和所有列也都各自构成V的一组标准正交基。因为正交矩阵的行列式只可能为+1或−1，故正交变换的行列式为+1或−1。行列式为+1和−1的正交变换分别称为第一类的（对应旋转变换）和第二类的（对应瑕旋转变换）。可见，欧几里得空间中的正交变换只包含旋转、反射及它们的组合（即瑕旋转）。

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