怎么利用取对数的方法求下列幂指函数的极限? 利用取对数的方法求幂指函数的极限
\u9ad8\u6570\u9898\uff0c\u5229\u7528\u53d6\u5bf9\u6570\u7684\u65b9\u6cd5\uff0c\u6c42\u4e0b\u5217\u5e42\u6307\u51fd\u6570\u7684\u6781\u9650\u3002
\u5982\u56fe
lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (\u5e94\u7528\u5bf9\u6570\u6027\u8d28\u53d6\u5bf9\u6570)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (\u5e94\u7528\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u7684\u8fde\u7eed\u6027)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0\u578b\u6781\u9650,\u5e94\u7528\u7f57\u6bd4\u8fbe\u6cd5\u5219)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (\u5e94\u7528\u5bf9\u6570\u6027\u8d28\u53d6\u5bf9\u6570)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (\u5e94\u7528\u521d\u7b49\u51fd\u6570\u7684\u8fde\u7eed\u6027)
=e^{lim(x->0)[(a^xln\u2502a\u2502+b^xln\u2502b\u2502+c^xln\u2502c\u2502)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0\u578b\u6781\u9650,\u5e94\u7528\u7f57\u6bd4\u8fbe\u6cd5\u5219)
=e^[(ln\u2502a\u2502+ln\u2502b\u2502+ln\u2502c\u2502)/(1+1+1)]}
=e^[ln\u2502abc\u2502/3]
=(abc)^(1/3).
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3)。
3]^(1/x]}
(应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]}
(应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->,应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]}
(0/0型极限;(1+0)]
=e^2
lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/0){[(a^x+b^x+c^x)/(e^x+x)]}
(0/0型极限;0)[ln(e^x+x)/x]}
(应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/x]}
(应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->,应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/x)}
=lim(x->3]
=(abc)^(1/0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/
lim(e^x+x)^(1/x) lim [(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)=lime ^xIn(1+1/x^2)=lime^lim1/x=1
In(1+1/x^2)~1/x^2
因为lim ln(e^x+x）^(1/x)=limln(e^x+x）/x ,
limln( e^x+x)~ln(1+x+x)=limln（1+2x）=2x，
则limln(e^x+x）^(1/x)=2，则原式子=e^2
2.
因为 ln(sin1/x+cos1/x）^(x)=ln(sin1/x+cos1/x）/(1/x)
x →∞, 则1/x→∞
则limln(sin1/x+cos1/x）=limln(sin1/x+1）=sin1/x
limln(sin1/x+cos1/x）^(x)=limsin1/x/(1/x)=1
则原式子=e
3, limln(cos2x）^(3/x^2)=lim3ln(1-2sin^2x)/x^2=lim3(-2sin^2x)/x^2
=-6lim(sinx)^2/x^2
=-6
则原式子=e^(-6)
解：lim(x->0)[(e^x+x)^(1/x)]
=lim(x->0){e^[ln(e^x+x)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[ln(e^x+x)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(e^x+1)/(e^x+x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(1+1)/(1+0)]
=e^2
lim(x->0){[(a^x+b^x+c^x)/3]^(1/x)}
=lim(x->0){e^[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用对数性质取对数)
=e^{lim(x->0)[(ln(a^x+b^x+c^x)-ln3)/x]} (应用初等函数的连续性)
=e^{lim(x->0)[(a^xln│a│+b^xln│b│+c^xln│c│)/(a^x+b^x+c^x)]} (0/0型极限，应用罗比达法则)
=e^[(ln│a│+ln│b│+ln│c│)/(1+1+1)]}
=e^[ln│abc│/3]
=(abc)^(1/3)。
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