开刷：《信号与系统》 Lec #16 采样和混叠

课本是电子工业出版社出版的奥本海姆《信号与系统》第二版，刘树棠译。

视频课可以在网易公开课看到，搜索MIT的信号与系统，老师就是课本的作者。

p.331 - p.336

p.339 - p.343

在一定的条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本（sample）来表示，并且可以用这些样本值把该信号全部恢复出来。

这个条件就是 采样定理 ：

设 是一个带限信号，在 时， 。如果 ，其中 为采样频率， ，那么 就唯一地由其样本 确定。

已知这些样本值，我们能用如下办法重建 ：产生一个周期冲激串，其冲激幅度就是这些依次而来的样本值；然后将该冲激串通过一个增益为 截止频率大于 而小于 的理想低通滤波器，该滤波器的输出就是 。

讲冲激串采样主要是为了解释采样定理。

冲激串采样就是用一个周期冲激串 去乘待采样的连续时间信号 ，具体如下图所示。该周期冲激串被称为采样函数（sampling function），周期 被称为采样周期（sampling period），而 的基波频率 被称为采样频率（sampling frequency）。

在时域中，

根据我们之前第一章学习到的单位冲激函数的采样性质，即 ，那么 可以写作，

根据傅里叶变换的相乘性质，有，

现在回忆第四章我们所学的周期冲激函数的傅里叶变换还是一个周期冲激，即

所以可以得到 的傅里叶变换，

这就是说， 是 的周期函数，它由一组移位 的叠加组成，但在幅度上有 的变化，如下图所示。

上图中(c)和(d)分别表示了两种不同的情况。

在图(c)中， ，也就是说移位复制的 是没有重叠的，那么就可以利用一个理想低通滤波器把 从 中恢复出来。注意 可以推导出 ，这就是采样定理，其中 是采样频率， 是被采样信号的最大频率，同时 也被称为 奈奎斯特频率 ，2倍的奈奎斯特频率 被称为 奈奎斯特率 。

而在图(d)中， ，也即 ，这就导致了 在复制过程中产生了重叠，这样就无法把 从 中恢复出来，这就是所谓的 混叠(Aliasing) 。

我们先不考虑混叠，即我们假设 ，那么利用下图所示的过程就可以把被采样的信号恢复出来了。

在下一篇笔记中(Lec #17)我们可以从时域中看到理想低通滤波器是如何恢复被采样信号的，简单讲这是一个插值的过程。

我们把这一小节放到下一篇笔记中(Lec #17)中写，这样就和视频课程内容保持一致了。

我们接着来看混叠现象。混叠产生的原因就是 ，即 中存在重叠，如果用一个低通滤波器去处理有混叠存在的 ，那么滤波器的输出中就会有不希望有的高频部分。而且越高频的部分就会以越低频的表现存在于低通滤波器的输出中，从图：冲激串采样的频谱图(d)中可以看出，混叠就是相当于把高频分量以低通滤波器的截止频率为轴折叠进了通带内。

更具体的说明混叠现象，可以参考下图。图(a)为 的傅里叶变换，分别在 和 各有一个幅度为 的分量，用实线表示正频率的分量，虚线表示负频率分量。 为采样频率，低通滤波器的截止频率为 。我们通过改变输入信号的频率 来学习混叠。

当 时，如图(b)和(c)所示，虚线所表示的低通滤波器可以把 从 中恢复出来。

当 时，如图(d)和(e)所示，虚线内的频谱分量已经不是 复制在 处 的分量，而是复制在 处的正频率分量 和复制在 处的负频率分量 。随着输入信号频率 的继续增加，低通滤波器的输出频率愈发减小。这就是混叠。

从时域中观察混叠现象如下图所示。

可以看到当有混叠发生时，复原出来的信号或者说低通滤波器的输出信号是与原始信号不相同的，而且原始信号的频率越高，复原出来的信号的频率越低。

这里为混叠也要说点好话，混叠并不全是坏的，有很多技术就是利用了混叠的特点。比如说频闪仪和取样示波器，可以在不方便观察高频信号时，利用混叠，将不易观察的高频信号折叠进低频进行观察。