统计方面 最小二乘法a b是怎么算出来的？ 急急急急急～～～～～～～～～～～～ 怎么用excel最小二乘法计算乘幂回归的a，b值？？？急求
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最小二乘法公式∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平
∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2
最小二乘法原理
用各个离差的平方和M=∑(i=1到n)[yi-(axi+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小。解方程组?M/?a=0；?M/?b=0，整理得(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑xiyi；(∑xi)a+nb=∑yi。解出a,b。
我们研究两个变量(x, y)之间的相互关系时，通常可以得到一系列成对的数据(x1, y1、x2, y2... xm , ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中, 若发现这些点在一条直线附近，可以令这条直线方程如(式1-1)。
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1，应用《最小二乘法原理》，将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化数据”。
令: φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时，可用函数 φ 对a0、a1求偏导数，令这两个偏导数等于零。
(式1-4)
(式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi, Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组，解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中, 此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型。
在回归过程中，回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1, y1、 x2, y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”，统计量“F”，剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好。
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中，m为样本容量，即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值。
最小二乘法拟合
对给定数据点{(Xi，Yi)}(i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ 中,求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E^2最小，E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2。从几何意义上讲，就是寻求与给定点 {(Xi，Yi)}(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x)。函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解，求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
最小二乘法的矩阵形式
Ax=b, 其中A为nxk的矩阵，x为kx1的列向量，b为nx1的列向量，n>k。这个方程系统称为Over Determined System，如果n<k，这个系统就是Under Determined System。
正常来看，这个方程是没有解的，但在数值计算领域，我们通常是计算 min ||Ax-b||，解出其中的x。比较直观的做法是求解A'Ax=A'b，但通常比较低效。其中一种常见的解法是对A进行QR分解（A=QR），其中Q是nxk正交矩阵（Orthonormal Matrix），R是kxk上三角矩阵（Upper Triangular Matrix），然后min ||Ax-b|| = min ||QRx-b|| = min ||Rx-Q'b||，用MATLAB命令x=R\(Q'*b)可解得x。
最小二乘法的Matlab实现
① 一次函数 使用polyfit（x,y,1）
②多项式函数 使用 polyfit（x,y,n），n为次数
拟合曲线
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]，
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。
解：MATLAB程序如下：
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
计算结果为：
p =0.5614 0.8287 1.1560
即所得多项式为y=0.5614x^2+0.08287x+1.15560
③非线性函数 使用 lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
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