5-14完全平方数
完全平方数就是: 两个相同的数相乘的数。完全平方数的表示
A是完全平方数,通常用a的平方来表示。在学习了字母代替数字以后,就开始习惯这种表示方法。
100以内的完全平方数
400以内的完全平方数
常用要记住的还有:21×21=441 24×24=576 25×25=625
一、完全平方数的特点
10000以内的完全平方数
观察发现,看看能找到哪些特征?这些特征从哪里来?
带着这个问题,我们向后学习。。。。
例题1 ☆☆ 一个班级的同学做早操,人数正好能排成行数和列数都相等的方阵。冬天最冷的时候,老师让同学们5人一组去踢毽子。班长分完小组以后,对老师说“5人一组,多出来两个人。”,老师马上说:“你一定是分错了。”。 聪明的同学,你知道老师这样说的根据吗?
例题一图形提示
例题2 ☆☆☆ 我们知道11×11=121, 111×111=12321, 1111×1111=1234321,....结果都是完全平方数。那么121+12321+1234321+.... +12345678987654321 的结果是不是完全平方数呢?
思考提示
余数规律的发现:
余数规律的探索
例题3 ☆☆☆ 1×1+2×2+3×3+……+2001×2001+2002×2002 除以 3 的余数是多少?
例题4 ☆☆☆ 形如11,111,1111,11111,……的数字中有没有完全平方数?
二、完全平方数的质因数
完全平方数都可以分解为成对出现的质因数。
12×12=3×2×2 × 3×2×2 分解成质因数的偶数次方。
例题5 ☆☆☆ 一个数与270的积是完全平方数,那么这个数最小是多少?
270 = 27×10
= 3×3×3×2×5 根据质因数成对出现的特点,用最小的质因数补齐就是正确答案。
例题6 ☆☆☆☆ 已知自然数 n 满足: 12!除以 n 得到一个完全平方数,则 n 的最小值是?
和补齐乘法算式得到完全平方数的原理是一样的。这里抵消掉落单的质因数就可以了。
例题7 ☆☆☆ 一个房间里有100盏灯,用自然数1,2,3,……,100编号,每盏灯各有一个开关。开始时,所有的灯都不亮有100个人,依次进入房间,第1个人进入房间以后,将编号为1的倍数的灯开关按一下,然后离开;第二个人进入房间后,将编号位2的倍数的灯的开关按一下,然后离开;如此下去,直到第100个人进入房间,将编号为100的倍数的灯的开关按一下,然后离开。请问:第100个人离开房间以后,房间的灯有哪些是亮的。
三、平方差公式
通过做题 总结知识
例题1 ☆☆
根据题意全班人数是一个完全平方数,
那么人数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9。
除以5的余数只能是1或者4,
所以老师说班长算错了。
例题2 ☆☆☆
注意算式的项数,2个1到9个1,一共是8个数字。8个末位为1的数字,和末位一定是8,这不符合完全平方数的末位数规律,必然不是完全平方数。
例题3 ☆☆☆
完全平方数除以3余数是有规律出现的。每3个数为1组。
2002÷3=667(组)……1
(2×667+1)÷3 = 445 ……0
例题4 ☆☆☆ 形如11,111,1111,
完全平方数除以4只能余0或者1。 那么这些数字里末尾两位没有能被4整除的数,因此没有完全平方数。
例题5 ☆☆☆ 一个数与270的积是完全平方数,那么这个数最小是多少?
A × 270 = 完全平方数
270 = 270×10
= 3×3×3×2×5
A = 3×2×5
= 30
例题6 ☆☆☆☆ 已知自然数 n 满足: 12!除以 n 得到一个完全平方数,则 n 的最小值是?
和补齐乘法算式得到完全平方数的原理是一样的。这里抵消掉落单的质因数就可以了。
例题7 ☆☆☆ 一个房间里有100盏灯,用自
完全平方数的因数分别是1 和平方根和它自己。这样开关就被按动了奇数次。所以编号为100以内的完全平方数的灯最终是亮的。
总结笔记
末位数字的规律:
末位数字只有 0,1,4,5,6,9
末位为0时,0是成对出现的。
个位为奇数,十位必然为偶数
个位为6,十位必然为奇数
余数规律:
除以3的余数只有 1或者0
除以4的余数只有 1或者0
除以5的余数只有 0,1,4
能被3整除的也能被9整除
思考一下除以6 7 8 9的余数是多少
出现的规律:
两个连续自然数的平方之间不再有完全平方数
约数和因数规律
因数的个数一定是奇数。
约数个数等于指数+1连乘
质因数成对出现,可以分解成质因数的偶次方的形式。
练习部分
1、自然数1-10012中有( )个完全平方数?
2、15?2, 2??8, ? ?10, 19?6,这四个数字中,?代表不能辨别的数码,其中有完全 平方数,这些完全平方数是 ( )
3、在 2×3,3×4,……,99×100中,( )完全平方数。
4、在 1 到 2011 之间的自然数中,恰有奇数个约数的数有( )个。
5、是否存在自然数a,b,使3ab41×6是完全平方数?
6、66,666,……,66666666666666666,这串数字中是否有完全平方数?
7、下面算式:1!+2!+3!……,10!的得数是否是完全平方数?
8、2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数,则a最小为 ( )
9、祖孙三人,孙子和爷爷年龄的乘积是1512,三人年龄的积是完全平方数,则父亲的年龄是
10、两个两位数,差为56,他们的平方数末两位数相同,这两个两位数分别是( )
11、用60个5和若干个零组成的数字是否是完全平方数?
12、已知ab2ba是一个完全平方数,a是最大的一位数,求这个数字?
13、从1到1000的所有自然数里,有多少个数乘以54后,是完全平方数?
14、如果三个连续正整数,中间一个是平方数,将这样的三个正整数的乘积叫做“幸运数”,所有小于等于2011的幸运数的最小公倍数是多少?
练习讲解
1、自然数1-10012中有(100)个完全平方数?
101×101=10201 超出了范围,所以10012里面有1-100这100个完全平方数。
2、15?2, 2??8, ? ?10, 19?6,这四个数字中,?代表不能辨别的数码,其中有完全 平方数,这些完全平方数是 (1936)
根据末位数的规律,19?6有可能是的。试算40--50之间末位为4or6的数字。 44×44=
3、在 2×3,3×4,……,99×100中,(无)完全平方数。
4、在 1 到 2011 之间的自然数中,恰有奇数个约数的数有(44)个。
45×45=2025
5、是否存在自然数a,b,使3ab41×6是完全平方数? 无
根据末位数规律,如果是6,十位就必须是个奇数
6、66,666,……,66666666666666666,这串数字中是否有完全平方数? 无 同上题
7、下面算式:1!+2!+3!……,10!的得数是否是完全平方数?
不是 根据末位数由各位乘积决定的规律,把末位数相加,末位为3。
8、2000乘以非零自然数a得到一个完全平方数,则a最小为 (5)
分解2000为 5·5·5·2·2·2·2 补一个5 满足了成对出现的要求
9、祖孙三人,孙子和爷爷年龄的乘积是1512,三人年龄的积是完全平方数,则父亲的年龄是
分解1512为 2×2×2×3×3×3×7 需要补齐 2×3×7 所以父亲的年龄42岁。
10、两个两位数,差为56,他们的平方数末两位数相同,这两个两位数分别是(78、22)
设大数为x,小数为y
x-y=56
x·x-y·y= m100
(x+y)(x-y)=m100
56(x+y)=m100
x+y=100 x-y=56
x=78
11、用60个5和若干个零组成的数字是否是完全平方数? 不是 因为不能被9整除
12、已知ab2ba是一个完全平方数,a是最大的一位数,求这个数字?
a=9 则 整个数是 9b2b9 300往上,末位为7的数字枚举 307×307= 94294
13、从1到1000的所有自然数里,有多少个数乘以54后,是完全平方数?
这个数字拿出一部分质因数和54配对成完全平方数以后,自己仍是完全平方数才行
54分解成 2 3 3 3 ,需要拿出6,剩下的还是完全平方数。 1000÷6=166……4
13×13是 169 不符合 那就剩下1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 这个几个了
借助电脑处理数据
14、如果三个连续正整数,中间一个是平方数,将这样的三个正整数的乘积叫做“幸运数”,所有小于等于2011的幸运数的最小公倍数是多少?
用电脑做的测算
完全平方数专题在不断完善当中。
绛旓細100浠ュ唴鐨骞虫柟鏁琛細1^2=1 2^2=4 3^2=9 4^2=16 5^2=25 6^2=36 7^2=49 8^2=64 9^2=81 10^2=100 11^2=121 12^2=144 13^2=169 14^2=196 15^2=225 16^2=256 17^2=289 18^2=324 19^2=361 20^2=400 21^2=441 22^2=484 23^2=529 24^2=576 25^2=625 ...
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绛旓細1脳1=1锛2脳2=4锛3脳3=9锛4脳4=16锛5脳5=25锛6脳6=36锛7脳7=49锛8脳8=64锛9脳9=81锛10脳10=100锛11脳11=121锛12脳12=144锛13脳13=169锛14脳14=196锛15脳15=225锛16脳16=256锛17脳17=289锛18脳18=324锛19脳19=361锛20脳20=400锛21脳21=441锛22脳22=484锛23脳23=529...