∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx,用分部积分法计算该定积分 ∫(上限1,下限0)xarctanxdx，用分部积分法计算该...
\u222b(\u4e0a\u96501,\u4e0b\u96500)ln(x+1)dx,\u7528\u5206\u90e8\u79ef\u5206\u6cd5\u8ba1\u7b97\u8be5\u5b9a\u79ef\u5206\u222b(\u4e0a\u96501,\u4e0b\u96500)ln(x+1)dx=2ln2-1\u3002
\u89e3\u7b54\u8fc7\u7a0b\u5982\u4e0b\uff1a
\u222bln(x+1)dx
=xln(x+1)-\u222bxd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-\u222b[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-\u222b[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-\u222bdx+\u222b[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C\uff08C\u4e3a\u79ef\u5206\u5e38\u6570\uff09
\u4ee3\u5165\u4e0a\u4e0b\u9650
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u5206\u90e8\u79ef\u5206\uff1a
(uv)'=u'v+uv'\uff0c\u5f97\uff1au'v=(uv)'-uv'\u3002
\u4e24\u8fb9\u79ef\u5206\u5f97\uff1a\u222b
u'v
dx=\u222b
(uv)'
dx
-
\u222b
uv'
dx\u3002
\u5373\uff1a\u222b
u'v
dx
=
uv
-
\u222b
uv'
d,\u8fd9\u5c31\u662f\u5206\u90e8\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\u3002
\u4e5f\u53ef\u7b80\u5199\u4e3a\uff1a\u222b
v
du
=
uv
-
\u222b
u
dv\u3002
\u5e38\u7528\u79ef\u5206\u516c\u5f0f\uff1a
1\uff09\u222b0dx=c
2\uff09\u222bx^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3\uff09\u222b1/xdx=ln|x|+c
4\uff09\u222ba^xdx=(a^x)/lna+c
5\uff09\u222be^xdx=e^x+c
6\uff09\u222bsinxdx=-cosx+c
7\uff09\u222bcosxdx=sinx+c
8\uff09\u222b1/(cosx)^2dx=tanx+c
9\uff09\u222b1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10\uff09\u222b1/\u221a\uff081-x^2)
dx=arcsinx+c
11\uff09\u222b1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12\uff09\u222b1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
\u628ax\u5148\u51d1\u6210x^2/2\u8fd0\u7528\u5206\u5e03\u79ef\u5206\uff0c\u4e4b\u540e\u7684\u5f62\u5f0f\u4f60\u5c31\u80fd\u770b\u51fa\u6765\u600e\u4e48\u505a\u4e86
∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。
解答过程如下：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C（C为积分常数）
代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
扩展资料：
根据牛顿-莱布尼茨公式，很多函数的定积分的计算方法可以简单的通过求不定积分来处理。这里要注意不定积分与定积分之间的关系：定积分是一个数，而不定积分是一个表达式，它们仅仅是数学上有一个计算关系。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分，也可以存在定积分，而没有不定积分。连续函数，一定存在定积分和不定积分。
若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
∫(上限1,下限0)ln(x+1)dx=2ln2-1。
解答过程如下：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C（C为积分常数）
代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
扩展资料：
分部积分：
(uv)'=u'v+uv'，得：u'v=(uv)'-uv'。
两边积分得：∫ u'v dx=∫ (uv)' dx - ∫ uv' dx。
即：∫ u'v dx = uv - ∫ uv' d,这就是分部积分公式。
也可简写为：∫ v du = uv - ∫ u dv。
常用积分公式：
1）∫0dx=c
2）∫x^udx=(x^(u+1))/(u+1)+c
3）∫1/xdx=ln|x|+c
4）∫a^xdx=(a^x)/lna+c
5）∫e^xdx=e^x+c
6）∫sinxdx=-cosx+c
7）∫cosxdx=sinx+c
8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c
9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c
10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c
11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c
12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c
分部积分法：
∫ln(x+1)dx
=xln(x+1)-∫xd[ln(x+1)]
=xln(x+1)-∫[x/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫[1-1/(x+1)]dx
=xln(x+1)-∫dx+∫[1/(x+1)]d(x+1)
=xln(x+1)-x+ln(x+1)+C
代入上下限
=ln2-1+ln2
=2ln2-1
见图片。
∫ln(x+√(1+x^2))dx=xln(x+√(1+x^2))-∫xdln(x+√(1+x^2)
=xln(x+√(1+x^2)-√(1+x^2)+C
∫[0,1]ln(x+√(1+x^2)dx=ln(1+√2)-√2+1
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