高中以上知识，最小二乘法的公式ab怎么算？？？在线等 统计方面 最小二乘法a b是怎么算出来的？ 急急急急急～～～...
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u8ba1\u7b97\u516c\u5f0f\u662f\uff1f\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f\u4e3aa\uff1dy\uff08\u5e73\u5747\uff09\uff0db\uff0ax\uff08\u5e73\u5747\uff09\u3002
\u5728\u7814\u7a76\u4e24\u4e2a\u53d8\u91cf\uff08x\uff0cy\uff09\u4e4b\u95f4\u7684\u76f8\u4e92\u5173\u7cfb\u65f6\uff0c\u901a\u5e38\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u4e00\u7cfb\u5217\u6210\u5bf9\u7684\u6570\u636e\uff08x1\uff0cy1\uff09\uff0c\uff08x2\uff0cy2\uff09...\uff08xm\uff0cym\uff09\uff1b\u5c06\u8fd9\u4e9b\u6570\u636e\u63cf\u7ed8\u5728x\uff0dy\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d\uff0c\u82e5\u53d1\u73b0\u8fd9\u4e9b\u70b9\u5728\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\u9644\u8fd1\uff0c\u53ef\u4ee5\u4ee4\u8fd9\u6761\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u5982a\uff1dy\uff08\u5e73\u5747\uff09\uff0db\uff0ax\uff08\u5e73\u5747\uff09\u3002\u5176\u4e2d\uff1aa\u3001b\u662f\u4efb\u610f\u5b9e\u6570\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\uff1a
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u901a\u8fc7\u6700\u5c0f\u5316\u8bef\u5dee\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u5bfb\u627e\u6570\u636e\u7684\u6700\u4f73\u51fd\u6570\u5339\u914d\u3002\u5229\u7528\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u53ef\u4ee5\u7b80\u4fbf\u5730\u6c42\u5f97\u672a\u77e5\u7684\u6570\u636e\uff0c\u5e76\u4f7f\u5f97\u8fd9\u4e9b\u6c42\u5f97\u7684\u6570\u636e\u4e0e\u5b9e\u9645\u6570\u636e\u4e4b\u95f4\u8bef\u5dee\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u4e3a\u6700\u5c0f\u3002\u8fd8\u53ef\u7528\u4e8e\u66f2\u7ebf\u62df\u5408\uff0c\u5176\u4ed6\u4e00\u4e9b\u4f18\u5316\u95ee\u9898\u4e5f\u53ef\u901a\u8fc7\u6700\u5c0f\u5316\u80fd\u91cf\u6216\u6700\u5927\u5316\u71b5\u7528\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u6765\u8868\u8fbe\u3002
\u6839\u636e\u6837\u672c\u6570\u636e\uff0c\u91c7\u7528\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u4f30\u8ba1\u5f0f\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u7b80\u5355\u7ebf\u6027\u56de\u5f52\u6a21\u578b\u53c2\u6570\u7684\u4f30\u8ba1\u91cf\u3002\u4f46\u662f\u4f30\u8ba1\u91cf\u53c2\u6570\u4e0e\u603b\u4f53\u771f\u5b9e\u53c2\u6570\u7684\u63a5\u8fd1\u7a0b\u5ea6\u5982\u4f55\uff0c\u662f\u5426\u5b58\u5728\u66f4\u597d\u7684\u5176\u5b83\u4f30\u8ba1\u5f0f\uff0c\u8fd9\u5c31\u6d89\u53ca\u5230\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u4f30\u8ba1\u5f0f\u6216\u4f30\u8ba1\u91cf\u7684\u6700\u5c0f\u65b9\u5dee\uff08\u6216\u6700\u4f73\uff09\u6027\u3001\u7ebf\u6027\u53ca\u65e0\u504f\u6027\u3002
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f
\u2211(X--X\u5e73)(Y--Y\u5e73)=\u2211(XY--X\u5e73Y--XY\u5e73+X\u5e73Y\u5e73)=\u2211XY--X\u5e73\u2211Y--Y\u5e73\u2211X+nX\u5e73Y\u5e73=\u2211XY--nX\u5e73Y\u5e73--nX\u5e73Y\u5e73+nX\u5e73Y\u5e73=\u2211XY--nX\u5e73Y\u5e73
\u2211(X --X\u5e73)^2=\u2211(X^2--2XX\u5e73+X\u5e73^2)=\u2211X^2--2nX\u5e73^2+nX\u5e73^2=\u2211X^2--nX\u5e73^2
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u539f\u7406
\u7528\u5404\u4e2a\u79bb\u5dee\u7684\u5e73\u65b9\u548cM=\u2211(i=1\u5230n)[yi-(axi+b)]^2\u6700\u5c0f\u6765\u4fdd\u8bc1\u6bcf\u4e2a\u79bb\u5dee\u7684\u7edd\u5bf9\u503c\u90fd\u5f88\u5c0f\u3002\u89e3\u65b9\u7a0b\u7ec4?M/?a=0\uff1b?M/?b=0\uff0c\u6574\u7406\u5f97(\u2211xi^2)a+(\u2211xi)b=\u2211xiyi\uff1b(\u2211xi)a+nb=\u2211yi\u3002\u89e3\u51faa,b\u3002
\u6211\u4eec\u7814\u7a76\u4e24\u4e2a\u53d8\u91cf(x, y)\u4e4b\u95f4\u7684\u76f8\u4e92\u5173\u7cfb\u65f6\uff0c\u901a\u5e38\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230\u4e00\u7cfb\u5217\u6210\u5bf9\u7684\u6570\u636e(x1, y1\u3001x2, y2... xm , ym)\uff1b\u5c06\u8fd9\u4e9b\u6570\u636e\u63cf\u7ed8\u5728x -y\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\u4e2d, \u82e5\u53d1\u73b0\u8fd9\u4e9b\u70b9\u5728\u4e00\u6761\u76f4\u7ebf\u9644\u8fd1\uff0c\u53ef\u4ee5\u4ee4\u8fd9\u6761\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u5982(\u5f0f1-1)\u3002
Y\u8ba1= a0 + a1 X (\u5f0f1-1)
\u5176\u4e2d\uff1aa0\u3001a1 \u662f\u4efb\u610f\u5b9e\u6570
\u4e3a\u5efa\u7acb\u8fd9\u76f4\u7ebf\u65b9\u7a0b\u5c31\u8981\u786e\u5b9aa0\u548ca1\uff0c\u5e94\u7528\u300a\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u539f\u7406\u300b\uff0c\u5c06\u5b9e\u6d4b\u503cYi\u4e0e\u5229\u7528(\u5f0f1-1)\u8ba1\u7b97\u503c(Y\u8ba1=a0+a1X)\u7684\u79bb\u5dee(Yi-Y\u8ba1)\u7684\u5e73\u65b9\u548c\u3014\u2211(Yi - Y\u8ba1)2\u3015\u6700\u5c0f\u4e3a\u201c\u4f18\u5316\u6570\u636e\u201d\u3002
\u4ee4: \u03c6 = \u2211(Yi - Y\u8ba1)2 (\u5f0f1-2)
\u628a(\u5f0f1-1)\u4ee3\u5165(\u5f0f1-2)\u4e2d\u5f97:
\u03c6 = \u2211(Yi - a0 - a1 Xi)2 (\u5f0f1-3)
\u5f53\u2211(Yi-Y\u8ba1)\u5e73\u65b9\u6700\u5c0f\u65f6\uff0c\u53ef\u7528\u51fd\u6570 \u03c6 \u5bf9a0\u3001a1\u6c42\u504f\u5bfc\u6570\uff0c\u4ee4\u8fd9\u4e24\u4e2a\u504f\u5bfc\u6570\u7b49\u4e8e\u96f6\u3002
(\u5f0f1-4)
(\u5f0f1-5)
\u4ea6\u5373\uff1a
m a0 + (\u2211Xi ) a1 = \u2211Yi (\u5f0f1-6)
(\u2211Xi ) a0 + (\u2211Xi2 ) a1 = \u2211(Xi, Yi) (\u5f0f1-7)
\u5f97\u5230\u7684\u4e24\u4e2a\u5173\u4e8ea0\u3001 a1\u4e3a\u672a\u77e5\u6570\u7684\u4e24\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7ec4\uff0c\u89e3\u8fd9\u4e24\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7ec4\u5f97\u51fa\uff1a
a0 = (\u2211Yi) / m - a1(\u2211Xi) / m (\u5f0f1-8)
a1 = [n\u2211Xi Yi - (\u2211Xi \u2211Yi)] / [n\u2211Xi2 - (\u2211Xi)2 )] (\u5f0f1-9)
\u8fd9\u65f6\u628aa0\u3001a1\u4ee3\u5165(\u5f0f1-1)\u4e2d, \u6b64\u65f6\u7684(\u5f0f1-1)\u5c31\u662f\u6211\u4eec\u56de\u5f52\u7684\u5143\u7ebf\u6027\u65b9\u7a0b\u5373\uff1a\u6570\u5b66\u6a21\u578b\u3002
\u5728\u56de\u5f52\u8fc7\u7a0b\u4e2d\uff0c\u56de\u5f52\u7684\u5173\u8054\u5f0f\u662f\u4e0d\u53ef\u80fd\u5168\u90e8\u901a\u8fc7\u6bcf\u4e2a\u56de\u5f52\u6570\u636e\u70b9(x1, y1\u3001 x2, y2...xm,ym),\u4e3a\u4e86\u5224\u65ad\u5173\u8054\u5f0f\u7684\u597d\u574f,\u53ef\u501f\u52a9\u76f8\u5173\u7cfb\u6570\u201cR\u201d\uff0c\u7edf\u8ba1\u91cf\u201cF\u201d\uff0c\u5269\u4f59\u6807\u51c6\u504f\u5dee\u201cS\u201d\u8fdb\u884c\u5224\u65ad\uff1b\u201cR\u201d\u8d8a\u8d8b\u8fd1\u4e8e 1 \u8d8a\u597d\uff1b\u201cF\u201d\u7684\u7edd\u5bf9\u503c\u8d8a\u5927\u8d8a\u597d\uff1b\u201cS\u201d\u8d8a\u8d8b\u8fd1\u4e8e 0 \u8d8a\u597d\u3002
R = [\u2211XiYi - m (\u2211Xi / m)(\u2211Yi / m)]/ SQR{[\u2211Xi2 - m (\u2211Xi / m)2][\u2211Yi2 - m (\u2211Yi / m)2]} (\u5f0f1-10) \uff0a
\u5728(\u5f0f1-1)\u4e2d\uff0cm\u4e3a\u6837\u672c\u5bb9\u91cf\uff0c\u5373\u5b9e\u9a8c\u6b21\u6570\uff1bXi\u3001Yi\u5206\u522b\u4efb\u610f\u4e00\u7ec4\u5b9e\u9a8cX\u3001Y\u7684\u6570\u503c\u3002
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u62df\u5408
\u5bf9\u7ed9\u5b9a\u6570\u636e\u70b9{(Xi\uff0cYi)}(i=0,1,\u2026\uff0cm)\uff0c\u5728\u53d6\u5b9a\u7684\u51fd\u6570\u7c7b\u03a6 \u4e2d,\u6c42p(x)\u2208\u03a6 ,\u4f7f\u8bef\u5dee\u7684\u5e73\u65b9\u548cE^2\u6700\u5c0f\uff0cE^2=\u2211[p(Xi)-Yi]^2\u3002\u4ece\u51e0\u4f55\u610f\u4e49\u4e0a\u8bb2\uff0c\u5c31\u662f\u5bfb\u6c42\u4e0e\u7ed9\u5b9a\u70b9 {(Xi\uff0cYi)}(i=0,1,\u2026,m)\u7684\u8ddd\u79bb\u5e73\u65b9\u548c\u4e3a\u6700\u5c0f\u7684\u66f2\u7ebfy=p(x)\u3002\u51fd\u6570p(x)\u79f0\u4e3a\u62df\u5408\u51fd\u6570\u6216\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u89e3\uff0c\u6c42\u62df\u5408\u51fd\u6570p(x)\u7684\u65b9\u6cd5\u79f0\u4e3a\u66f2\u7ebf\u62df\u5408\u7684\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u3002
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u7684\u77e9\u9635\u5f62\u5f0f
Ax=b, \u5176\u4e2dA\u4e3anxk\u7684\u77e9\u9635\uff0cx\u4e3akx1\u7684\u5217\u5411\u91cf\uff0cb\u4e3anx1\u7684\u5217\u5411\u91cf\uff0cn>k\u3002\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7cfb\u7edf\u79f0\u4e3aOver Determined System\uff0c\u5982\u679cn<k\uff0c\u8fd9\u4e2a\u7cfb\u7edf\u5c31\u662fUnder Determined System\u3002
\u6b63\u5e38\u6765\u770b\uff0c\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b\u662f\u6ca1\u6709\u89e3\u7684\uff0c\u4f46\u5728\u6570\u503c\u8ba1\u7b97\u9886\u57df\uff0c\u6211\u4eec\u901a\u5e38\u662f\u8ba1\u7b97 min ||Ax-b||\uff0c\u89e3\u51fa\u5176\u4e2d\u7684x\u3002\u6bd4\u8f83\u76f4\u89c2\u7684\u505a\u6cd5\u662f\u6c42\u89e3A'Ax=A'b\uff0c\u4f46\u901a\u5e38\u6bd4\u8f83\u4f4e\u6548\u3002\u5176\u4e2d\u4e00\u79cd\u5e38\u89c1\u7684\u89e3\u6cd5\u662f\u5bf9A\u8fdb\u884cQR\u5206\u89e3\uff08A=QR\uff09\uff0c\u5176\u4e2dQ\u662fnxk\u6b63\u4ea4\u77e9\u9635\uff08Orthonormal Matrix\uff09\uff0cR\u662fkxk\u4e0a\u4e09\u89d2\u77e9\u9635\uff08Upper Triangular Matrix\uff09\uff0c\u7136\u540emin ||Ax-b|| = min ||QRx-b|| = min ||Rx-Q'b||\uff0c\u7528MATLAB\u547d\u4ee4x=R\(Q'*b)\u53ef\u89e3\u5f97x\u3002
\u6700\u5c0f\u4e8c\u4e58\u6cd5\u7684Matlab\u5b9e\u73b0
\u2460 \u4e00\u6b21\u51fd\u6570 \u4f7f\u7528polyfit\uff08x,y,1\uff09
\u2461\u591a\u9879\u5f0f\u51fd\u6570 \u4f7f\u7528 polyfit\uff08x,y,n\uff09\uff0cn\u4e3a\u6b21\u6570
\u62df\u5408\u66f2\u7ebf
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]\uff0c
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]\u3002
\u89e3\uff1aMATLAB\u7a0b\u5e8f\u5982\u4e0b\uff1a
x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];
p=polyfit(x,y,2)
x1=0.5:0.05:3.0;
y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')
\u8ba1\u7b97\u7ed3\u679c\u4e3a\uff1a
p =0.5614 0.8287 1.1560
\u5373\u6240\u5f97\u591a\u9879\u5f0f\u4e3ay=0.5614x^2+0.08287x+1.15560
\u2462\u975e\u7ebf\u6027\u51fd\u6570 \u4f7f\u7528 lsqcurvefit(fun,x0,x,y)
最小二乘法公式
∑(X--X平)(Y--Y平)=∑(XY--X平Y--XY平+X平Y平)=∑XY--X平∑Y--Y平∑X+nX平Y平=∑XY--nX平Y平--nX平Y平+nX平Y平=∑XY--nX平Y平
∑(X --X平)^2=∑(X^2--2XX平+X平^2)=∑X^2--2nX平^2+nX平^2=∑X^2--nX平^2
最小二乘法原理
用各个离差的平方和M=∑(i=1到n)[yi-(axi+b)]^2最小来保证每个离差的绝对值都很小.解方程组?M/?a=0；?M/?b=0,整理得(∑xi^2)a+(∑xi)b=∑xiyi；(∑xi)a+nb=∑yi.解出a,b.
我们研究两个变量(x,y)之间的相互关系时,通常可以得到一系列成对的数据(x1,y1、x2,y2...xm ,ym)；将这些数据描绘在x -y直角坐标系中,若发现这些点在一条直线附近,可以令这条直线方程如(式1-1).
Y计= a0 + a1 X (式1-1)
其中：a0、a1 是任意实数
为建立这直线方程就要确定a0和a1,应用《最小二乘法原理》,将实测值Yi与利用(式1-1)计算值(Y计=a0+a1X)的离差(Yi-Y计)的平方和〔∑(Yi - Y计)2〕最小为“优化数据”.
令:φ = ∑(Yi - Y计)2 (式1-2)
把(式1-1)代入(式1-2)中得:
φ = ∑(Yi - a0 - a1 Xi)2 (式1-3)
当∑(Yi-Y计)平方最小时,可用函数 φ 对a0、a1求偏导数,令这两个偏导数等于零.
(式1-4)
(式1-5)
亦即：
m a0 + (∑Xi ) a1 = ∑Yi (式1-6)
(∑Xi ) a0 + (∑Xi2 ) a1 = ∑(Xi,Yi) (式1-7)
得到的两个关于a0、 a1为未知数的两个方程组,解这两个方程组得出：
a0 = (∑Yi) / m - a1(∑Xi) / m (式1-8)
a1 = [n∑Xi Yi - (∑Xi ∑Yi)] / [n∑Xi2 - (∑Xi)2 )] (式1-9)
这时把a0、a1代入(式1-1)中,此时的(式1-1)就是我们回归的元线性方程即：数学模型.
在回归过程中,回归的关联式是不可能全部通过每个回归数据点(x1,y1、 x2,y2...xm,ym),为了判断关联式的好坏,可借助相关系数“R”,统计量“F”,剩余标准偏差“S”进行判断；“R”越趋近于 1 越好；“F”的绝对值越大越好；“S”越趋近于 0 越好.
R = [∑XiYi - m (∑Xi / m)(∑Yi / m)]/ SQR{[∑Xi2 - m (∑Xi / m)2][∑Yi2 - m (∑Yi / m)2]} (式1-10) ＊
在(式1-1)中,m为样本容量,即实验次数；Xi、Yi分别任意一组实验X、Y的数值.
最小二乘法拟合
对给定数据点{(Xi,Yi)}(i=0,1,…,m),在取定的函数类Φ 中,求p(x)∈Φ ,使误差的平方和E^2最小,E^2=∑[p(Xi)-Yi]^2.从几何意义上讲,就是寻求与给定点 {(Xi,Yi)}(i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线y=p(x).函数p(x)称为拟合函数或最小二乘解,求拟合函数p(x)的方法称为曲线拟合的最小二乘法.
最小二乘法的矩阵形式
Ax=b,其中A为nxk的矩阵,x为kx1的列向量,b为nx1的列向量,n>k.这个方程系统称为Over Determined System,如果n
a=(NΣxy-ΣxΣy)/(NΣx^2-(Σx)^2)
b=y(平均)-a*x（平均）
b 是截距
a 是斜率
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