在三角形ABC中 最大角A 为最小角C的2倍，且三边a ，b，c为连续的整数，求a b c 的值

\u5728\u25b3ABC\u4e2d\uff0c\u6700\u5927\u89d2A\u4e3a\u6700\u5c0f\u89d2C\u76842\u500d\uff0c\u4e14\u4e09\u8fb9\u957fa\uff0cb\uff0cc\u4e3a\u4e09\u4e2a\u8fde\u7eed\u6574\u6570\uff0c\u6c42a\uff0cb\uff0cc\u7684\u503c\u3002

A=2C\uff0c\u4f9d\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\u5f97
sinA/sinC=a/c
\u2192sin2C/sinC=a/c
\u21922sinCcosC/sinC=a/c
\u21922cosC=a/c
\u21922(a²+b²-c²)/2ab=a/c (\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406)
\u2192(a²+b²-c²)/ab=a/c.
a\u3001b\u3001c\u4e3a\u8fde\u7eed\u6b63\u6574\u6570\uff0c
\u663e\u7136a>b>c\uff0c\u6545\u53ef\u8bbe
a=n+1\uff0cb=n\uff0cc=n-1
\u4ee3\u5165\u4e0a\u5f0f\uff0c\u5373
[(n+1)²+n²-(n-1)²]/n(n+1)=(n+1)/(n-1)
\u89e3\u5f97\uff0cn=5.
\u2234\u4ee3\u56de\u6240\u8bbe\u5f97\uff0ca=6\uff0cb=5\uff0cc=4\u3002

\u636e\u9898\u610f\u77e5\uff0cA=2C\uff0c\u5219B=\u03c0-3C\u3002\u8bbea=n+1\uff0cb=n\uff0cc=n-1\u3002\u6839\u636e\u6b63\u5f26\u5b9a\u7406\uff0c\u6709sinA+sinC=2sinB\uff0c\u5373sin2C+sinC=2sin3C\uff0c\u53d8\u5f62\uff0c\u6709sinC(8cos^2C-2cosC-3)=0\uff0c\u6613\u77e5sinC\u22600\uff0c\u6240\u4ee58cos^2C-2cosC-3=0\uff0c\u89e3\u5f97cosC=3/4\uff08cosC=-1/2\u820d\u53bb\uff09\u3002\u5229\u7528\u4f59\u5f26\u5b9a\u7406\uff0ccosC=(a^2+b^2-c^2)/2ab\uff0c\u628aa=n+1\uff0cb=n\uff0cc=n-1\u4ee3\u5165\uff0c\u89e3\u65b9\u7a0b\u5f97n=5\uff08n=0\u820d\u53bb\uff09\uff0c\u6240\u4ee5a=6\uff0cb=5\uff0cc=4

设三边为a=n－1、b=n、c=n＋1，所对的角分别是A、B、C，则C=2A。由正弦定理：a/sinA=c/sinC，即(n－1)/sinA=(n＋1)/sinC=(n＋1)/[2sinAcosA]，所以，cosA=(n＋1)/(2n－2)。
因cosA=[n²＋(n＋1)²－(n－1)²]/[2n(n＋1)]=(n＋1)/(2n－2)，
(n²＋4n)/[2n(n＋1)]=(n＋1)/(2n－2)，(n＋4)/(n＋1)=(n＋1)/(n－1)。
解得n=5，即三边是4、5、6。

倍角公式：sin2C＝2sinCcosC

给个初中的解法：
设△ABC的三个角∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，延长BA至D，使AD＝AC，连结CD
∴∠D＝∠ACD
∵∠CAB＝∠D＋∠ACD＝2∠D，∠CAB＝2∠ACB
∴∠D＝∠ACB
∴△BAC∽△BDC
∴BC/BD＝AB/BC
即：a/(b＋c)＝c/a
∴(b＋1)/(b＋b－1)＝(b－1)/(b＋1)
得：b^2－5b＝0
故得：b＝5
从而a＝6，c＝4

二倍角公式
sin 2α=2sin α×cos α
所以sin 2c=2sin c×cos c
sin2C/sinC=2sin c×cos c/sinC=2cosC

sin 2α=2sin α×cos α
所以sin 2c=2sin c×cos c
sin2C/sinC=2sin c×cos c/sinC=2cosC
这些个公式证明起来并不难，关键是要把它们当做1+1=2一样来记

sin2C=2sinCcosC

正弦定理：a/sinA=b/sinB=c/sinC
倍角公式：sin(2C)=2*sinC*cosC
只要将上面的正弦公式变形一下，就可以得到a/c=sinA/sinC
因为最大角A 为最小角C的2倍
所以a/c=sinA/sinC=sin2C/sinC=2*sinC*cosC/sinC=2cosC

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