无穷级数敛散性判定，∑1/n² 和∑1/n 为什么分别是收敛和发散？ 无穷级数 1/n 为何是发散的？ 无穷级数1/（n^2）和(...
\u9ad8\u6570\u9898\uff0c\u65e0\u7a77\u7ea7\u6570\u6c42\u89e3\uff0c 1/n\u4e3a\u53d1\u6563\uff0can\u5982\u679c\u6536\u655b\uff0c\u90a3\u4e00\u4e2a\u6536\u655b\u4e58\u4e00\u4e2a\u53d1\u6563\u96be\u9053\u4e0d\u662f\u53d1\u6563\u5417\u4e0d\u80fd\u8ba4\u4e3a\u4e00\u4e2a\u53d1\u6563\u6570\u5217\u4e58\u4e00\u4e2a\u6536\u655b\u6570\u5217\u5c31\u4e00\u5b9a\u53d1\u6563\uff0c\u76f8\u4e58\u540e\u7684\u6570\u5217\u65e2\u53ef\u80fd\u53d1\u6563\u4e5f\u53ef\u80fd\u6536\u655b
\u672c\u9898\u5c31\u7528\u57fa\u672c\u7684\u6c42\u6536\u655b\u7684\u516c\u5f0f\u505a\uff0c\u5df2\u77e5an^2\u6536\u655b\uff0c\u5219\u5b83\u7684\u7b2cn+1\u9879\u6bd4\u4e0a\u7b2cn\u9879\u5c0f\u4e8e1\uff0c\u5316\u7b80\u53ef\u4ee5\u5f97\u5230 |a\uff08n+1\uff09|<|an|\uff0c\u8981\u6c42\u7684\u6570\u5217\u4e5f\u7528\u6bd4\u503c\u5ba1\u655b\u6cd5\u6c42\uff0cn\u548cn+1\u6d88\u53bb\uff0c\u7559\u4e0b\u7684\u628a\u524d\u9762\u7684\u7ed3\u8bba\u4ee3\u5165\uff0c\u5c31\u662f\u7edd\u5bf9\u6536\u655b
\u7b2c\u4e00\u4e2a\u7ea7\u6570 \u79f0\u4e3a\u8c03\u548c\u7ea7\u6570 \u5229\u7528\u5fae\u5206\u4e2d\u503c\u5b9a\u7406 \u53ef\u4ee5\u8bc1\u660e1/n>ln(1+1/n) (\u6784\u9020y=lnx x\u5728\uff08n,n+1\uff09)
\u7ea7\u65701\u7684\u90e8\u5206\u548c>ln\uff08n+1\uff09
\u7b2c\u4e8c\u4e2a\u7ea7\u6570 \u65e0\u7a77\u7ea7\u65701/\uff08n^2)<\u7ea7\u65701/n(n+1) \u540e\u9762\u7684\u7ea7\u6570 \u5206\u9879 \u6613\u8bc1\u6536\u655b
\u7b2c\u4e09\u4e2a\u7ea7\u6570 \u7ea7\u6570 (1/n^3)<\u65e0\u7a77\u7ea7\u65701/\uff08n^2) \u5229\u7528\u6b63\u9879\u7ea7\u6570\u7684\u6bd4\u8f83\u6536\u655b\u51c6\u5219 \u6613\u8bc1\u6536\u655b
\u529d\u4f60\u770b\u770b\u8bfe\u672c \u540c\u6d4e\u5927\u5b66\u51fa\u7248\u793e\u7684\u9ad8\u65706 \u6bd4\u8f83\u597d \u7f51\u8d2d\u7684\u8bdd \u5f88\u4fbf\u5b9c \u63a8\u8350\u4e70\u4e86\u770b\u4e00\u4e0b
0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n所以收敛
至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1 当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时，
ln(1+x)-x =0，所以当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n
所以1/n > ln(n+1)-ln(n)
所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛。
扩展资料：
对于判别一个数项级数的敛散性，可以从下面的思路来考虑使用某种比较恰当的方法：
(1)首先，考虑当项数无限增大时，一般项是否趋于零．如果不趋于零，便可判断级数发散。如果趋千零，则考虑其它方法。
(2)考察级数的部分和数列的敛散性是否容易确定，如能确定，则级数的敛散性自然也明确了。但往往部分和数列的通项就很难写出来，自然就难以判定其是否有极限了，·这时就应考虑其它方法。
(3)如果级数是正项级数，可以先考虑使用比值判别法或根值判别法是否有效。如果无效，再考虑用比较判别法。对于某些正项级数，可以考虑使用积分判别法．这是因为比值判别法与根值判别法使用起来一般比较简便，而比较判别法适应的范围却很大。
(4)如果级数是任意项级数，应首先考虑它是否绝对收敛。当不绝对收敛时，可以看看它是不是能用莱布尼兹判别法判定其收敛性的交错级数。
(5)级数敛散性的柯西判别准则给出了判断级数收敛的充要条件，因此，从逻辑上讲，它适应于一切级数敛散性的判断。
参考资料：百度百科——收敛性
0<∑1/n²<∑[1/n(n-1)] = ∑[1/n-1)-1/n] = 1-1/n所以收敛
至于∑1/n.考虑函数ln(1+x) - x，其导数为1/(1+x) -1 当x恒大于0时，导数恒小于0，当x=0时时，ln(1+x)-x =0，所以当x>0时，ln(1+x) - x <0 ，所以ln((n+1)/n) = ln(1+1/n) < 1/n
所以1/n > ln(n+1)-ln(n)
所以∑1/n > ∑ln(n+1)-ln(n) = ln(n+1)很显然不收敛
推介看一下这篇文档：
http://wenku.baidu.com/view/7ab443c508a1284ac8504360.html
正项级数，用比值判别法，自己算一下。
1/n^p
0<p<=1 发散
P>1 收敛
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