证明1+2^2+3^2+4^2+……=？
\u7528\u6570\u5b66\u5f52\u7eb3\u6cd5\u8bc1\u660e1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2n-1)^2-(2n)^2=-n(2n+1)1 n=1\u65f6\uff0c\u5de6\u8fb9=\uff082*1-1\uff09^2-2^2=-3
\u53f3\u8fb9=-1\uff082*1+1\uff09=-3=\u5de6\u8fb9
2 \u5f53n=k\u65f6\uff0c\u5047\u8bbe\u7b49\u5f0f\u6210\u7acb\uff0c\u5de6\u8fb9=\u53f3\u8fb9\uff0c
\u5373 1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2k-1)^2-(2k)^2=-k(2k+1)
\u90a3\u4e48\u5f53n=k+1\u65f6\uff0c\u5de6\u8fb9=1^2-2^2+3^2-4^2+~+(2k-1)^2-(2k)^2+(2k+1)^2-(2k+2)^2=-k(2k+1)+(2k+1)^2-(2k+2)^2=-2k^2-k+4k^2+4k+1-4k^2-8k-4=-2k^2-5k-3=-(k+1)(2k+3)=\u53f3\u8fb9
\u5373 \u5f53n=k+1\u65f6\u7b49\u5f0f\u4e5f\u6210\u7acb\u3002
3 \u547d\u9898\u5f97\u8bc1
\u5982\u4e0b\u56fe
不过要澄清一下，首先数学归纳是很严格的证明方法，虽然名字有“归纳”二字，但在逻辑上实际是演绎逻辑。
第二，从本质上说，不用数学归纳法是证不出这道题目的，事实上一切数列问题都要用到数学归纳法，因为数列本身就是归纳定义的。我们写
Sn = 1^2 + 2^2 + ... + n^2
之所以可以用省略号，是因为这里隐含地用到了数学归纳法：
·第k项是k^2；
·S1 = 第1项 = 1^2；
·Sn = S(n-1) + 第n项 = S(n-1) + n^2．
没有数学归纳法，连这个数列本身是什么都说不清楚，更不必说计算它了。
由于(n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1
所以
2 ^3 = 1 ^3 + 3* 1 ^2 + 3* 1 + 1
3 ^3 = 2 ^3 + 3* 2 ^2 + 3* 2 + 1
4 ^3 = 3 ^3 + 3* 3 ^2 + 3* 3 + 1
5 ^3 = 4 ^3 + 3* 4 ^2 + 3* 4 + 1
… …
n ^3 = (n-1)^3 + 3*(n-1)^2 + 3*(n-1) + 1
(n+1)^3 = n ^3 + 3* n ^2 + 3* n + 1
上面所有式子相加，并在两边同时减去相同的项：
(n+1)^3 = 1^3 + 3*[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]+3*[1+2+3+4+…+(n-1)+n]+n
不妨记[1^2+2^2+3^2+4^2+…+(n-1)^2+n^2]为S。
则n^3+3n^2+3n+1=1+3*S+3*(1+n)*n/2+n
化简得：S=n(n+1)*(2n+1)/6
如果使用算术方法可以推导出来：
我们知道 (k + 1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1
(1 + 1)^3 - 1^2 = 3*1^2 + 3*1 + 1
(2 + 1)^3 - 2^3 = 3*2^2 + 3*2 + 1
(3 + 1)^3 - 3^3 = 3*3^2 + 3*3 + 1
.............
(n + 1)^3 - n^3 = 3*n^2 + 3*n + 1
以上相加得到：
(n + 1)^3 - 1 = 3*Sn + 3*n(n + 1)/2 + n ... 此处引用：1 + 2 + 3 + .... + n = n(n + 1)/2
整理化简即可得到：
Sn = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n + 1)(2n + 1)/6
数学归纳法同样是严格的证明法 只是开始要自己找规律 证明时是严格证明的
万一
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