20道用十字相乘解的一元二次方程
20\u9053\u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u89e3\u5f97\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b \u4ece\u7b80\u5355\u5230\u56f0\u96be~ \u597d\u7684\u8ffd\u52a050\u5206(1)2x2\uff0d5x\uff0d12\uff1b (2)3x2\uff0d5x\uff0d2\uff1b
(3)6x2\uff0d13x+5\uff1b (4)7x2\uff0d19x\uff0d6\uff1b
(5)12x2\uff0d13x+3\uff1b (6)4x2+24x+27.
(7)6x2\uff0d13xy+6y2\uff1b (8)8x2y2+6xy\uff0d35\uff1b
(9)18x2\uff0d21xy+5y2\uff1b (10) 2(a+b) 2+(a+b)(a\uff0db)\uff0d6(a\uff0db) 2.
(11)2x2+3x+1\uff1b (12)2y2+y\uff0d6\uff1b
(13)6x2\uff0d13x+6\uff1b (14)3a2\uff0d7a\uff0d6\uff1b
(15)6x2\uff0d11xy+3y2\uff1b (16)4m2+8mn+3n2\uff1b
(17)10x2\uff0d21xy+2y2\uff1b (18)8m2\uff0d22mn+15n2.
(19)4n2+4n\uff0d15\uff1b (20)6a2+a\uff0d35\uff1b
\u591a\u627e\u4e86\u51e0\u9898\uff1a
(21)5x2\uff0d8x\uff0d13\uff1b (22)4x2+15x+9
(23)15x2+x\uff0d2\uff1b (24)6y2+19y+10\uff1b
(25)20\uff0d9y\uff0d20y2\uff1b (26)7(x\uff0d1) 2+4(x\uff0d1)(y+2)\uff0d20(y+2)
\u5e0c\u671b\u6709\u5e2e\u52a9\uff0c\u8c22\u8c22\u91c7\u7eb3\uff01
\u5341\u5b57\u5206\u89e3\u6cd5\u7684\u65b9\u6cd5\u7b80\u5355\u6765\u8bb2\u5c31\u662f\uff1a\u5341\u5b57\u5de6\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\uff0c\u53f3\u8fb9\u76f8\u4e58\u7b49\u4e8e\u5e38\u6570\u9879\uff0c\u4ea4\u53c9\u76f8\u4e58\u518d\u76f8\u52a0\u7b49\u4e8e\u4e00\u6b21\u9879\u7cfb\u6570\u3002\u5176\u5b9e\u5c31\u662f\u8fd0\u7528\u4e58\u6cd5\u516c\u5f0f(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab\u7684\u9006\u8fd0\u7b97\u6765\u8fdb\u884c\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
\u5341\u5b57\u5206\u89e3\u6cd5\u80fd\u628a\u4e8c\u6b21\u4e09\u9879\u5f0f\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\uff08\u4e0d\u4e00\u5b9a\u5728\u6574\u6570\u8303\u56f4\u5185\uff09\u3002\u5bf9\u4e8e\u5f62\u5982ax²+bx+c=(a1x+c1\uff09(a2x+c2\uff09\u7684\u6574\u5f0f\u6765\u8bf4\uff0c\u65b9\u6cd5\u7684\u5173\u952e\u662f\u628a\u4e8c\u6b21\u9879\u7cfb\u6570a\u5206\u89e3\u6210\u4e24\u4e2a\u56e0\u6570a1,a2\u7684\u79efa1\u00b7a2\uff0c\u628a\u5e38\u6570\u9879c\u5206\u89e3\u6210\u4e24\u4e2a\u56e0\u6570c1,c2\u7684\u79efc1\u00b7c2\uff0c\u5e76\u4f7fa1c2+a2c1\u6b63\u597d\u7b49\u4e8e\u4e00\u6b21\u9879\u7684\u7cfb\u6570b\uff0c\u90a3\u4e48\u53ef\u4ee5\u76f4\u63a5\u5199\u6210\u7ed3\u679c:ax²+bx+c=(a1x+c1\uff09(a2x+c2\uff09\u3002\u5728\u8fd0\u7528\u8fd9\u79cd\u65b9\u6cd5\u5206\u89e3\u56e0\u5f0f\u65f6\uff0c\u8981\u6ce8\u610f\u89c2\u5bdf\uff0c\u5c1d\u8bd5\uff0c\u5e76\u4f53\u4f1a\uff0c\u5b83\u7684\u5b9e\u8d28\u662f\u4e8c\u9879\u5f0f\u4e58\u6cd5\u7684\u9006\u8fc7\u7a0b\u3002\u5f53\u9996\u9879\u7cfb\u6570\u4e0d\u662f1\u65f6\uff0c\u5f80\u5f80\u9700\u8981\u591a\u6b21\u8bd5\u9a8c\uff0c\u52a1\u5fc5\u6ce8\u610f\u5404\u9879\u7cfb\u6570\u7684\u7b26\u53f7\u3002\u57fa\u672c\u5f0f\u5b50\uff1ax²+(p+q\uff09x+pq=(x+p\uff09(x+q\uff09\u3002
\u4efb\u4f55\u4e00\u4e2a\u5173\u4e8ex\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7ecf\u8fc7\u6574\u7406\uff0c\u90fd\u80fd\u5316\u6210\u5982ax2+bx+c=0 (a\u22600,\u4e14a,b,c\u662f\u5e38\u6570)\u7684\u5f62\u5f0f\u3002\u8fd9\u79cd\u5f62\u5f0f\u53eb\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u4e00\u822c\u5f62\u5f0f\u3002
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\uff08\u6839\uff09\uff1a
\u80fd\u4f7f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u5de6\u53f3\u4e24\u8fb9\u76f8\u7b49\u7684\u672a\u77e5\u6570\u7684\u503c\u662f\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u3002\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e5f\u79f0\u4e3a\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\uff08\u53ea\u542b\u6709\u4e00\u4e2a\u672a\u77e5\u6570\u7684\u65b9\u7a0b\u7684\u89e3\u4e5f\u53eb\u505a\u8fd9\u4e2a\u65b9\u7a0b\u7684\u6839\uff09\u3002
\u4e00\u5143\u4e8c\u6b21\u65b9\u7a0b\u4e00\u5b9a\u4e14\u6700\u591a\u6709\u4e24\u4e2a\u89e3\uff0c\u4e5f\u6709\u53ef\u80fd\u6ca1\u6709\u89e3(\u6307\u5b9e\u6570\u8303\u56f4\u5185\u6ca1\u6709\u89e3\uff0c\u4f46\u5728\u865a\u6570\u8303\u56f4\u5185\u4ecd\u6709\u4e24\u4e2a\u89e3)\uff0c\u90a3\u5c31\u8981\u770b\u5224\u522b\u5f0f\uff08\u25b3=b^2-4ac\u22650\uff09
\u5173\u4e8ex\u7684\u4e00\u5143\u4e8c\u65b9\u7a0b\u7684\u4e24\u4e2a\u6839\u8868\u793a\u4e3ax1,x2
\u4f8b\u5982\uff1ax^-2x-3=0, \u7528\u5341\u5b57\u76f8\u4e58\u6cd5\u5316\u7b80\u4e3a
(x-3)(x+1)=0,
x-3=0, x+1=0
x1=3 , x2=-1
分析:本题中常数项-12可以分为-1×12,-2×6,-3×4,-4×3,-6×2,-12×1当-12分成-2×6时,才符合本题
解:因为 1 -2
1 ╳ 6
所以m²+4m-12=(m-2)(m+6)
例2把5²+6x-8分解因式
分析:本题中的5可分为1×5,-8可分为-1×8,-2×4,-4×2,-8×1。当二次项系数分为1×5,常数项分为-4×2时,才符合本题
解: 因为 1 2
5 ╳ -4
所以5²+6x-8=(x+2)(5x-4)
例3解方程x²-8x+15=0
分析:把x²-8x+15看成关于x的一个二次三项式,则15可分成1×15,3×5。
解: 因为 1 -3
1 ╳ -5
所以原方程可变形(x-3)(x-5)=0
所以x1=3 x2=5
例4、解方程 6²-5x-25=0
分析:把6²5x-25看成一个关于x的二次三项式,则6可以分为1×6,2×3,-25可以分成-1×25,-5×5,-25×1。
解: 因为 2 -5
3 ╳ 5
所以 原方程可变形成(2x-5)(3x+5)=0
所以 x1=5/2 x2=-5/3
2)、用十字相乘法解一些比较难的题目
例5把14²-67xy+18y²分解因式
分析:把14x²-67xy+18y²看成是一个关于x的二次三项式,则14可分为1×14,2×7, 18y²可分为y.18y , 2y.9y , 3y.6y
解: 因为 2 -9y
7 ╳ -2y
所以 14x²-67xy+18y²= (2x-2y)(7x-9y)
例6 把10x²-27xy-28y²-x+25y-3分解因式
分析:在本题中,要把这个多项式整理成二次三项式的形式
解法一、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=10x²-(27y+1)x -(28y²;-25y+3)
4y -3
7y ╳ -1
=10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)
=[2x -(7y -1)][5x +(4y -3)] 2 -(7y – 1)
5 ╳ 4y - 3
=(2x -7y +1)(5x +4y -3)
说明:在本题中先把28y²-25y+3用十字相乘法分解为(4y-3)(7y -1),再用十字相乘法把10x²-(27y+1)x -(4y-3)(7y -1)分解为[2x -(7y -1)][5x +(4y+3)]
解法二、10x²-27xy-28y²-x+25y-3
=(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3 2 -7y
=[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3] 5 ╳ 4y
=(2x -7y+1)(5x -4y -3) 2 x -7y 1
5 x - 4y ╳ -3
说明:在本题中先把10x²-27xy-28y²用十字相乘法分解为(2x -7y)(5x +4y),再把(2x -7y)(5x +4y)-(x -25y)- 3用十字相乘法分解为[(2x -7y)+1] [(5x -4y)-3].
例7:解关于x方程:x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
分析:2a²–ab-b²可以用十字相乘法进行因式分解
解:x²- 3ax + 2a²–ab -b²=0
x²- 3ax +(2a²–ab - b²)=0
x²- 3ax +(2a+b)(a-b)=0 1 -b
2 ╳ +b
[x-(2a+b)][ x-(a-b)]=0 1 -(2a+b)
1 ╳ -(a-b)
所以 x1=2a+b x2=a-b
例8 把5x^2+6xy-8y^2分解因式.
分析:这个多项式可以看作是关于x的二次三项式,把-8y^2看作常数项,在分解二次项及常数项系数时,只需分解5与-8,用十字交叉线分解后,经过观察,选取合适的一组,即
1 2
�╳
5 -4
1×(-4)+5×2=6
解 5x^2+6xy-8y^2=(x+2y)(5x-4y).
指出:原式分解为两个关于x,y的一次式.
例9 把(x-y)(2x-2y-3)-2分解因式.
分析:这个多项式是两个因式之积与另一个因数之差的形式,只有先进行多项式的乘法运算,把变形后的多项式再因式分解.
问:两上乘积的因式是什么特点,用什么方法进行多项式的乘法运算最简便?
答:第二个因式中的前两项如果提出公因式2,就变为2(x-y),它是第一个因式的二倍,然后把(x-y)看作一个整体进行乘法运算,可把原多项式变形为关于(x-y)的二次三项式,就可以用十字相乘法分解因式了.
解 (x-y)(2x-2y-3)-2
=(x-y)[2(x-y)-3]-2
=2(x-y) ^2-3(x-y)-2
=[(x-y)-2][2(x-y)+1]
=(x-y-2)(2x-2y+1).
1 -2
╳
2 1
1×1+2×(-2)=-3
指出:把(x-y)看作一个整体进行因式分解,这又是运用了数学中的“整体”思想方法.
例10 x^2+2x-15
分析:常数项(-15)<0,可分解成异号两数的积,可分解为(-1)(15),或(1)(-15)或(3)(-5)或(-3)(5),其中只有(-3)(5)中-3和5的和为2。=(x-3)(x+5)
很简单的十字相乘法啊 X^2+5X+6=0
题目没有
绛旓細鐢ㄧ敾鍗佸瓧浜ゅ弶绾挎柟娉曡〃绀轰笅鍒楀洓绉嶆儏鍐碉細1 1 鈺 2 3 1脳3+2脳1 =5 1 3 鈺 2 1 1脳1+2脳3 =7 1 -1 鈺 2 -3 1脳(-3)+2脳(-1)=-5 1 -3 鈺 2 -1 1脳(-1)+2脳(-3)=-7 缁忚繃瑙傚療锛岀鍥涚鎯呭喌鏄纭殑锛岃繖鏄洜涓轰氦鍙鐩镐箻鍚庯紝涓ら」浠f暟鍜屾伆绛変簬涓娆¢」绯绘暟锛7.瑙 2x^2...
绛旓細濡傚浘鎵绀
绛旓細4X骞虫柟=12X 涓よ竟鍚岄櫎浠寰楋細 4X=12 X=3 10脳3+2脳3=36 绛旓細杩欎釜涓や綅鏁版槸36銆傝繕鏈変竴涓槸锛 璁撅細鍗佷綅鏁颁负10锛圶-3),涓綅鏁颁负X.瑙o細X骞虫柟=10(X-3)+X X骞虫柟=10X-30+X X骞虫柟-11X+30=0 鍗佸瓧鐩镐箻娉曡В锛氾紙X-5)銆侊紙X-6)=0 X1=5 X2=6 涓や釜閮芥槸鏍广10脳...
绛旓細鐢ㄥ崄瀛楃浉涔娉曞洜寮忓垎瑙o紝浠庤屾眰瑙f柟绋嬶紝杩欑鏂规硶涔熷彨鍥犲紡鍒嗚В娉曪細
绛旓細鑰屼笂鍥句腑鍑虹幇鐨勯偅涓溍椻濓紝鍍忎釜鏂滄斁鐫鐨勨滃崄鈥濆瓧锛屾墍浠ユ垜浠О杩欑鏂规硶涓猴細鍗佸瓧鐩镐箻娉.杩欎釜鏂规硶鐨勫簲鐢ㄥ涓嬶細渚3.瑙f柟绋嬶細6x²-2x-28=0.鍒嗘瀽锛氬垎鍒妸6鍜-28杩涜鍒嗚В锛岀劧鍚庝綔鍗佸瓧鐩镐箻锛屾壘鍙互寰楀埌-2鐨缁撴灉.濡傚浘锛氳繖閲岋紝6鍒嗚В鎴2脳3锛-28鍒嗚В鎴4脳(-7)锛屼綔鍗佸瓧鐩镐箻锛屽緱鍒颁袱涓箻绉細-14...
绛旓細姣斿x²鈥5x锛6=0 鍙互鍗佸瓧鐩镐箻杩涜鍥犲紡鍒嗚В 1 鈥2 1 鈥3 1脳1=1 (浜屾椤圭郴鏁)1脳(鈥3)锛1脳(鈥2)=鈥5 (涓娆¢」绯绘暟)(鈥2)脳(鈥3)=6 (甯告暟椤)鍘熷紡=(x鈥2)(x鈥3)=0 鍙互瑙e緱x=2鎴杧=3 鐢ㄥ崄瀛楃浉涔娉曚笉濂芥眰瑙f椂锛屽彲浠ョ洿鎺ヨ繍鐢ㄦ眰鏍瑰叕寮 b²鈥4ac鈮...
绛旓細鑷繁鍐欎簺锛坅x+b锛(cx+d)鐨勫叕寮忔媶鍑烘潵锛屽啀鑷繁鐢ㄥ崄瀛楃浉涔鍚堜笂锛屽氨琛屼簡銆
绛旓細鐢ㄧ敾鍗佸瓧浜ゅ弶绾挎柟娉曡〃绀轰笅鍒楀洓绉嶆儏鍐碉細1 1 鈺 2 3 1脳3+2脳1 =5 1 3 鈺 2 1 1脳1+2脳3 =7 1 -1 鈺 2 -3 1脳(-3)+2脳(-1)=-5 1 -3 鈺 2 -1 1脳(-1)+2脳(-3)=-7 缁忚繃瑙傚療锛岀鍥涚鎯呭喌鏄纭殑锛岃繖鏄洜涓轰氦鍙鐩镐箻鍚庯紝涓ら」浠f暟鍜屾伆绛変簬涓娆¢」绯绘暟锛7.瑙 2x^2...
绛旓細-3x鏂+40x-125=0 鏁寸悊涓3x²-40x+125=0 1 -5 3 -25 涓婁笅涓ゆ暟鐨勭Н鍒嗗埆涓3銆75 浜ゅ弶绉殑鍜屼负1脳(-25)+3脳(-5)=-40 鎵浠(x-5)(3x-25)=0 寰梮1=5锛寈2=25/3 涓嶈В浜屾椤圭郴鏁颁负璐鐨勪竴鍏冧簩娆℃柟绋嬶紝鍏堝寲涓烘鏁 ...
绛旓細寰堟槑鏄炬湁鍏洜寮(x-1)瑙:3x锛坸-1锛-2x+2=0 3x(x-1)-2(x-1)=0 (x-1)(3x-2)=0 x=1鎴杧=2/3