在立体几何中如何求面与面所成的角，就是二面角的余弦值。遇到这类在空间中求面面角的，有什么套路吗？或 高考数学问题，如何用空间向量求立体几何中的二面角的正切值

\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u6b63\u5f26\u503c\u516c\u5f0f

\u5411\u91cf\u6cd5
1.\u5148\u5efa\u7acb\u76f4\u89d2\u5750\u6807\u7cfb\uff0c\u6c42\u51fa\u5404\u70b9\u5750\u6807\uff1b
2.\u8bbe\u9762S1\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\u4e3a\uff0c\u9762S2\u6cd5\u5411\u91cf\u4e3a\uff1b
3.\u7136\u540e\u6c42\u548c\u7684\u5939\u89d2\u03b8\u7684\u4f59\u5f26
4.\u7528sin²+cos²=1\u5373\u53ef\u8ba1\u7b97\u6b63\u5f26\u503c\uff0c\u4e14\u4e3a\u6b63\u503c\u3002
\u8d44\u6599\u62d3\u5c55:

\u4f5c\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5e73\u9762\u89d2\u7684\u5e38\u7528\u65b9\u6cd5\u6709\u4ee5\u4e0b\u51e0\u79cd\uff1a
1\u3001\u5b9a\u4e49\u6cd5 \uff1a\u5728\u68f1\u4e0a\u53d6\u4e00\u70b9A\uff0c\u7136\u540e\u5728\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u5185\u5206\u522b\u4f5c\u8fc7\u68f1\u4e0aA\u70b9\u7684\u5782\u7ebf\u3002\u6709\u65f6\u4e5f\u53ef\u4ee5\u5728\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u5185\u5206\u522b\u4f5c\u68f1\u7684\u5782\u7ebf\uff0c\u518d\u8fc7\u5176\u4e2d\u7684\u4e00\u4e2a\u5782\u8db3\u4f5c\u53e6\u4e00\u6761\u5782\u7ebf\u7684\u5e73\u884c\u7ebf\u3002
2\u3001\u5782\u9762\u6cd5 \uff1a\u4f5c\u4e0e\u68f1\u5782\u76f4\u7684\u5e73\u9762\uff0c\u5219\u5782\u9762\u4e0e\u4e8c\u9762\u89d2\u4e24\u4e2a\u9762\u7684\u4ea4\u7ebf\u6240\u6210\u7684\u89d2\u5c31\u662f\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5e73\u9762\u89d2\u3002
3\u3001\u9762\u79ef\u5c04\u5f71\u5b9a\u7406\uff1a\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u4f59\u5f26\u503c\u7b49\u4e8e\u67d0\u4e00\u4e2a\u534a\u5e73\u9762\u5728\u53e6\u4e00\u4e2a\u534a\u5e73\u9762\u7684\u5c04\u5f71\u7684\u9762\u79ef\u548c\u8be5\u5e73\u9762\u81ea\u5df1\u672c\u8eab\u7684\u9762\u79ef\u7684\u6bd4\u503c\u3002\u5373\u516c\u5f0fcos\u03b8=S'/S\uff08S'\u4e3a\u5c04\u5f71\u9762\u79ef\uff0cS\u4e3a\u659c\u9762\u9762\u79ef\uff09\u3002\u8fd0\u7528\u8fd9\u4e00\u65b9\u6cd5\u7684\u5173\u952e\u662f\u4ece\u56fe\u4e2d\u627e\u51fa\u659c\u9762\u591a\u8fb9\u5f62\u548c\u5b83\u5728\u6709\u5173\u5e73\u9762\u4e0a\u7684\u5c04\u5f71\uff0c\u800c\u4e14\u5b83\u4eec\u7684\u9762\u79ef\u5bb9\u6613\u6c42\u5f97\u3002
4\u3001\u4e09\u5782\u7ebf\u5b9a\u7406\u53ca\u5176\u9006\u5b9a\u7406\u6cd5\uff1a\u5148\u627e\u5230\u4e00\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u5782\u7ebf\uff0c\u518d\u8fc7\u5782\u8db3\u4f5c\u68f1\u7684\u5782\u7ebf\uff0c\u8fde\u63a5\u4e24\u4e2a\u5782\u8db3\u5373\u5f97\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5e73\u9762\u89d2\u3002
5\u3001\u5411\u91cf\u6cd5\uff1a\u5206\u522b\u4f5c\u51fa\u4e24\u4e2a\u534a\u5e73\u9762\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\uff0c\u7531\u5411\u91cf\u5939\u89d2\u516c\u5f0f\u6c42\u5f97\u3002\u4e8c\u9762\u89d2\u5c31\u662f\u8be5\u5939\u89d2\u6216\u5176\u8865\u89d2\u3002
6\u3001\u8f6c\u5316\u6cd5\uff1a\u5728\u4e8c\u9762\u89d2\u03b1-l-\u03b2\u5176\u4e2d\u4e00\u4e2a\u534a\u5e73\u9762\u03b1\u4e0a\u627e\u4e00\u70b9P\uff0c\u6c42\u51faP\u5230\u03b2\u7684\u8ddd\u79bbh\u548cP\u5230l\u7684\u8ddd\u79bbd\uff0c\u90a3\u4e48arcsin(h/d)\uff08\u4e8c\u9762\u89d2\u4e3a\u9510\u89d2\uff09\u6216\u03c0-arcsin(h/d)\uff08\u4e8c\u9762\u89d2\u4e3a\u949d\u89d2\uff09\u5c31\u662f\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5927\u5c0f\u3002
7\u3001\u5f02\u9762\u76f4\u7ebf\u7684\u8ddd\u79bb\u6cd5\uff1a\u8bbe\u4e8c\u9762\u89d2\u4e3aC-AB-D\uff0c\u5176\u4e2dAC\u548cBD\u4e92\u4e3a\u5f02\u9762\u76f4\u7ebf\u4e14AC\u22a5AB\uff0cBD\u22a5AB\uff08\u5373AB\u662f\u5f02\u9762\u76f4\u7ebfAC\u548cBD\u7684\u516c\u5782\u7ebf\uff09\u3002\u8bbeAB=d\uff0cCD=l\uff0cAC=m\uff0cBD=n\uff0c\u6839\u636e

\u6765\u6c42\u5f02\u9762\u76f4\u7ebf\u6240\u6210\u89d2\u03b8\u3002\u5229\u7528\u8be5\u65b9\u6cd5\u6c42\u03b8\u5fc5\u987b\u5148\u7531\u56fe\u50cf\u5224\u65ad\u4e8c\u9762\u89d2\u662f\u9510\u89d2\u8fd8\u662f\u949d\u89d2\u3002\u5982\u679c\u662f\u9510\u89d2\uff0c\u90a3\u4e48\u53d6\u6b63\u53f7\uff1b\u949d\u89d2\uff0c\u90a3\u4e48\u53d6\u8d1f\u53f7\u3002\u5f85\u6c42\u51fa\u03b8\u4ee5\u540e\uff0c\u5982\u679c\u4e8c\u9762\u89d2\u662f\u9510\u89d2\uff0c\u90a3\u4e48\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5927\u5c0f\u5c31\u662f\u03b8\uff1b\u949d\u89d2\uff0c\u90a3\u4e48\u4e8c\u9762\u89d2\u7684\u5927\u5c0f\u5c31\u662f\u03c0-\u03b8\u3002
\u8d44\u6599\u94fe\u63a5\uff1a\u767e\u5ea6\u767e\u79d1 \u4e8c\u9762\u89d2

\u7b54\uff1a1\u3001\u5982\u679c\u77e5\u9053\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\uff0c\u5c31\u7528\u8fd9\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\u7684\u70b9\u79ef\u9664\u4ee5\u4e24\u4e2a\u6cd5\u5411\u91cf\u7684\u6a21\u7684\u79ef\uff1b\u5f97\u51fa\u4e24\u4e2a\u6cd5\u5411\u91cf\u7684\u4f59\u5f26\u503c\u3002\u8fd9\u4e2a\u4f59\u5f26\u503c\u662f\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u89d2\u7684\u8d1f\u4f59\u5f26\u503c\uff1b\u5982\u679c\u5e73\u9762\u89d2\u4e3aa\uff0c\u8fd9\u4e2a\u4f59\u5f26\u503c\u5c31\u662fcos\uff08180D-a\uff09=-cosa\u3002sina=\u221a(1-cos^2a)(\u662f\u6b63\u6570-\u7b97\u6570\u6839)\uff1b\u6b63\u5207\u503c\uff1atana=sina/-cosa\u3002
2\u3001\u5728\u4e0d\u77e5\u9053\u5e73\u9762\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\u7684\u6761\u4ef6\uff0c\u4e0b\u627e\u51fa\u4e24\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u6bcf\u4e00\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u4efb\u610f\u4e24\u6761\u8fb9\uff08\u540c\u4e00\u5e73\u9762\u5185\u7684\u4e24\u6761\u8fb9\u53ea\u8981\u662f\u4e0d\u76f8\u4e92\u5782\u76f4\u5c31\u53ef\u4ee5\uff09\uff1b\u505a\u51fa\u6bcf\u6761\u8fb9\u7684\u5411\u91cf\uff0c\u540c\u4e00\u5e73\u9762\u5185\u7684\u4e24\u6761\u5411\u91cf\u7684\u53c9\u79ef\u5c31\u662f\u8fd9\u4e2a\u5e73\u9762\u7684\u6cd5\u5411\u91cf\uff08\u6ce8\u610f\u5982\u679c\u65e0\u6cd5\u5224\u65ad\u4e24\u9762\u89d2\u662f\u9510\u89d2\u8fd8\u662f\u949d\u89d2\uff0c\u6309\u7167\u53f3\u624b\u7cfb\u4f7f\u6cd5\u5411\u91cf\u6307\u5411\u5e73\u9762\u89d2\u7684\u5185\u90e8\u65b9\u5411\uff09\uff1b\u7136\u540e\u6c42\u4e24\u4e2a\u6cd5\u5411\u91cf\u7684\u4f59\u5f26\u503c\uff1b\u5176\u5b83\u540c1\u3002

1、向量法，利用公式cosθ=|mn|/(|m|*|n|)（锐角）或cosθ=-|mn|/(|m|*|n|)（钝角）
2、三垂线定理及其逆定理
（1）在其中一个平面内找一点，作另一个面的垂线。一般情况下这个点是平面边界上的特殊点
（2）过垂足向棱作垂线
（3）连接垂足与斜足即可得到二面角。
有时也可以利用定义法、垂面法、面积射影定理等，最多的当然还是三垂线定理。

二面角的余弦值
如果对图形敏感且熟练，对一些问题可以用几何法
如果题目难度较大或对图形难以分析的时候用向量法（建系）
怎么说呢，建系相对来说比较万金油
注意，向量法求出来的余弦值其实是|cosa|，要判断正负

建系求法向量

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