1平方+3平方+5平方+7平方+…………+n平方=? 有什么直接的公式 把n代入就可算出 1平方+3平方+5平方……+99平方=？
1\u5e73\u65b9+2\u5e73\u65b9+3\u5e73\u65b9+4\u5e73\u65b9+\u2026\u2026\u2026\u2026+n\u5e73\u65b9=? \u6709\u4ec0\u4e48\u76f4\u63a5\u7684\u516c\u5f0f \u628an\u4ee3\u5165\u5c31\u53ef\u7b97\u51fan(n+1)(2n+1)/6.
\u5bf9(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1\u6c42\u548c:
(n+1)^3 - n^3 = 3n^2 + 3n + 1
n^3 - (n-1)^3 = 3(n-1)^2 + 3(n-1) + 1
\u2026\u2026
2^3 - 1^3 = 3*1^2 + 3*1 + 1
\u76f8\u52a0\u540e\uff1a(n+1)^3 - 1^3 = 3\uff081^2 + \u2026\u2026 + n^2\uff09+ 3\uff081+2+ \u2026\u2026 + n\uff09+\uff081+\u2026\u2026 +1\uff09
\uff1a(n+1)^3 - 1^3 = 3\uff081^2 + \u2026\u2026 + n^2\uff09+ 3\uff08n*(n+1)/2\uff09+n\uff0c\u6574\u7406\u540e\u65e2\u5f97\u3002
an = (2n-1)^2
= 4n^2 -4n +1
= 4n(n-1) +1
= (4/3)[ (n-1)n(n+1) -(n-2)(n-1)n ] + 1
Sn = a1+a2+...+an
=(4/3)(n-1)n(n+1) + n
1^2+2^2+...+99^2
=S50
=(4/3)(49)(50)(51) + 50
=166650
因为（1+a）^3=a^3+3*a^2+3*a+1
所以有
（1+1）^3=1^3+3*1+3*1+1
（1+2）^3=2^3+3*2+3*2+1
（1+3）^3=3^3+3*3+3*3+1
……
（1+n）^3=n^3+3*n+3*4+1
累加,
(1+n)^3=1+3*S+3*（1+2+3+…+n）+n
所以，S= =n*(n+1)*(2n+1)/6
1的平方+2的平方+3的平方+...+n的平方=（n*(n+1)*(2n+1))/6
证明1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6
1，N＝1时，1＝1（1＋1）（2×1＋1）/6＝1
2，N＝2时，1＋4＝2（2＋1）（2×2＋1）/6＝5
3，设N＝x时，公式成立，即1＋4＋9＋……＋x2＝x(x+1)(2x+1)/6
则当N＝x＋1时，
1＋4＋9＋……＋x2＋（x＋1）2＝x(x+1)(2x+1)/6＋（x＋1）2
＝（x＋1）[2（x2）＋x＋6（x＋1）]/6
＝（x＋1）[2（x2）＋7x＋6]/6
＝（x＋1）（2x＋3）（x＋2）/6
＝（x＋1）[（x＋1）＋1][2（x＋1）+1]/6
也满足公式
4，综上所述，平方和公式1＋4＋9＋……＋N2＝N(N+1)(2N+1)/6成立，得证
绛旓細灏忓1鍒20鐨骞虫柟鏁扮殑鍙ｈ瘈濡備笅 1²=1 2²=4 3²=9 4²=16 5²=25 6²=36 7²=49 8²=64 9²=81 10²=100 11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225 16²=256 17²=289 18&...
绛旓細1鍒25骞虫柟鍙ｈ瘈锛1-9鐨勫钩鏂癸細鍘熸暟鍔犲熬鏁帮紝灏惧钩鏂癸紱閫10杩涗綅锛11-19鐨勫钩鏂癸細灏惧姞15锛10鍑忓熬鍐嶅钩鏂癸紝鍗2浣嶏紱20-25鐨勫钩鏂癸細灏惧姞浜屽崄浜旓紝灏惧钩鏂瑰崰2浣嶃1鍒20鐨勫钩鏂规牴锛1²=1锛2²=4锛3²=9锛4²=16锛5²=25锛6²=36锛7²=49锛8²=64锛9&#...
绛旓細1² = 1锛 2² = 4 锛3² = 9锛 4² = 16锛 5² = 25锛 6² = 36 锛7² = 49 锛8² = 64 锛9² = 81 锛10² = 100銆11² = 121锛 12² = 144 锛13² = 169 锛14² = 196 锛15²...
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绛旓細1²锛3²锛5²锛7²...+51²=(2脳1-1)^2+(2脳2-1)^2+...(2脳26-1)^2 =4(1^2+2^2+...+26^2)-4(1+2+...+26)+51 =4脳(26)(26+1)(53)/6-4脳26脳(1+26)/2+51 =24804-1404+51 =23451 ...
绛旓細5²=(2脳3-1)²=4脳3²-4脳3+1.7²=(2脳4-1)²=4脳4²-4脳4+1 锛岋紝锛47²=(2脳24-1)²=4脳24²-4脳24+1 49²=(2脳25-1)²=4脳25²-4脳25+1.绱姞鍙煡锛屽師寮=4(1²+2²+3²+4&...
