已知fx在[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f0=0 f1=1,
^令g(x)=x^3*f(x),则g(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导
因为g(0)=0,g(1)=f(1)=0,所以根据罗尔定理
存在ξ∈(0,1),使得g'(ξ)=0
3ξ^2*f(ξ)+ξ^3*f'(ξ)=0
3f(ξ)+ξf'(ξ)=0
证毕
例如:
令g(x)=xf(x),0<=x<=1.
那么g(0)=g(1)=0,g'(x)=xf'(x)+f(x).
则根据罗尔定理,存在ξ∈(0,1),使得g'(ξ)=ξf'(ξ)+f(ξ)=0,即f'(ξ)=-f(ξ)/ξ.
扩展资料:
证明:因为函数 f(x) 在闭区间[a,b] 上连续,所以存在最大值与最小值,分别用 M 和 m 表示,分两种情况讨论:
若 M=m,则函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上必为常函数,结论显然成立。
若 M>m,则因为 f(a)=f(b) 使得最大值 M 与最小值 m 至少有一个在 (a,b) 内某点ξ处取得,从而ξ是f(x)的极值点,又条件 f(x) 在开区间 (a,b) 内可导得,f(x) 在 ξ 处取得极值,由费马引理,可导的极值点一定是驻点,推知:f'(ξ)=0。
另证:若 M>m ,不妨设f(ξ)=M,ξ∈(a,b),由可导条件知,f'(ξ+)<=0,f'(ξ-)>=0,又由极限存在定理知左右极限均为 0,得证。
参考资料来源:百度百科-罗尔中值定理
令:F(x)=x^2*f(x)
当x=0时,F(0)=0^2*f(0)=0
当x=1时,F(1)=1^2*f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内连续,F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:
存在g∈(0,1),使得f'(g)=0
而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
故有:2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)
即得:-2f(g)=g*f'(g)
故:f'(g)=-2f(g)/g
绛旓細绛夊紡宸﹁竟锛岀Н鍒嗕腑鍊煎畾鐞嗭細3*f(尉)*(1-2/3)=f(尉)=f(0) (0<尉<1)鍥犳锛氾紙0锛1锛夊唴鑷冲皯涓涓瀬鍊肩偣锛屽嵆瀛樺湪尉锛0锛1锛夛紝浣縡 '(尉)=0 寰楄瘉
绛旓細搴旂敤瀹氱Н鍒嗕腑鍊煎畾鐞嗭細瀛樺湪尉1鈭堬紙0锛1锛変娇寰 鈭(0鈫1)f(x)dx=f(尉dao1)(1-0)=f(尉1)鎵浠ワ紝f(尉1)=f(2) 鍐嶆搴旂敤缃楀皵瀹氱悊锛屽瓨鍦ㄎ锯垐锛埼1锛2锛夈愬綋鐒段锯垐锛0锛2锛夈 浣垮緱锛歠'(尉)=0 涓鑸畾鐞 瀹氱悊1锛氳f(x)鍦ㄥ尯闂碵a,b]涓婅繛缁紝鍒檉(x)鍦╗a,b]涓婂彲绉傚畾鐞2锛氳f(x...
绛旓細璁緂(x)=f(x)-x²+x/2 g(0)=f(0)-0+0=0 g(1/2)=f(1/2)-1/4+1/4=0 g(1)=f(1)-1+1/2=0.5-1+1/2=0 鍥犳g(x)鍦╗0锛1]鍐呮湁涓変釜闆剁偣锛屼笖g(x)鏄剧劧鏄簩闃跺彲瀵肩殑 鐢辩綏灏斿畾鐞嗭細瀛樺湪畏1鈭(0锛1/2)锛屛2鈭(1/2锛1)浣匡細g'(畏1)=0锛実'(畏2)=0 ...
绛旓細璁捐繃A ,B 鐨勭洿绾垮嚱鏁颁负y=g(x)鍒檉(0)=g(0) f(c)=g(c) f(1)=g(1)鐢辨媺鏍兼湕鏃ヤ腑鍊煎畾鐞嗗緱锛歔f(c)-f(0)]/(c-0)=f'(m)=[g(c)-g(0)]/(c-0)=g'(x) 0
绛旓細鐢宸茬煡鏈塮(x)鍦╗0,1]涓婅繛缁,鏁呭彉鍑芥暟F(x)鍙锛屼笖瀵兼暟涓2f(x)f'(x)S(0,x)f(t)dt-3f^3*f'(x)锛孲(0,x)f(t)dt鎸囬偅涓Н鍒嗐
绛旓細绗涓棰樼殑绛旀鏄0 鈭玣(x)dx涓庣Н鍒嗗彉閲忔槸鏃犲叧鐨勶紝涔熷氨鏄杩欓噷鐨剎鍙互鏀规垚浠绘剰鍙橀噺锛屾墍浠ヨ鈭玣(x)dx涓庘埆f(t)dt鏄竴涓剰鎬濓紝杩欓噷鐨勭Н鍒嗕笌f(t)dt鏄惁杩炵画鏄病鏈夊叧绯荤殑銆傛湜閲囩撼o!!!
绛旓細鍙堝洜涓烘槸鍗曡皟閫掑噺,瀹氱Н鍒哸~1灏忔柤f(a)*(1-a)鎵浠ユ垜浠湁涓や釜寮忓瓙 宸﹀紡涓轰粠0~a鐨勫畾绉垎 鍙冲紡涓篴*(0~a+f(a)*(1-a))鎶婁袱渚у悓鍑廰*(0~a)宸﹀紡鍙樻垚(0~a)*(1-a)鍙冲紡鍙樻垚f(a)*(1-a)*a 鍚岄櫎(1-a),姝ら」鎭掓鎵浠ヤ笉鐢ㄥ彉鍙 宸﹀紡鍙樻垚(0~a)鍙冲紡鍙樻垚f(a)*a 鍦ㄧ敱涓棿鍊煎畾鐞嗗彲鐭...
绛旓細瀹屽叏鍙互锛屽彲瀵煎繀杩炵画
绛旓細f(0)>0, f(1/2)<0, f(x)鍦╗0,1]涓婅繛缁紝鍥犳锛屽瓨鍦╝,婊¤冻0<a<1/2,浣垮緱f(a)=0.f(1/2)<0, f(1)>0, f(x)鍦╗0锛1]涓婅繛缁紝鍥犳锛屽瓨鍦╞,婊¤冻1/2<b<1,浣垮緱f(b)=0.f(a)=f(b)=0, 0<a<1/2<b<1. f(x)鍦╗0锛1]涓婅繛缁紝鍥犳f(x)鍦╗a,b]涓婅繛缁俧(x)...
绛旓細+f''(c1)(0锛峹)^2/2,f(1)锛漟(x)+f'(x)(1锛峹)+f''(c2)(1锛峹)^2/2.涓ゅ紡鐩稿噺,寰 f'(x)锛漟''(c1)x^2/2锛峟''(c2)(1锛峹)^2/2,鍙栫粷瀵瑰煎苟鍒╃敤鏉′欢寰 |f'(x)|<=M/2(x^2+(1锛峹)^2)<=M/2.鏈鍚庣殑涓嶇瓑寮忔槸鍥犱负x^2+(1锛峹)^2鍦╗0,1]涓鐨勬渶澶у兼槸1.