概率统计问题：若X、Y服从二维正态分布，且X、Y的相关系数为0，那么可以得出XY相互独立的结论吗？ 已知X,Y都服从正态分布，且相关系数为0，那么X与Y独立吗？

\u6982\u7387\u8bba\u4e8c\u7ef4\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u95ee\u9898\u3002\u4e66\u4e0a\u8bf4\uff0c\u5373\u4f7fx\u548cy\u90fd\u670d\u4ece\u6b63\u6001\u5206\u5e03\uff0c\u751a\u81f3\u76f8\u5173\u7cfb\u6570\u7b49\u4e8e\u96f6\uff0cxy\u7684\u8054\u5408\u5206\u5e03\u4e5f\u672a\u5fc5

\u72ec\u7acb\u5219\u76f8\u5173\u7cfb\u6570\u4e3a0\uff0c\u76f8\u5173\u7cfb\u6570\u4e3a0\u4e0d\u4e00\u5b9a\u72ec\u7acb\u3002
P=0\u548cXY\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u4e92\u4e3a\u5145\u8981\u6761\u4ef6\u7684\u524d\u63d0\u662fxy\u670d\u4ece\u800c\u4e3a\u4e8c\u7ef4\u6b63\u6001\u5206\u5e03\uff0c\u7531xy\u5206\u522b\u4e3a\u6b63\u6001\u5206\u5e03\uff0cp=0\u4e0d\u80fd\u63a8\u51faxy\u72ec\u7acb\uff0c\u6240\u4ee5\u4e0d\u80fd\u63a8\u51faxy\u670d\u4ece\u4e8c\u7ef4\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u3002
\u53ea\u8981\u662f2-dim\u6b63\u6001\uff0c\u90a3\u4e48\u4e24\u4e2a\u8fb9\u7f18\u5c31\u670d\u4ece1-dim\u6b63\u6001\uff0c\u4e24\u4e2arv\u7684\u4efb\u610f\u7ebf\u6027\u7ec4\u5408\u4e5f\u670d\u4ece1-dim\u6b63\u6001\u3002\u548c\u4e24\u4e2arv\u72ec\u4e0d\u72ec\u7acb\u6ca1\u5173\u7cfb\u4e5f\u5c31\u662f\u548c\u76f8\u5173\u7cfb\u6570\u7b49\u4e0d\u7b49\u4e8e0\u4e5f\u6ca1\u5173\u7cfb\u3002
\u56fe\u5f62\u7279\u5f81
\u96c6\u4e2d\u6027\uff1a\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u7684\u9ad8\u5cf0\u4f4d\u4e8e\u6b63\u4e2d\u592e\uff0c\u5373\u5747\u6570\u6240\u5728\u7684\u4f4d\u7f6e\u3002
\u5bf9\u79f0\u6027\uff1a\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u4ee5\u5747\u6570\u4e3a\u4e2d\u5fc3\uff0c\u5de6\u53f3\u5bf9\u79f0\uff0c\u66f2\u7ebf\u4e24\u7aef\u6c38\u8fdc\u4e0d\u4e0e\u6a2a\u8f74\u76f8\u4ea4\u3002
\u5747\u5300\u53d8\u52a8\u6027\uff1a\u6b63\u6001\u66f2\u7ebf\u7531\u5747\u6570\u6240\u5728\u5904\u5f00\u59cb\uff0c\u5206\u522b\u5411\u5de6\u53f3\u4e24\u4fa7\u9010\u6e10\u5747\u5300\u4e0b\u964d\u3002
\u66f2\u7ebf\u4e0e\u6a2a\u8f74\u95f4\u7684\u9762\u79ef\u603b\u7b49\u4e8e1\uff0c\u76f8\u5f53\u4e8e\u6982\u7387\u5bc6\u5ea6\u51fd\u6570\u7684\u51fd\u6570\u4ece\u6b63\u65e0\u7a77\u5230\u8d1f\u65e0\u7a77\u79ef\u5206\u7684\u6982\u7387\u4e3a1\u3002\u5373\u9891\u7387\u7684\u603b\u548c\u4e3a100%\u3002

\u7ed3\u8bba\uff1a1\u5f53x\uff0cy\uff0c\u5206\u522b\u53ef\u4ee5\u63a8\u670d\u4ece\u4e00\u7ef4\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u72ec\u7acb\u4e0d\u76f8\u5173\u4e0d\u76f8\u5173\u4e0d\u63a8\u72ec\u7acb\u7684\u6ce8\u610f\u4e8b\u9879\u3002
2\u8fc7\u4e8e\u5206\u5e03\uff08\u7684x\uff0cy\uff09\uff0c\u76f8\u5173\u7684\u548c\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\u7684\u4e8c\u7ef4\u7684\u5fc5\u8981\u548c\u5145\u5206\u7684\u6761\u4ef6
3\u65f6\u7684x\uff0cy\uff0c\u5206\u522b\u670d\u4ece\u4e00\u7ef4\u7684\u6b63\u5e38\u5206\u5e03\uff0c\u548c\u7684x\uff0cy\u72ec\u7acb\uff0c\uff08xy\uff09\u7684\u662f\u4e8c\u7ef4\u5e38\u6001
4\u5f53x
Y\u7684\uff0c\u5206\u522b\u670d\u4ece\u4e00\u7ef4\u6b63\u6001\u5206\u5e03\u4e2d\uff0cx
+
y\u53ef\u4ee5\u662f\u4e00\u7ef4\u7684\uff0c\u6839\u636e\u7ed9\u51fa\u7684\u5177\u4f53\u6761\u4ef6\u3002

对X、Y服从二维正态分布，可以。原因是，相关系数ρXY=0，说明X、Y不相关。X、Y不相关，可以得出X、Y相互独立【由其密度函数亦可证】。

璁(X,Y)鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯(1,0;9,16;-1/2),璁癦=X/3+Y/2,璇曟眰X涓嶼鐨勭浉 ...
绛旓細绠鍗曡绠椾竴涓嬪嵆鍙紝绛旀濡傚浘鎵绀

璁句簩缁撮殢鏈哄彉閲(X,Y)鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯(1,-1;4,9;0),鍒橢(X^2Y^2)=
绛旓細缁撴灉涓猴細50 瑙ｉ杩囩▼濡備笅锛氳В锛氣埖 锛x锛寉锛墌N锛0锛0锛1锛1锛0锛夆埓X~N(0,1)锛孻~N(0,1)涓擷涓嶻鐙珛 鈭礨/Y<0锛屽嵆X涓嶻鍙嶅彿 鈭 P锛圶/Y<0锛塃(X)=1 D(X)=4 E(X^2)=D(X)+E(X)^2=5 E(Y)=1 D(Y)=9 E(Y^2)=D(Y)+E(Y)^2=10 鈭碋(X^2Y^2)=E(X^2)E...

璁(X,Y)鏈嶄粠浜岀淮鍧囧寑鍒嗗竷,鍏姒傜巼瀵嗗害涓篺(x,y)=1/4 0鈮鈮,0鈮鈮2...
绛旓細婊℃剰鎴戠殑绛旀锛岃閲囩撼锛岃阿璋紝涓嶆噦鐨勮瘽锛屾杩庤拷闂璁 濡傛灉婊℃剰鎴戠殑鍥炵瓟锛岃閲囩撼锛岃阿璋綘鍟︼紒

璁(X,Y)鏈嶄粠浜岀淮鍧囧寑鍒嗗竷,鍏姒傜巼瀵嗗害涓篺(x,y)=1/4 0鈮鈮,0鈮鈮2...
绛旓細瀵逛簬杩欑棰樻潵璇达紝璁╀綘姹傛鐜囧瘑搴﹀嚱鏁帮紝浣犱竴瀹氳鍏堟妸鍒嗗竷鍑芥暟琛ㄧず鍑烘潵鑰屼笖瀵逛簬鍧囧寑鍒嗗竷鐨浜岀淮闅忔満鍙橀噺锛屽畠鐨勫垎甯冨嚱鏁版槸闈炲父濂藉啓鐨勶紝浣犲彧闇瑕佺浉搴旂殑璁ㄨ锛岃璁哄畬涔嬪悗鎵姹傜殑姒傜巼灏辨槸瀹冪殑闈㈢Н锛屾墍浠ュ氨涓嶇敤绠楃Н鍒嗕簡锛岀洿鎺ユ眰瀹冪殑闈㈢Н灏卞彲浠ユ妸瀹冨綋鎴姒傜巼锛鎴栬呰锛屼綘瑕佹槸绉垎涔熻锛屽氨鏄Н鍒嗙殑杩囩▼姣旇緝澶嶆潅锛...

璁鹃殢鏈哄彉閲X鍜Y鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯,涓擷涓嶻涓嶇浉鍏,鍒欎笉姝ｇ‘鐨勬槸
绛旓細鍒╃敤鎺掗櫎娉 褰揦銆乊鐩镐簰鐙珛鏃,鏈塃锛XY锛=E锛圶锛塃锛圷锛,鍒橝銆丆绛変环,鍥犱负姝ｇ‘绛旀鍙湁涓涓,鎵浠銆丆姝ｇ‘,濡傛灉C姝ｇ‘,閭ｄ箞D灏变笉姝ｇ‘.鏁呴塂 鍥犱负X涓嶻涓嶇浉鍏,鎵浠ハxy=0,寰桟ov(X,Y)=0,鏁匘锛圶+Y锛=D锛圶锛+D锛圷锛-2Cov锛圶,Y锛=D锛圶锛+D锛圷锛,鎵浠姝ｇ‘.

姒傜巼锝炴鎬佸垎甯冿綖鐙珛鎬闂銆 x,y鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ,x~N(1,3^2), y~N...
绛旓細z鐢眡涓巠琛ㄧず锛寈銆y鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯冿紝浠庤寈銆亃鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯冦傚浜庝簩缁存鎬佸垎甯冩潵璁诧紝涓嶇浉鍏充笌鐙珛鏄瓑浠峰懡棰橈紝鎵浠ョ敱涓嶇浉鍏崇洿鎺ユ帹鍑轰袱鑰呯嫭绔嬨

闅忔満鍚戦噺(X,Y)鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯,X鍜孻鐨勬湡鏈涘煎垎鍒负1鍜0,鏂瑰樊鍒嗗埆涓1...
绛旓細X-Y涔熸槸姝ｆ佸垎甯冦侲(X-Y)=EX-EY=1-0=1 D(X-Y)=DX+DY-2cov(X,Y)=1+4-2蟻(DXDY)^(1/2)=7 鏁匵-Y~N(1,7)

姹傝В杩欓亾澶у姒傜巼璁洪!浜岀淮杩炵画鍨嬮殢鏈哄彉閲(X, Y)鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯
绛旓細鏂规硶涓锛氬洜涓篺(x,y)鐨勮寖鍥翠负鏁翠釜骞抽潰锛岃孹<Y姝ｅソ骞冲垎浜嗘暣涓钩闈紝鏁姒傜巼鏄1/2;鏂规硶浜岋細绉垎锛屽皢鏁翠釜骞抽潰鐪嬩綔鏄法澶х殑鍦嗭紝绉垎鑼冨洿鏄紙蟺/4,5蟺/4锛夛紝锛0锛屾鏃犵┓锛夛紝瀵筬(x,y)杩涜绉垎锛屽寲浣滄瀬鍧愭爣褰㈠紡锛岃В寰楁鐜囨槸1/2

姒傜巼闂,(X,Y)鏄浜岀淮杩炵画鍨嬮殢鏈哄彉閲,閭XY涔嬮棿鏈変粈涔堝叧绯绘病鏈,X+Y鏄...
绛旓細X锛孻涔嬮棿鐨勫叧绯绘槸鏍规嵁瀹為檯鎯呭喌鑰屽畾鐨勶紝鍙互鐙珛锛屼篃鍙互鏈変竴瀹氬叧绯 姣斿锛孹锛孻閮芥湇浠庢爣鍑嗘鎬佸垎甯冿紝涓旂嫭绔嬶紱姣斿锛X鏈嶄粠[0锛1]涓婄殑鍧囧寑鍒嗗竷锛孻=-X锛岄偅涔Y鏈嶄粠[-1锛0]涓婄殑鍧囧寑鍒嗗竷锛屼笖鏈塝=-X锛沊+Y锛屽彲浠ヨ涓哄彟涓涓殢鏈哄彉閲忥紝瀹冪殑鍙栧煎氨鏄疿+Y ...

璁句簩缁撮殢鏈哄彉閲(X,Y)鏈嶄粠浜岀淮姝ｆ佸垎甯,,姹(X,Y)鐨勮仈鍚姒傜巼瀵嗗害鍑芥暟f...
绛旓細濂楀叕寮忓嵆鍙.蟽1^2=DX=16,蟽2^2=DY=25.蟻=Cov(X,Y)/(蟽1蟽2)=0.6,鈭(1-蟻^2)=0.8.f(x,y)=锛1/32蟺锛塭^{(-25/32)[x^2/16-3xy/50+y^2/25]}

扩展阅读：高中概率公式一览表 ... 概率c上3下6 ... 高中概率题十大题型 ... 高中概率统计知识归纳 ... 概率学十大经典书籍 ... 压大小稳赢公式 ... 数学偏科是智商差吗 ... 自学微积分智商要多高 ... 大小倍投只投4把 ...