线性振动的单自由度系统的线性振动
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指可用一个广义坐标来确定系统位置的线性振动。它是最简单最基本的振动，许多振动的基本概念和特征可由此引出。它包括简谐振动、阻尼振动和受迫振动。 物体在与位移成正比的恢复力作用下，在其平衡位置附近按正弦规律作往复的运动（图1）。以x表示位移，t表示时间，这种振动的数学表达式为：
， （1）
式中A为位移x的最大值，称为振幅，它表示振动的强度；ωn表示每秒中的振动的幅角增量，称为角频率，也称圆频率；称为初相位。以f=ωn/2π表示每秒中振动的周数，称为频率；它的倒数，T=1/f，表示振动一周所需的时间，称为周期。振幅A、频率f（或角频率ωn）、初相位，称为简谐振动三要素。
图1 简谐振动曲线
如图2所示，由线性弹簧联结的集中质量m构成简谐振子。当振动位移自平衡位置算起时，其振动方程为：
，
式中为弹簧的刚度。上式的通解就是（1）。A和可由t=0时的初始位置x0和初速度决定：
，
但ωn只由系统本身的特征m和k决定，与外加的初始条件无关，故ωn亦称固有频率。
图2 单自由度系统
对于简谐振子，其动能和势能之和为—常量，即系统的总机械能守恒。在振动过程中，动能和势能不断相互转化。 存在摩擦和介质阻力或其他能耗，而使振幅不断衰减的振动。对于微振动，速度一般不很大，介质阻力与速度一次方成正比，可写作，c为阻尼系数。所以具有线性阻尼的单自由度振动方程可写作：
， （2）
式中β=c/2m称为阻尼参变量，。式（2）的通解可写作：
。 （3）
依据ωn和β之间的数值关系可分为以下三种情况：
①ωn>β（小阻尼情况） 质点产生衰减振动，其振动方程为：
，
其振幅按方程所示的指数规律随着时间的推移而减小，如图3虚线所示。严格地说，这种振动是非周期性的，不过按式（3）可定义其峰值的频率为：
。
称为减幅率，其中为振动周期。减幅率的自然对数δ称为对数减（幅）率；显然，δ=β，式中=2π/ω1。直接通过实验测定δ和，利用上式即可求出c。
②（临界阻尼情况） 此时式（2）的解可写作：
它随初速度的方向又可分为如图4所示的三种非振动情况。
③ωn<β（大阻尼情况） 式（2）的解如式（3）。这时，系统已不是振动的了。 系统在经常性激励作用下的振动。振动分析主要是考察系统对激励的响应。周期激励是一种典型的经常性激励。由于周期激励总可分解为若干个谐和激励之和，故根据叠加原理，只要求出系统对各个谐和激励的响应，再把它们叠加起来，就可得到系统对周期激励的总响应。单自由度带阻尼的系统在谐和激励的作用下，运动微分方程可写作：
。
其响应是两部分的和，一部分是阻尼振动的响应，这部分随时间增大而迅速衰减；另一部分受迫振动的响应可写作：
，
图3 阻尼振动曲线
图4 临界阻尼三种初始条件的曲线
式中
h/F0=H（），为定常响应振幅与激励振幅之比，表征幅频特性，或称增益函数；ψ为定常响应和激励的相位差，表征相频特性。它们与激励频率的关系见图5和图6。
从幅频曲线（图5）可以看出，在小阻尼情况下，幅频曲线具有单峰；阻尼愈小，峰愈陡；对应于峰顶的频率称为系统的共振频率。在小阻尼情况，共振频率与固有频率差别不大。当激振频率与固有频率接近时，振幅急剧增加，这种现象称为共振（谐振）。在共振时，系统的增益取极大值，即受迫振动最为激烈。故在一般情形下，总是力求避免出现共振，除非某些仪器与设备要利用共振来取得大幅度振动。
图5 幅频曲线
从相频曲线（图6）可以看出，不论阻尼大小，在ω0处，相位差ψ=π/2，这一特点可有效地用于共振测量。
除了定常激励外，系统有时还会遇到非定常激励。它大致可以分为两类：一是突发性的冲击作用。二是任意性的持久作用。在非定常激励下，系统的响应也是非定常的。
分析非定常振动的一个有力工具是脉冲响应法。它用系统的单位脉冲输入的瞬态响应描述系统的动态特性。单位脉冲可以用δ函数表示。在工程上，δ函数常定义为：
，
，
式中0-表示t轴上从左边趋于零的点；0+表示从右边趋于0的点。
图6 相频曲线
图7 任意输入可看作一系列脉冲微元之和
系统对应于在t=0时作用的单位脉冲所产生的响应h(t)，称为脉冲响应函数。假定系统在脉冲作用之前是静止的，则当t<0时，有h(t)=0。知道系统的脉冲响应函数，就可以求系统对任意输入x(t)的响应。这时，可以把x(t)看作一系列脉冲微元的和（图7）。相当于在时作用的一个脉冲，系统对应于它的响应为：
。
基于叠加原理，系统对应于x(t)的总响应为：
。
这一积分称为褶积积分或叠加积分。
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