高二数学题
\u9ad8\u4e8c\u6570\u5b66\u9898\uff081\uff09f(x)=ax³+bx²+cx(a\u22600,x\u2208R\uff09\u4e3a\u5947\u51fd\u6570\uff0c
\u2234b=0,f'(x)=3ax^2+c
f(x)\u5728x=1\u5904\u53d6\u5f97\u6781\u5927\u503c2,
\u2234f(1)=a+c=2,
f'(1)=3a+c=0,
\u89e3\u5f97a=-1,c=3,f(x)=-x^3+3x.
(2)g(x)=-x^2+3+(k+1)lnx,x>0.
g'(x)=-2x+(k+1)/x=(k+1-2x^2)/x,
k<=-1\u65f6g'(x)<0,g(x)\u2193\uff1b
k>-1\u65f6\uff0c00,g(x)\u2191\uff1bx>\u221a[(k+1)/2]\u65f6g'(x)<0,g(x)\u2193\u3002
\uff083\uff09g(x)=-x^2+3+3lnx<x+m,
m>-x^2-x+3+3lnx,\u8bb0\u4e3ah(x)(x>0),
h'(x)=-2x-1+3/x=-2(x-1)(x+3/2)/x,
00,h(x)\u2191\uff1bx>1\u65f6h'(x)<0,h(x)\u2193\uff1a
h(x)<=h(1)=1,
\u2234m\u7684\u53d6\u503c\u8303\u56f4\u662f\uff081,+\u221e\uff09\u3002
Af'(x)=-3x^2\uff08\u4e5f\u662f\u659c\u7387\u7684\u503c\uff09
Bf'(x)=2x \uff08\u659c\u7387\uff09
\u5782\u76f4\u7684\u8bdd \u659c\u7387\u7684\u4e58\u79ef\u4e3a-1
\u56e0\u4e3ay=x^2+3\u4e0ey=2-x^3\u5728X0\u5904\u76f8\u4e92\u5782\u76f4 \u90a3\u4e48
\u5728x=x0\uff0c\u4e5f\u5c31\u662f Af'(x0)* Bf'(x0)=-1
2x*(-3x^2)=-1
\u6c42\u51fa\u89e3\u4e3ax0=1/6^(1/3) \u4e5f\u5c31\u662f1/6\u5f00\u4e09\u6b21\u65b9
~~
双曲线C与椭圆x²/3+y²=1有相同焦点，故双曲线C的半焦距c：c^2=2，
直线y=x是双曲线C的一条渐近线，即：b/a=1，a=b，
又c^2=a^2+b^2=2，所以a^2=b^2=1。
双曲线C的方程为：x^2-y^2=1。
(2)，向量OA与向量OB的数量级等于2，（什么是数量级）
向量OA*向量OB=2， （是这意思不？数量积）
当直线L的斜率不存在时，直线L的方程为：x=1，
代入x^2-y^2=1，得：A、B两点坐标分别为（1，-√2），（1，√2）。
向量OA*向量OB=-1，不合题意。所以直线L的斜率存在。
设直线L的斜率为k， 则直线L的方程为：y=kx-k，
代入x^2-y^2=1，消去y，化简得：(1-k^2)x^2+2k^2x-(k^2+1)=0；
x1+x2=-2k^2/(1-k^2)， x1x2=-(k^2+1)/(1-k^2)。
消去x，化简得：(1-k^2)y^2+2kx-(k^2-k)=0 ，
y1+y2=-2k/(1-k^2)， y1y2=-(k^2-k)/(1-k^2)。
又因为 向量OA*向量OB=2，即
x1x2+y1y2=2，
所以 -(k^2+1)/(1-k^2)-(k^2-k)/(1-k^2)=2，
化简得：1-k=-2， k=3。
所以直线L的方程为：y=3x-3。
(注意：上面还要讨论k^2=1时情况，在此省略了。）
由椭圆c=根号2，得双曲线c=根号2，且焦点在x轴，由渐近线为y=x，得a=b，所以a=b=1，x^2-y^2=1
（2）当斜率不存在时，直线为x=1，直线与双曲线交于一点，x=1，不满足条件，舍去。
当斜率存在时，设斜率为k，则直线方程为y=k(x-1)。与双曲线方程联立为（1-k^2）x^2+2k^2x-k^2-1=0。下面再分类讨论。
当k≠±1时，x1+x2=2k^2/(k^2-1),x1x2=(k^2+1)/(1-k^2)。有条件OA与OB数量级为2可得x1x2+y1y2=2,即x1x2+k^2(x1-1)(x2-1)=2。展开，最终可计算出结果。之后代入方程（1-k^2）x^2+2k^2x-k^2-1=0看此时是否正好有两个实数根。
当k=1或-1时，二元一次方程转化为一元一次方程，得到x=1，可知不符合条件，舍去。
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