傅里叶光学的推导演示 傅里叶光学卷积
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是把通信理论特别是其中的傅里叶分析方法引入光学所形成的一个分支。一个光学信息系统和一个电学信息系统有许多相同之处，它们都是收集信息和传递信息，它们都有共同的数学工具──线性系统理论和傅里叶分析。从信息论角度,关心的是信息在系统中传递过程;同样，对一个光学系统来讲，物和像的关系，也可 以根据标量衍射理论由系统中光场的传播来确定，因此光学系统可以看成一个通信信道。这样，通信理论中已经成熟的线性系统理论可以用来描述大部分光学系统。当物体用非相干光照射时，在系统像平面上强度分布与物体上强度分布成线性（正比）关系。而用来描述电学系统的脉冲响应h(t，τ)概念，即系统对一窄脉冲δ(t)（狄喇克 δ函数）的响应，也可以用来描述光学系统，即用光学系统对点光源δ(x，y)的响应(点光源的像)h(x,y；ξ，η)来描述系统的性质，两者的区别仅仅在于电学系统的脉冲响应是时间一维函数，光学系统的脉冲函数是空间二维函数，另外两者都具有位移不变性，前者分布不随时间位移而变，后者分布不随空间位移而变（即等晕条件）。光学系统的脉冲响应又称点扩展函数（见光学传递函数）。一旦系统的点扩展函数已知，系统对任意物体f(x，y)所成的像g(ξ,η)可以从物体上每个点源产生的点扩展函数的线性叠加求得。在空间位移不变情况下，叠加积分又可简化为卷积。 空间频率 在信息论中,还常用频率响应概念,即输入各种不同频率的信号,观察系统相应的输出,从频率响应曲线可以了解系统对各种频率的传递情况。在光学系统中同样可以引入频率响应的概念，所不同的是瞬时频率响应由空间频率响应所代替。与瞬时频率是时间函数acosωt周期的倒
一样，可以定义空间函数的周期d的倒数v=1/d(单位：线/毫米)为空间频率。以最简单的物体──光栅──为例，可用函数1+Acos(2πvx)表示，其中v=1/d，d是光栅常数。
根据傅里叶分析,任意复杂物体f(x，y)可写成傅里叶变换关系式，
式中F(vx,vy)是物体的空间频谱 。其物理意义是把复杂f(x,y)分解成许多简单基元函
的线性组合, 而空间频谱F(vx，vy)只不过是一个权重因子，把它加到各自基元函数上。基元函数可更形象地看成是一些不同取向〔θ=tg-1(vy/vx)〕、不同空间周期L=的光栅（图1），而每一个这种光栅在物函数中所占比重用权重因子──空间频谱F(vx，vy)所定。这样，一个光学系统对f(x，y)的响应可分解为对各个基元函数的响应，再把每个响应叠加起来，便得到总的响应。同样，可以写出逆变换。 对已知物体f(x，y)可以算出它的空间频谱分布。
透镜的傅里叶变换性质 从标量衍射理论知道，考虑旁轴近似条件，在菲涅耳衍射（近场）区内，孔径平面(x，y)与观察平面(ξ，η)上光场之间的关系为
称为菲涅耳变换。式中f(x，y) 是衍射孔径平面上光场振幅，g(ξ，η)是观察平面上的光场振幅，с是常数位相因子，u=2πξ/λz，υ=2πη/λz是空间角频率，z是平面之间距离。由上式可
互为傅里叶变换关系，其
是二次相位因子。当观察平面远离孔径平面时，上式变为夫琅和费衍射(远场)。
此时衍射图像 g(ξ，η)为孔径平面中光场分布f(x，y)的傅里叶变换,或称为f(x，y)的空间频谱。有趣的是一个薄凸透镜的透过率函
(其中 f为透镜的焦距)正好与菲涅耳衍射中二次相位因子抵消,结果在透镜的后焦平面上光场分布g(ξ，η)就变为 f(x，y)的傅里叶变换或空间频谱。这时空间角频率u=2πξ/λf，υ=2πη/λf，当入射光波波长λ和透镜焦距f不变时，空间频率vx=ξ/λf，vy=η/λf分别与后焦面上空间坐标ξ，η成比例。由此可见，凸透镜的作用就是把远处的夫琅和费衍射图样拉近到后焦面上。可以证明当孔径平面放在透镜的前焦面上时，常数相位因子消失，这时f(x,y)和g(ξ，η)之间有精确傅里叶变换关系(图2)。
傅里叶光学
傅里叶光学
利用透镜前后焦面上光场分布互为傅里叶变换的关系，可以分析各种图像的空间频谱，并对图像进行识别和分类，利用透镜的傅里叶变换性质经空间滤波，可以使一个光学系统具有数学模拟运算能力，被称为“光计算机”。
空间滤波 光学信息处理、相干光处理、信号处理、图像处理以及图像（或模式）识别等名称都与相 干光系统中空间频率滤波有关。
利用凸透镜后焦面上显示物的夫琅和费衍射图样的有趣事实，以及在透镜的前后焦面上光场振幅互为傅里叶变换的关系，可用纯光学方法十分方便地实现在数学上繁琐的二维傅里叶积分运算。并把信息论中滤波概念引进到光学中，即不仅仅分析物的空间频谱，还可通过滤波达到综合的目的，与时间函数的频谱可按某种方式来改变一样，通过改变物函数的空间频谱的方法以改变物的信息含量。这种傅里叶综合在近代光学中已取得重要进展的例子有泽尔尼克相衬显微镜、光学匹配滤波器、合成孔径雷达数据的光学处理、各种图像增强技术、模糊图像恢复等。
其实空间滤波这个概念不是新的，1873年E.阿贝在显微镜成像理论中已经提出了此概念。1906年A.B.波特用来验证阿贝理论的实验就是最早空间滤波实验。20世纪50年代法国P. -M.迪费欧致力于把傅里叶积分应用于光学，A.马雷夏尔通过振幅和相位滤波改善成像系统的传递函数,，使照片的质量得到了一定程度的改善（图3）。他在这方面的成功引起了人们对光学信息处理的浓厚兴趣。60年代，由于激光器的出现，使相干光处理系统有了理想相干光源，空间滤波的研究工作得到了突飞猛进的发展。例如：扫描线和半色调网点的去除，反衬度增强、边缘锐化、在相加性噪声中提取周期信号、像差平衡、数据互相关、匹配滤波(图像识别)、逆滤波（模糊图像恢复）等。
相干光处理系统如图4所示。激光器输出相干光经准直系统扩束后照明位于傅里叶透镜L1的前焦面上的物函数，在后焦面上的光场是物函数的傅里叶频谱，在此谱平面上放有振幅（光密度）或相位（光程）变化，或两者都变化的空间滤波器，以改变物函数的傅里叶频谱成分，经空间滤波后的傅里叶频谱由第二透镜L2进行傅里叶逆变换，并在像面上形成一处理后的图像。
空间滤波器大致分为三类：振幅型、相位型和复数型。
最简单的振幅型空间滤波器是低通、高通、带通和方向滤波器等如图5所示。在光密度上是二进制，即只有透明不透明两部分组成。利用低通滤波器可以去掉图像中的周期结构扫描线，因为图像频谱一般集中在零频周围，而周期结构（扫描线）的频谱是对称于零频的周期结构谱，用低通滤波器让图像中零频成分通过，又阻挡了周期结构谱，最后在像平面上显示出消除了扫描线的图像。类似地，方向滤波器可以提取某一方向间隔中的图像信息，因而在地质数据的处理中十分有效,图6为方向滤波加低通滤波去掉扫描线的例子。图7为去除印刷网点的例子。除此之外，振幅滤波器还可以根据需要用照相胶片，严格控制光密度得到连续密度变化的滤波器，这种滤波器在反衬度增强、微分运算中有用。
最著名的相位空间滤波器是泽尔尼克相衬显微镜中的移相板，一般相位滤波器用真空蒸发镀膜方法，或感光胶片经漂白处理制成。
复数型空间滤波器是指滤波器的振幅和相位两者都需要变化，可以分别制作振幅和相位滤波器，然后组成一个复型滤波器。还可用全息术方法来做，即在频谱面上拍摄物函数的傅里叶全息图，它不仅记录了频谱的振幅，还记录了频谱的相位。用全息术制作复型空间滤波器是对光学信息处理的极大促进，利用全息滤波器可以进行匹配滤波、图形相关、模糊图像处理（见图7）、像差平衡等。
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