[MIT 18.06 线性代数] 20. 逆矩阵，克拉默法则，体积

在深入理解行列式的性质之后，让我们探索其在实际问题中的应用，尤其是逆矩阵和克拉默法则。逆矩阵的魔力在于，当矩阵 可逆</ 时，我们可以通过一个巧妙的公式计算它的逆，其中伴随矩阵</ 犹如矩阵的秘密伙伴，每个元素 代数余子式</ 揭示着矩阵的秘密：

逆矩阵公式:</ 如果 A 可逆，其逆矩阵 A^(-1) 可以通过 (A^*)^-1 / det(A) 得到，其中 A* 是 A 的伴随矩阵。

对于对角线上的元素，我们有 ad - bc，即每个元素 (A*)_ii，而非对角线元素则有 (A*)₁₂ = -ad / det(A)，因为两列相同导致行列式为零。这种对称性揭示了逆矩阵的构造奥秘。

克拉默法则，一个优雅的解线性方程组的工具，相较于消元法，虽然计算复杂，但它的魅力在于提供了直接的代数表达式，用来求解方程组。利用行列式的逆矩阵表达式，我们可以构造新的矩阵，比如求解 x 的第一分量时，将矩阵的第1列替换为列向量 [-b1, -b2, ..., -bk]，得到矩阵 M，其行列式即为 det(M)，从而得出 x1 = det(M) / det(A)。

然而，克拉默法则的计算代价高昂，对于 阶方程组</，我们需要计算 (n-1) 个次方的行列式。从另一个角度看，克拉默法则实际上是利用向量的面积来诠释线性代数，例如在二维中，输入向量和自然基向量构成的平行四边形面积，经矩阵变换后，面积变化的倍数恰好是行列式的值。

当矩阵变换影响的不仅是大小，还有方向时，我们可以通过范德蒙行列式来理解，它们反映了向量变换后的几何特性。同时，叉乘，这个看似矛盾的运算，实际上是向量垂直于原平面的法向量，其行列式表达式是将自然基向量视为矩阵的第一行，巧妙地展现了向量运算的内在逻辑。

扩展阅读：mbti官网入口 ... mbti16型人格免费官网 ... whatsapp messenger ... mbti在线测试入口 ... momi交友软件是真人么 ... 16personality测试免费 ... mbti免费版入口 ... mine视频软件 ... 16personalities人格 官网 ...