1+2加到无穷大的求和公式是多少？
1+2加到无穷大的求和公式：1 + 2 + 3 + … 永不停歇地加下去直到无穷，结果是多少呢？直观的结果应该是无穷大∞。可这里我告诉你答案是−112。下面给出证明。
我们要证明公式(1)，需要借助公式(2)和(3)。
1+2+3+...=−112(1)
1−1+1−1+1−...=12(2)
1−2+3−4+5−6+...=14(3)
下面证明公式(2)。设
S=1−1+1−1+1−...=1+(−1+1−1+1−...)(2.1)有
−S=−1+1−1+1−1+...(2.2)
把(2.1)和(2.2)的左右两边相减。注意，(2.1)的括号部分和(2.2)相同，能够消去。有
S−(−S)=1⇒2S=1⇒S=12
公式(2)得证。结果很直观，此序列奇数个元素相加时结果是1，偶数个数相加时结果是0，无穷个数相加时结果是1和0的平均值12。
下面证明公式(3)。设
S=1−2+3−4+5−6+...
有
S+S=1−+2+3−4+5−6+...1−2+3−4+5−...
注意S+S时第一个S中的元素和第二个S中的元素错开一位相加。推出
2S=1−1+1−1+1−...=12⇒S=14
公式(3)得证。下面证明我们的最终目标公式(1)。
设S等于公式(1)。公式(1)减去公式(3)有
(1)−(3)=4+8+12+...=4(1+2+3+...)=4S⇒S−14=4S⇒−14=3S⇒−112=S
公式(1)得证。
据说这个公式在物理学上有广泛的应用。通常物理学不喜欢无穷这个概念，用这个公式可以把无穷转化为具体的数。数学不光用来计算，还用来建模。不管公式多么违反直觉，但在解释世界时是正确的、方便的我们就采用。此公式应用到现实世界就可以推出如果你一直往银行里存钱，最终存款会变成负数噢。
这个极限是正无穷大。习惯上我们说:这个极限不存在。
供参考，请笑纳。
绛旓細2銆佺瓑姣旀暟鍒楁眰鍜屽叕寮 瀵逛簬绛夋瘮鏁板垪锛屽叾姹傚拰鍏紡涓猴細Sn=a1 * (1-q^n) / (1-q)鍏朵腑锛宎1鏄椤癸紝q鏄叕姣旓紝n鏄」鏁般傚綋q=1鏃讹紝绛夋瘮鏁板垪鐨勫拰涓鏃犵┓澶銆3銆佸箓绾ф暟姹傚拰鍏紡 骞傜骇鏁鐨勬眰鍜屽叕寮忎负锛歋=a * (1-r^n) / (1-r)鍏朵腑锛宎鏄椤癸紝r鏄叕姣旓紝n鏄」鏁般傚綋 r<1 鏃讹紝骞傜骇鏁扮殑鍜屼负...
绛旓細杩欎釜鐨勭粨鏋滄槸鍙戞暎鐨,鍗冲綋n鏃犵┓澶,鍏鍜屾棤绌峰ぇ 瀛﹁繃楂樼瓑鏁板鐨勪汉閮界煡閬,璋冨拰绾ф暟S=1+1/2+1/3+鈥︹︽槸鍙戞暎鐨,璇佹槑濡備笅锛氱敱浜巐n(1+1/n)ln(1+1)+ln(1+1/2)+ln(1+1/3)+鈥+ln(1+1/n)=ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+鈥+ln[(n+1)/n]=ln[2*3/2*4/3*鈥*(n+1)/n]=ln(n+1...
绛旓細n^2浠1鍒n鐨勬眰鍜屽叕寮忔槸锛1+2^2+2^2+3^2+...n^2=n(n+1)(2n+1)/6 n^锛-2锛=(1/n)^2 姹備粠1鍒皀鐨勬眰鍜屽叕寮 涓嶄細銇 浣嗘槸浠=1+1/2^2+1/3^2+...+1/n^2锛坣^(-2)浠1鍒皀鐨勬眰鍜屽叕寮忥級鍙互姹傚叾鑼冨洿 鍥犱负n涓哄ぇ浜0鐨勮嚜鐒舵暟 鎵浠1/n(n+1)<1/n^2<1/n(n-1)鍗(...
绛旓細1+2鍒嗕箣1)(1+2鐨骞虫柟鍒嗕箣1)(1+2鐨勫洓娆℃柟鍒嗕箣)(1+2鐨勫叓娆℃柟鍒嗕箣1)+1/2鐨15鏂 =2*(1-1/2)(1+1/2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)+1/2^15 =2*(1-1/2^2)(1+1/2^2)(1+1/2^4)(1+1/2^8)+1/2^15 =2*(1-1/2^4)(1+1/2^4)(1+1/2^8)+1/2...
绛旓細m=m+1/double(i);cout<<m<<"\n";} cout<<"\n"<<log(2);} 鍦ㄥ井绉垎閲屾暟鍒楁眰鍜屽拰鏋侀檺鏄涓涓珷鑺傞噷鐨勶紝褰撶劧鏈夊緢澶ц仈绯伙紝褰撴暟鍒楃殑涓暟瓒嬩簬鏃犵┓澶鏃跺氨鏄眰鏋侀檺銆傝櫧鐒秎z娌℃湁璇磏瓒嬪悜涓庢棤绌凤紝浣嗕篃娌¤涓嶈秼浜庢棤绌凤紝鍦ㄤ笅鍙槸缁欏嚭鍏朵腑涓涓瓟妗堣屽凡銆傝嚦浜巒涓嶈秼浜庢棤绌锋椂锛姹傚拰鍏紡鐢ㄤ竴鑸殑鏁板鏂规硶...
绛旓細褰搉瓒嬩簬鏃犵┓澶鏃讹紝1+1/2+1/3+1/4+鈥︹+1/n - ln(n+1)= 娆ф媺甯告暟0.5772156649鈥︹um(1/i^k,i=1鍒版棤绌)褰撳垎姣嶄笅闈㈢殑鏁扮殑鎸囨暟k澶т簬1鍒欑骇鏁版敹鏁涖傜敤mathematica锛宮aple绛変唬鏁扮郴缁熷彲浠ョ畻鍑轰换鎰忔寚鏁版儏鍐电殑缁撴灉銆傛湁鍏磋叮灏变笉濡ㄧ湅鐪嬫垜鐨勭浉鍐岋紝涓嬮潰鐨勯摼鎺ワ細鍙傝冭祫鏂欙細http://hi.baidu.com/%...
绛旓細灏辨槸琛ㄧず涓猴細s=鈭1+鈭2+鈭3+鈥︹+鈭歯 鍥犱负鍏朵腑鏈夊ぇ閲忕殑鏃犵悊鏁帮紝鏁呭拰s涓嶅彲浠ョ簿纭〃绀恒傚畠鏃笉鏄瓑宸暟鍒楋紝涔熶笉鏄瓑姣旀暟鍒楋紝娌℃湁姹傚拰鍏紡銆傝繖鏄釜鏃犵┓澶х殑绾ф暟姹傚拰锛屾病鏈夋槑纭殑鍏紡鍙互姹傚緱鏋侀檺绛旀銆
绛旓細姣斿渚1鏄An=n 鎵浠ユ眰鍜岄」鐩畁=100 渚2鏄An=2n 鎵浠ユ眰鍜岄」鐩畁=100/2=50 渚3鏄疉n=2n-1 鎵浠ユ眰鍜岄」鐩畁=99+1/2=50 渚4鍙樻崲涓涓嬪彲浠ョ敤姹傚拰鍏紡璁＄畻 Sn = [n+(n-1)+...+1]/(2n)= [n*n+n(n-1)*(-1)/2]/2n = (n+1)/4 鍐嶈娓呮鐐 姣斿Sn=2+3+...+100鐨勬眰鍜椤规暟鍚 ...
绛旓細x=1寰條n2=1-1/2+1/3-1/4+1/5-...锛堥樋璐濆皵绗簩瀹氱悊锛-1<x<1鏃1 bdsfid="118" (1+x^2)="1-x^2+x^4-x^6+...+((-1)^n)(x^(2n))+...涓よ竟绉垎寰梐rctanx=x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...灏唜=1浠ｅ叆寰梐rctan1=pi/4=1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+...锛...
绛旓細瀵逛簬鏃犵┓绾ф暟鐨勬眰鍜锛屼笉婊¤冻浜ゆ崲寰嬬粨鍚堝緥锛屾湰璐ㄦ槸涓涓瀬闄愩
