分数的分解因式方法是什么? 分数的因式分解怎么做?
\u5206\u6570\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u65b9\u6cd5\u5206\u6570\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u5176\u5b9e\u540c\u6574\u6570\u4e00\u6837\u3002
\u76f4\u63a5\u7528\u5206\u6570\u5206\u89e3\u6709\u56f0\u96be\uff0c\u53ef\u4ee5\u901a\u5206\u540e\uff0c\u5316\u4e3a\u6574\u6570\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\u3002
\u8fd9\u4e2a\u5206\u5f0f\u4e0d\u80fd\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3
\u53ea\u6709\u7279\u6b8a\u7684\u5206\u5f0f\u624d\u80fd\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3
\u5982\u5b8c\u5168\u5e73\u65b9\u5f0f\u548c\u5e73\u65b9\u5dee\u516c\u5f0f\u53ef\u4ee5
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正
归纳方法:
1、提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数,分子为各分数分子的最大公约数(最大公因数)
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:-am+bm+cm=-(a-b-c)m;
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)
注意:把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式
2、公式法。
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2
反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式:ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)
立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如:a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2
3、分组分解法。
4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5、组合分解法。
6、十字相乘法。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q),所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解,上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)
十字相乘法讲解:
x^2-3x+2
如下:
x -1
╳
x -2
左边x乘x= x^2
右边-1乘-2=2
中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x
上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】
就等于(x-1)*(x-2)
x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
7、双十字相乘法。
8、配方法。
9、拆项法。
10、换元法。
11、长除法。
12、加减项法。
13、求根法。
14、图象法。
15、主元法。
16、待定系数法。
17、特殊值法。
18、因式定理法
,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
注意三原则
1 分解要彻底
2 最后结果只有小括号
3 最后结果中多项式首项系数为正
归纳方法:
1、提公因式法。
各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。
如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法。
具体方法:当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数;字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的;取相同的多项式,多项式的次数取最低的。当各项的系数有分数时,公因式系数的分母为各分数分母的最小公倍数,分子为各分数分子的最大公约数(最大公因数)
如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时,多项式的各项都要变号。
口诀:找准公因式,一次要提净;全家都搬走,留1把家守;提负要变号,变形看奇偶。
例如:-am+bm+cm=-(a-b-c)m;
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(a-b)(x-y)
注意:把2a+1/2变成2(a+1/4)不叫提公因式
2、公式法。
如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法。
平方差公式: (a+b)(a-b)=a^2-b^2
反过来为a^2-b^2=(a+b)(a-b)
完全平方公式:(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
反过来为a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
注意:能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍。
两根式:ax^2+bx+c=a(x-(-b+√(b^2-4ac))/2a)(x-(-b-√(b^2-4ac))/2a)
立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
公式:a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
例如:a^2+4ab+4b^2 =(a+2b)^2
3、分组分解法。
4、凑数法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5、组合分解法。
6、十字相乘法。
十字相乘法能把某些二次三项式分解因式。这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1,a2的积a1.a2,把常数项c分解成两个因数c1,c2的积c1乘c2,并使a1c2+a2c1正好是一次项b,那么可以直接写成结果:ax^2+bx+c=(a1x+c1)(a2x+c2)
在运用这种方法分解因式时,要注意观察,尝试,并体会它实质是二项式乘法的逆过程。当首项系数不是1时,往往需要多次试验,务必注意各项系数的符号。
基本式子:x^2+(p+q)χ+pq=(χ+p)(χ+q),所谓十字相乘法,就是运用乘法公式(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab的逆运算来进行因式分解.比如说:把x^2+7x+12进行因式分解,上式的常数12可以分解为3×4,而3+4又恰好等于一次项的系数7,所以上式可以分解为:x^2+7x+12=(x+3)(x+4)
又如:分解因式:a^2+2a-15,上式的常数-15可以分解为5×(-3)。而5+(-3)又恰好等于一次项系数2。所以a^2+2a-15=(a+5)(a-3)
十字相乘法讲解:
x^2-3x+2
如下:
x -1
╳
x -2
左边x乘x= x^2
右边-1乘-2=2
中间-1乘x+(-2)乘x(对角)=-3x
上边的【x+(-1)】乘下边的【x+(-2)】
就等于(x-1)*(x-2)
x^2-3x+2=(x-1)*(x-2)
7、双十字相乘法。
8、配方法。
9、拆项法。
10、换元法。
11、长除法。
12、加减项法。
13、求根法。
14、图象法。
15、主元法。
16、待定系数法。
17、特殊值法。
18、因式定理法
把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式,这种变形叫做把这个因式分解(也叫作分解因式)。它是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具。 因式分解方法灵活,技巧性强,
因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式,轮换对称多项式法,余式定理法,求根公式法,换元法,长除法,短除法,除法等。
因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题的有力工具.因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需的,而且对于培养学生的解题技能,发展学生的思维能力,都有着十分独特的作用
绛旓細鍏充簬鍒嗘暟鎬庝箞鎻愬彇鍏洜寮忥紝鎬庝箞鎻愬彇鍏洜寮忚繖涓緢澶氫汉杩樹笉鐭ラ亾锛屼粖澶╂潵涓哄ぇ瀹惰В绛斾互涓婄殑闂锛岀幇鍦ㄨ鎴戜滑涓璧锋潵鐪嬬湅鍚э紒1銆佹灉澶氶」寮忕殑鍚勯」鏈夊叕鍥犲紡锛屽彲浠ユ妸杩欎釜鍏洜寮忔彁鍙栧嚭鏉ヤ綔涓哄椤瑰紡鐨勪竴涓洜寮忥紝鎻愬彇鍏洜寮忓悗鐨勫紡瀛愭斁鍦ㄦ嫭鍙烽噷锛屼綔涓哄彟涓涓洜寮. 鎻愬彇鍏鍥犲紡娉曞垎瑙e洜寮鐨勮В棰樻楠ゆ槸鎬庢牱鐨勶紵 鍒╃敤鎻愬叕鍥犲紡娉...
绛旓細鎶婂父鏁伴」杩涜鎷嗗垎銆傚彛璇鏄灏惧垎瑙o紝浜ゅ弶鐩镐箻锛屾眰鍜屽噾涓傚弻鍗佸瓧鐩镐箻娉曟槸涓绉鍥犲紡鍒嗚В鏂规硶銆傚浜庡椤瑰紡鐨勫洜寮忓垎瑙锛屽父閲囩敤鐨鏂规硶鏄寰呭畾绯绘暟娉曘傝繖绉嶆柟娉曡繍绠楄繃绋嬭緝绻併傚浜庤繖闂锛岃嫢閲囩敤鈥滃弻鍗佸瓧鐩镐箻娉曗濓紙涓诲厓娉曪級锛屽氨鑳藉緢瀹规槗灏嗘绫诲瀷鐨勫椤瑰紡鍒嗚В鍥犲紡銆
绛旓細褰撳悇椤圭殑绯绘暟鏈夊垎鏁版椂锛屽叕鍥犲紡绯绘暟涓哄悇鍒嗘暟鐨鏈澶у叕绾︽暟銆傚鏋滃椤瑰紡鐨勭涓椤逛负璐燂紝瑕佹彁鍑鸿礋鍙凤紝浣挎嫭鍙峰唴鐨勭涓椤圭殑绯绘暟鎴愪负姝f暟銆傛彁鍑鸿礋鍙锋椂锛屽椤瑰紡鐨勫悇椤归兘瑕佸彉鍙枫2銆佸叕寮忔硶锛氬鏋滄妸涔樻硶鍏紡鐨勭瓑鍙蜂袱杈逛簰鎹綅缃紝灏卞彲浠ュ緱鍒扮敤浜鍒嗚В鍥犲紡鐨勫叕寮忥紝鐢ㄦ潵鎶婃煇浜涘叿鏈夌壒娈婂舰寮忕殑澶氶」寮忓垎瑙e洜寮忥紝杩欑鍒嗚В鍥犲紡鐨...
绛旓細杩欎釜鍒嗗紡涓嶈兘鍥犲紡鍒嗚В 鍙湁鐗规畩鐨勫垎寮忔墠鑳藉洜寮忓垎瑙 濡傚畬鍏ㄥ钩鏂瑰紡鍜屽钩鏂瑰樊鍏紡鍙互
绛旓細鎰忎箟锛氬畠鏄腑瀛︽暟瀛︿腑鏈閲嶈鐨勬亽绛夊彉褰箣涓锛屽畠琚箍娉涘湴搴旂敤浜庡垵绛夋暟瀛︿箣涓紝鏄垜浠В鍐宠澶氭暟瀛﹂棶棰樼殑鏈夊姏宸ュ叿銆鍥犲紡鍒嗚В鏂规硶鐏垫椿锛屾妧宸фу己锛屽涔犺繖浜涙柟娉曚笌鎶宸э紝涓嶄粎鏄帉鎻″洜寮忓垎瑙e唴瀹规墍蹇呴渶鐨勩傝屼笖瀵逛簬鍩瑰吇瀛︾敓鐨勮В棰樻妧鑳斤紝鍙戝睍瀛︾敓鐨勬濈淮鑳藉姏锛岄兘鏈夌潃鍗佸垎鐙壒鐨勪綔鐢ㄣ傚涔犲畠锛屾棦鍙互澶嶄範鏁村紡鐨勫洓鍒...
绛旓細鍒嗚В鍥犲紡涓庢暣寮忎箻娉曟槸浜掗嗙殑杩囩▼锛屽挨鍏跺湪澶勭悊涓鍏冧簩娆℃柟绋嬫椂锛鍥犲紡鍒嗚В娉璧风潃鍏抽敭浣滅敤銆傛帉鎻℃彁鍙栧叕鍥犲紡鐨勬柟娉曟槸鍒嗚В鍥犲紡鐨勪竴绉嶅父瑙佺瓥鐣ワ紝鍏跺叧閿湪浜庢壘鍑哄悇椤圭殑鍏叡鍥犲紡锛屽鎻愬彇鏈澶у叕绾︽暟锛屼互鍙婂鐞嗗甫鏈鍒嗘暟绯绘暟鎴栬礋椤规椂鐨勭壒娈婂鐞嗚鍒欍傚彛璇鈥滄壘鍑嗗叕鍥犲紡锛屼竴娆¤鎻愬敖锛涘叏瀹堕兘鎼蛋锛岀暀1鎶婂瀹堬紱鎻愯礋瑕佸彉...
绛旓細楂樻椤归兘鍦ㄥ垎姣嶄笂锛屽垎姣嶉兘鍙互娑堢畝鍒嗘瘝锛屾垚涓轰竴鑸鍥犳暟鍔犲噺锛堝鏋滀笉鑳界洿鎺ユ秷闄ゅ垎姣嶅彲浠ラ氳繃瀵规渶楂樻椤圭殑鍥犳暟鍒嗚В锛屽緱鍒版渶绠鍗曠殑楂樻椤癸級銆傚涓婇潰鐨勪緥棰樺氨鏄粰宸﹀彸涓よ竟涔樹互鏈楂橀」锛屽啀瀵瑰彸杈规彁鍏洜鏁板寲瑙o紝涓姝ユ灏辨妸楂樻椤规秷涓虹畝鍥犳暟銆鏂规硶锛氬皢鍒嗗瓙鏋勯犳垚鍚垎姣鍥犲紡鐨勪袱椤癸紝鏍规嵁瀹鍒嗘暟鍔犲噺鍒嗘垚2椤癸紝...
绛旓細2銆佸垎缁鍒嗚В娉鎸囬氳繃鍒嗙粍鍒嗚В鐨鏂瑰紡鏉ュ垎瑙f彁鍏鍥犲紡娉鍜屽叕寮忓垎瑙f硶鏃犳硶鐩存帴鍒嗚В鐨勫洜寮忥紝鍒嗚В鏂瑰紡涓鑸垎涓衡1+3鈥濆紡鍜屸2+2鈥濆紡銆3銆佸緟瀹氱郴鏁娉曟槸鍒濅腑鏁板鐨勪竴涓噸瑕佹柟娉曘傜敤寰呭畾绯绘暟娉鍒嗚В鍥犲紡锛屽氨鏄厛鎸夊凡鐭ユ潯浠舵妸鍘熷紡鍋囪鎴愯嫢骞蹭釜鍥犲紡鐨勮繛涔樼Н锛岃繖浜涘洜寮忎腑鐨勭郴鏁板彲鍏堢敤瀛楁瘝琛ㄧず锛屽畠浠殑鍊兼槸寰呭畾鐨勩
绛旓細濡傛灉涓涓椤瑰紡鐨勫悇椤规湁鍏洜寮,鍙互鎶婅繖涓叕鍥犲紡鎻愬嚭鏉,浠庤屽皢澶氶」寮忓寲鎴愪袱涓洜寮忎箻绉殑褰㈠紡,杩欑鍒嗚В鍥犲紡鐨鏂规硶鍙仛鎻愬彇鍏洜寮忋傚叿浣撴柟娉:褰撳悇椤圭郴鏁伴兘鏄暣鏁版椂,鍏洜寮忕殑绯绘暟搴斿彇鍚勯」绯绘暟鐨勬渶澶у叕绾︽暟瀛楁瘝鍙栧悇椤圭殑鐩稿悓鐨勫瓧姣,鑰屼笖鍚勫瓧姣嶇殑鎸囨暟鍙栨鏁版渶浣庣殑銆傚綋鍚勯」鐨勭郴鏁版湁鍒嗘暟鏃,鍏洜寮忕郴鏁颁负鍚鍒嗘暟鐨鏈澶у叕绾︽暟銆
绛旓細1-x^2=(1+x)(1-x)1-x^4=(1+x^2)(1-x^2)=(1+x^2)(1+x)(1-x)鍒嗘瘝=锛1-x)^3(1+x)^2(1+x^2)鍙互鍒嗚В涓轰笁涓鍥犲紡,鍒嗘瘝鍒嗗埆鏄紙1-x)^3銆(1+x)^2銆(1+x^2)