用定义证明数列是无穷小量 √n＋1-√n 用数列极限定义证明：lim(n→∞) n!/n^n = 0
\u7528\u5b9a\u4e49\u8bc1\u660e\u6570\u5217\u221a(n+1)-\u221an\u7684\u6781\u9650\u662f0|\u221a(n+1)-\u221an -0| < \u03b5
|1/(\u221a(n+1) + \u221an )| < \u03b5
1/(2\u221an) < \u03b5
n > { 1/(2\u03b5) }^2
∀\u03b5>0 ,∃N = [{ 1/(2\u03b5) }^2] +1, st
|\u221a(n+1)-\u221an -0| n
=>
lim(n->\u221e) [\u221a(n+1)-\u221an]=0
\u8bc1\u660e\uff1a\u4efb\u610f\u03b5>0\uff0c\u8981\u4f7f\u5f97\uff08n\uff01/n^n\uff09<\u03b5
\u5219n!/n^n
=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)
=<n/n* (n-1)/n *(n-2)/n-1 *...*2/3 *1/2
=1/n<\u03b5
n>1/\u03b5\uff0c\u53d6N=[1/\u03b5]\uff0c\u5f53n>N\uff0c\u6709n>1/\u03b5
\u6240\u4ee5\uff08n\uff01/n^n\uff09<\u03b5\u6052\u6210\u7acb
\u6240\u4ee5lim(n\u2192\u221e) n!/n^n = 0
\u6269\u5c55\u8d44\u6599\u6027\u8d28\uff1a
\u5f53\u5206\u6bcd\u7b49\u4e8e\u96f6\u65f6\uff0c\u5c31\u4e0d\u80fd\u5c06\u8d8b\u5411\u503c\u76f4\u63a5\u4ee3\u5165\u5206\u6bcd\uff0c\u53ef\u4ee5\u901a\u8fc7\u4e0b\u9762\u51e0\u4e2a\u5c0f\u65b9\u6cd5\u89e3\u51b3\uff1a
\u7b2c\u4e00\uff1a\u56e0\u5f0f\u5206\u89e3\uff0c\u901a\u8fc7\u7ea6\u5206\u4f7f\u5206\u6bcd\u4e0d\u4f1a\u4e3a\u96f6\u3002
\u7b2c\u4e8c\uff1a\u82e5\u5206\u6bcd\u51fa\u73b0\u6839\u53f7\uff0c\u53ef\u4ee5\u914d\u4e00\u4e2a\u56e0\u5b50\u4f7f\u6839\u53f7\u53bb\u9664\u3002
\u7b2c\u4e09\uff1a\u4ee5\u4e0a\u6240\u8bf4\u7684\u89e3\u6cd5\u90fd\u662f\u5728\u8d8b\u5411\u503c\u662f\u4e00\u4e2a\u56fa\u5b9a\u503c\u7684\u65f6\u5019\u8fdb\u884c\u7684\uff0c\u5982\u679c\u8d8b\u5411\u4e8e\u65e0\u7a77\uff0c\u5206\u5b50\u5206\u6bcd\u53ef\u4ee5\u540c\u65f6\u9664\u4ee5\u81ea\u53d8\u91cf\u7684\u6700\u9ad8\u6b21\u65b9\u3002\uff08\u901a\u5e38\u4f1a\u7528\u5230\u8fd9\u4e2a\u5b9a\u7406\uff1a\u65e0\u7a77\u5927\u7684\u5012\u6570\u4e3a\u65e0\u7a77\u5c0f\uff09
|1/(√(n+1) + √n )| < ε
1/(2√n) < ε
n > { 1/(2ε) }^2
∀ε>0 ,∃N = [{ 1/(2ε) }^2] +1, st
|√(n+1)-√n -0| < ε , ∀N>n
=>
lim(n->∞) [√(n+1)-√n]=0
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