如何求二项分布的E(X^2)与E(X)^2。 二项分布的数学期望E（X^2)怎么求？
\u600e\u4e48\u6c42\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u7684E(X^2)\u4e0eE(X)^2\uff1f\u56e0\u4e3aX\u670d\u4ece\u4e8c\u9879\u5206\u5e03B(n,p), \u6240\u4ee5E(X)=np, D(X)=npq\u800c\u65b9\u5deeD(X)=E(X^2)-[E(X)]^2\uff0c\u56e0\u4e3aE(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=npq+(np)^2=np(q+np)\uff0c\u5373E(X^2)=np(np+q)
\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u5373\u91cd\u590dn\u6b21\u72ec\u7acb\u7684\u4f2f\u52aa\u5229\u8bd5\u9a8c\u3002\u5728\u6bcf\u6b21\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u53ea\u6709\u4e24\u79cd\u53ef\u80fd\u7684\u7ed3\u679c\uff0c\u800c\u4e14\u4e24\u79cd\u7ed3\u679c\u53d1\u751f\u4e0e\u5426\u4e92\u76f8\u5bf9\u7acb\uff0c\u5e76\u4e14\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\uff0c\u4e0e\u5176\u5b83\u5404\u6b21\u8bd5\u9a8c\u7ed3\u679c\u65e0\u5173\uff0c\u4e8b\u4ef6\u53d1\u751f\u4e0e\u5426\u7684\u6982\u7387\u5728\u6bcf\u4e00\u6b21\u72ec\u7acb\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u90fd\u4fdd\u6301\u4e0d\u53d8\uff0c\u5219\u8fd9\u4e00\u7cfb\u5217\u8bd5\u9a8c\u603b\u79f0\u4e3an\u91cd\u4f2f\u52aa\u5229\u5b9e\u9a8c\uff0c\u5f53\u8bd5\u9a8c\u6b21\u6570\u4e3a1\u65f6\uff0c\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u670d\u4ece0-1\u5206\u5e03\u3002
\u56fe\u5f62\u7279\u70b9\uff1a
(1)\u5f53(n+1)p\u4e0d\u4e3a\u6574\u6570\u65f6\uff0c\u4e8c\u9879\u6982\u7387P{X=k}\u5728k=[(n+1)p]\u65f6\u8fbe\u5230\u6700\u5927\u503c;
(2)\u5f53(n+1)p\u4e3a\u6574\u6570\u65f6\uff0c\u4e8c\u9879\u6982\u7387P{X=k}\u5728k=(n+1)p\u548ck=(n+1)p-1\u65f6\u8fbe\u5230\u6700\u5927\u503c\u3002\u6ce8:[x]\u4e3a\u4e0d\u8d85\u8fc7x\u7684\u6700\u5927\u6574\u6570\u3002
\u5e94\u7528\u6761\u4ef6\uff1a
1.\u5404\u89c2\u5bdf\u5355\u4f4d\u53ea\u80fd\u5177\u6709\u76f8\u4e92\u5bf9\u7acb\u7684\u4e00\u79cd\u7ed3\u679c\uff0c\u5982\u9633\u6027\u6216\u9634\u6027\uff0c\u751f\u5b58\u6216\u6b7b\u4ea1\u7b49\uff0c\u5c5e\u4e8e\u4e24\u5206\u7c7b\u8d44\u6599\u3002
2.\u5df2\u77e5\u53d1\u751f\u67d0\u4e00\u7ed3\u679c(\u9633\u6027)\u7684\u6982\u7387\u4e3a\u03c0\uff0c\u5176\u5bf9\u7acb\u7ed3\u679c\u7684\u6982\u7387\u4e3a1-\u03c0\uff0c\u5b9e\u9645\u5de5\u4f5c\u4e2d\u8981\u6c42\u03c0\u662f\u4ece\u5927\u91cf\u89c2\u5bdf\u4e2d\u83b7\u5f97\u6bd4\u8f83\u7a33\u5b9a\u7684\u6570\u503c\u3002
3.n\u6b21\u8bd5\u9a8c\u5728\u76f8\u540c\u6761\u4ef6\u4e0b\u8fdb\u884c\uff0c\u4e14\u5404\u4e2a\u89c2\u5bdf\u5355\u4f4d\u7684\u89c2\u5bdf\u7ed3\u679c\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\uff0c\u5373\u6bcf\u4e2a\u89c2\u5bdf\u5355\u4f4d\u7684\u89c2\u5bdf\u7ed3\u679c\u4e0d\u4f1a\u5f71\u54cd\u5230\u5176\u4ed6\u89c2\u5bdf\u5355\u4f4d\u7684\u7ed3\u679c\u3002\u5982\u8981\u6c42\u75be\u75c5\u65e0\u4f20\u67d3\u6027\u3001\u65e0\u5bb6\u65cf\u6027\u7b49\u3002
\u56e0\u4e3ax\u670d\u4ece\u4e8c\u9879\u5206\u5e03b(n,p),
\u6240\u4ee5e(x)=np,
d(x)=npq\u800c\u65b9\u5deed(x)=e(x^2)-[e(x)]^2\uff0c\u56e0\u4e3ae(x^2)=d(x)+[e(x)]^2=npq+(np)^2=np(q+np)\uff0c\u5373due(x^2)=np(np+q)
\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u662f\u91cd\u590d\u6b21\u72ec\u7acb\u7684\u4f2f\u52aa\u5229\u8bd5\u9a8c\u3002\u5728\u6bcf\u6b21\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u53ea\u6709\u4e24\u79cd\u53ef\u80fd\u7684\u7ed3\u679c\uff0c\u800c\u4e14\u4e24\u79cd\u7ed3\u679c\u53d1\u751f\u4e0e\u5426\u4e92\u76f8\u5bf9\u7acb\uff0c\u5e76\u4e14\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\uff0c\u4e0e\u5176\u5b83\u5404\u6b21\u8bd5\u9a8c\u7ed3\u679c\u65e0\u5173\uff0c\u4e8b\u4ef6\u53d1\u751f\u4e0e\u5426\u7684\u6982\u7387\u5728\u6bcf\u4e00\u6b21\u72ec\u7acb\u8bd5\u9a8c\u4e2d\u90fd\u4fdd\u6301\u4e0d\u53d8\uff0c\u5219\u8fd9\u4e00\u7cfb\u5217\u8bd5\u9a8c\u603b\u79f0\u4e3an\u91cd\u4f2f\u52aa\u5229\u5b9e\u9a8c\uff0c\u5f53\u8bd5\u9a8c\u6b21\u6570\u4e3a1\u65f6\uff0c\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u670d\u4ece0-1\u5206\u5e03\u3002
\u6269\u5c55\u8d44\u6599
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\u5982\u679cX~ B(n,p)\u548cY~ B(m,p)\uff0c\u4e14X\u548cY\u76f8\u4e92\u72ec\u7acb\uff0c\u90a3\u4e48X+Y\u4e5f\u670d\u4ece\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\uff1b\u5b83\u7684\u5206\u5e03\u4e3a\uff1a
X+Y~ B\uff08n+m\uff0cp\uff09
\u4f2f\u52aa\u5229\u5206\u5e03
\u4f2f\u52aa\u5229\u5206\u5e03\u662f\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u5728n= 1\u65f6\u7684\u7279\u6b8a\u60c5\u51b5\u3002X~ B(1,p)\u4e0eX~ Bern(p)\u7684\u610f\u601d\u662f\u76f8\u540c\u7684\u3002\u76f8\u53cd\uff0c\u4efb\u4f55\u4e8c\u9879\u5206\u5e03B(n,p)\u90fd\u662fn\u6b21\u72ec\u7acb\u4f2f\u52aa\u5229\u8bd5\u9a8c\u7684\u548c\uff0c\u6bcf\u6b21\u8bd5\u9a8c\u6210\u529f\u7684\u6982\u7387\u4e3ap\u3002
\u6cca\u677e\u8fd1\u4f3c
\u5f53\u8bd5\u9a8c\u7684\u6b21\u6570\u8d8b\u4e8e\u65e0\u7a77\u5927\uff0c\u800c\u4e58\u79efnp\u56fa\u5b9a\u65f6\uff0c\u4e8c\u9879\u5206\u5e03\u6536\u655b\u4e8e\u6cca\u677e\u5206\u5e03\u3002\u56e0\u6b64\u53c2\u6570\u4e3a\u03bb=np\u7684\u6cca\u677e\u5206\u5e03\u53ef\u4ee5\u4f5c\u4e3a\u4e8c\u9879\u5206\u5e03B(n,p)\u7684\u8fd1\u4f3c\uff0c\u8fd1\u4f3c\u6210\u7acb\u7684\u524d\u63d0\u8981\u6c42n\u8db3\u591f\u5927\uff0c\u800cp\u8db3\u591f\u5c0f\uff0cnp\u4e0d\u662f\u5f88\u5c0f\u3002
因为X服从二项分布B(n,p), 所以E(X)=np, D(X)=npq而方差D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2，因为E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=npq+(np)^2=np(q+np)，即E(X^2)=np(np+q)
∵X服从二项分布B(n,p), ∴E(X)=np, D(X)=npq
而方差D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
∴E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=npq+(np)^2=np(q+np)
即E(X^2)=np(np+q).
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绛旓細杩欐牱鍋氱殑濂藉鏄紝鏃犺鍘熷鍙橀噺X鐨勫垎甯冨浣锛岀粡杩囨爣鍑嗗寲澶勭悊鍚庯紝鍏跺潎鍊煎拰鏂瑰樊閮藉緱鍒颁簡瑙勮寖鍖栵紝浣垮緱缁撴灉鏇村鏄撴瘮杈冨拰鐞嗚В銆傛荤殑鏉ヨ锛E(X)鍜Var(X)鏄浜岄」鍒嗗竷涓 閲忛殢鏈哄彉閲忔ц川鐨勯噸瑕佹寚鏍囷紝瀹冧滑鍦ㄧ粺璁″垎鏋愬拰姒傜巼妯″瀷涓壆婕旂潃鍏抽敭瑙掕壊銆傚鏋滀綘鍦ㄥ叿浣撻棶棰樹腑閬囧埌瀹冧滑鐨勮繍鐢紝鍙渶鎸夌収涓婅堪鍏紡璁＄畻鍗冲彲銆
